第15章 期权与或有要求权

1、 1 2 Contents 内容提纲 2 01 学习如何从一价法则中推导期权定价公式02 学习如何从期权价格中获得隐含波动性 3 期权（期权（Option）【选择权选择权】赋予持有者做某件事的权利，当然，持有者也可以选择不行使权利。 期权与远期、期货的区别： 期权合约的持有者拥有权利期权合约的持有者拥有权利 持有者需要为权利支付费用 远期和期货合约的持有者负有义务远期和期货合约的持有者负有义务 持有者无需支付任何费用期权与远期和期货合约的区别 4 期权 给予合约方按照预先设定的行权价格买卖某种物品的权利的任何合约都是一项期权。 股票期权、利率期权、外汇期权和商品期权在全世界的组织化交易所内外进

2、行交易。 5 期权是被称为或有索取权（contingent claim）的这一更广泛资产类型的一项例证。或或有索有索取权取权是支付依某些不确定事件的结果而定的任何资产。 对期权进行定价的最流行的模型是在20 世纪70 年代早期被发现的布莱克-斯科尔斯模型。 芝加哥期权交易所（CBOE） ，是第一家公开的期权交易所，它在1973 年4 月开始运作。1975年开始交易者开始在期权交易中广泛应用B-S模型。期权与或有索取权 6 政府价格支持 政府有时会通过以某个优惠价格购买农产品的形式向农民提供帮助看跌期权 如果市场价格比优惠价格更低的话，那么农民就会尝试行驶其权力将的粮食以较高的价格卖给政府 7

3、15.1 期权是如何运作的？ 8 期权的基本类型： 看涨期权（看涨期权（call option）【买权，认购期权买权，认购期权】 赋予期权持有者在将来某一时刻按某一价格买入买入资产的权利 看跌期权（看跌期权（put option）【卖权，认沽期权卖权，认沽期权】 赋予期权持有者在将来某一时刻按某一价格卖出卖出资产的权利 期权的基本类型： 美式期权（美式期权（American option） 可在到期日之前的任何时间执行 欧式期权（欧式期权（European option） 只能在到期日执行期权的类型期权的类型 9 期权的要素：到期日（expiration date）或满期日（maturity

4、date）或终止日 期权合约中注明的日期执行价（exercise price）或敲定价（strike price） 期权合约中注明的价格权利金（premium）或期权费 10 考虑：投资者买入执行价格执行价格为100美元的100股股票的看看涨期权涨期权。假定当前的股价当前的股价为98美元，期权到期日到期日为4个月，购买一股股票的期权价格期权价格（期权费期权费）为5美元。 期权的盈亏取决于未来的股价与执行价格的大小。期权的盈亏取决于未来的股价与执行价格的大小。 如果到期日的股票价格低于100美元，那么投资者放弃执行期权，其损失损失为期权费：5100=500 如果到期日的股票价格高于100美元，那

5、么投资者选择执行期权。 假定股价为115美元，则盈利盈利为： 忽略期权费：（115-100）100=1500美元 考虑期权费：1500-5100=1000美元 注意：即使股价高于执行价格，投资者执行期权也可能注意：即使股价高于执行价格，投资者执行期权也可能遭受损失。遭受损失。 一般地，当到期日的股价高于执行价时，投资者就应该一般地，当到期日的股价高于执行价时，投资者就应该执行期权。执行期权。 看涨期权 11 买入买入1股股票的欧式看涨期权的收益曲线股股票的欧式看涨期权的收益曲线 12 看涨的买方希望股价上涨，看跌的买方则希望股价下跌。看涨的买方希望股价上涨，看跌的买方则希望股价下跌。 考虑投资

6、者买入执行价格执行价格为70美元的100股股票的看跌看跌期权期权。假定当前的股票价格当前的股票价格为65美元，期权的到期日到期日为3个月，卖出一股股票的期权价格（期权费）期权价格（期权费）为7美元，投资者的最初投资为700美元。 期权的盈亏取决于未来的股价与执行价格的大小。期权的盈亏取决于未来的股价与执行价格的大小。 如果到期日的股票价格低于低于70美元，那么投资者会执行期权执行期权。 例如，如果到期日的股价为55美元，则投资者的收益收益为： 忽略期权费：（70-55）100=1500 考虑期权费：1500-7100=800 如果到期日的股票价格高于高于70美元，那么投资者不不执行期权执行期权

7、。 投资者的损失为：7 100=700【期权费】 看跌期权 13 卖出卖出1股股票的欧式看跌期权的收益曲线股股票的欧式看跌期权的收益曲线 14 交易所交易的期权通常为美式期权交易所交易的期权通常为美式期权，而非欧式期权，这意味着，投资者不一定投资者不一定要等到到期日才执行期权要等到到期日才执行期权。 有时，在到期日之前执行期权是最优的。提前执行期权 15 任何一个期权都有两方两方：【双方的盈亏正好相反，关于横轴对称双方的盈亏正好相反，关于横轴对称】 卖出期权的空头方卖出期权的空头方：收取期权费，但承担履约的潜在义务。 买入期权的多头方买入期权的多头方：支付期权费，但拥有行权的潜在权利。 期权交

8、易共有期权交易共有4种头寸形式：种头寸形式： 看涨期权多头；long call 看跌期权多头；long put 看涨期权空头；short call 看跌期权空头；long put期权头寸（position） 16 期权的收益如果K为执行价格，ST为标的资产在期权到期时的市场价格，那么期权持有者的收益收益是【忽略期权费忽略期权费】：欧式看涨期权多头的收益是：Max(ST - K，0)；欧式看涨期权空头的收益是： - Max(ST -K，0)=Min(K-ST，0)欧式看跌期权多头的收益是：Max(K-ST ，0)欧式看跌期权空头的收益是： - Max(K-ST ，0)=Min(ST-K，0) 1

9、7 卖出看涨期权的收益图卖出看涨期权的收益图（与卖入看涨卖入看涨期权的收益图期权的收益图关于横轴对称） 18 卖出看跌期权的收益图卖出看跌期权的收益图（与买入看跌看跌期权的收益期权的收益图图关于横轴对称） 19 由于期权交易是一个零和博弈（零和博弈（zero-sum game），所以期权多头的盈利就对应于期权期权多头的盈利就对应于期权空头的损失空头的损失，反之亦然。 卖出看涨期权收益图形是买入看涨期权收益的图形镜像镜像。 卖出看涨期权一方的损失就是买入看涨期权一方的盈利。 卖出看跌期权收益图形是买入看跌期权收益的图形镜像镜像。 卖出看跌期权一方的损失就是买入看跌期权一方的盈利。 购买股票与购买

10、执行价格等于零的股票看涨期权是一样的。说明 20 欧式期权收益欧式期权收益（ K为执行价格，ST为期权到期时标的资产的市场价格） 21 股票期权股票期权【通常在交易所交易，如CBOE】标的资产是股票 在一份股票期权合约中，持有者可以按执行价格买入或卖出100股股票股股票，因为股票本身通常股票本身通常是以是以100股为单位进行交易的股为单位进行交易的。 外汇期权外汇期权【通常在场外市场交易】标的资产是外汇 大部分外汇期权在场外交易，也有交易所交易，合约规模是：用美元买入或卖出用美元买入或卖出1万单位的外万单位的外币币。标的资产 22 指数期权指数期权【在场外和交易所交易】 标的资产是股票价格指数

11、股票价格指数 美国交易所流行的期权合约：S&P500股指（SPX）期权、S&P100股指（OEX）期权、纳斯达克100股指（NDX）期权、道琼斯工业指数（DJX）期权。 所有这些期权均在芝加哥交易所交易，大部分是大部分是欧式期权欧式期权，但S&P100股指（股指（OEX）期权是美式期）期权是美式期权权。 每份合约可以购买或出售指数的100倍倍。 合约结算总是以现金结算现金结算，而不是交割指数交易组合。 23 例如，一个S&P100看涨期权的执行价格为980，当指数价格为992时，期权会被执行，期权卖方向买方支付：（992-980）100=1200美元。 不同于个股期权： 假设家得宝公司股票的价

12、为3 5 美元，其看涨期权的买方可以以32.5 美元的行权价格执行期权。她支付了3250 美元，并且得到了价值3500美元的100 股家得宝公司股票。 24 25 期货期权期货期权标的资产是期货合约期货合约 期货期权的到期日（到期日（expiration date）往往会在期货交割期之前。当看涨期权被执行时，期权持有者取得期货价格超过执行价格的现金额。当看跌期权被执行时，期权持有者取得执行价格超过期货价格的现金额。 26 到期日所在的月份到期日所在的月份可以作为描述股票期权的一个术语。 例如：1月份IBM看涨期权的到期日为1月份的某一天。 精确的到期日：到期月的第到期月的第3个星期五之后的星期

13、六个星期五之后的星期六 期权的最后交易日：到期月的第到期月的第3个星期五个星期五股票期权的到期日 27 四巫日 四巫日四巫日是指美国市场于季月（3月、6月、9月、12月）第三个星期五的衍生性金融商品到期结算日，预期中商品价格会有较大的波动。而当日最后交易小时称为四巫小时，为纽约时间下午三时至四时。 到期结算的商品共有四类，故称四巫日：股票指股票指数期货、股票数期货、股票指数指数期期权权、个股期货、个、个股期货、个股股期权期权。 因2002年11月8日起，美国市场才开始交易个股期货，故在此之前称为三巫日。 28 执行价格由交易所设定，执行价格的价格间隔执行价格的价格间隔分别是2.5美元、5美元或

14、10美元。 当股价介于525美元之间时，执行价格的间隔为2.5美元 当股价介于25200美元之间时，执行价格的间隔为5美元 当股价高于200美元时，执行价格的间隔为10美元 例如，假定在10月份期权月份期权开始交易时，股价为84美元，交易所最初提供的看涨和看跌期权的执行价格为执行价格为80、85、90美元美元。当股价升至90美元以上时，交易所会提供执行价格为95美元的期权。当股价跌至80美元以下时，交易所会提供执行价格为75美元的期权。执行价格 29 实值期权（in-the-money option） 平值期权（at-the-money option） 虚值期权（out-of-the-mone

15、y option） 若S为股票价格，K为执行价格，则：看涨期权：看涨期权： 当SK时为实值期权， 当S=K时为平值期权， 当SK时为虚值期权。看跌期权：看跌期权： 当SK时为虚值期权。实值、平值和虚值 30 31 说明 只有期权在实值时才会被行使 只要一项看涨期权是实值，那么相应的看跌期权就是虚值，反之亦然。 看涨期权的价格和其行权价格之间存在相反关系，对看跌期权这一关系相反。 32 内在价值（intrinsic value） 期权立即执行时的价值与0之间的大者。看涨期权的内在价值为：Max(SK, 0)看跌期权的内在价值为：Max(KS, 0) 实值美式期权的价值至少等于内在价值，因为期权持

16、有者可以立即执行期权来实现其内在价值。 时间价值（time value）也叫外在价值（extrinsic value） 期权价格与内在价值的之间的差额 对实值美式期权来说最好是等待而非执行，此时称期权有时间价值。期权价值 33 期权价值 = 内在价值 + 时间价值 时间价值=期权价值-内在价值 即使期权为虚值或平值，期权价值仍为正，原因是期权有时间价值。 市场价格与执行价格的差距 距离期权到期的时间长短 34 如果7 月到期同时行权价格为32.5 的家得宝公司股票买入期权立即终止，它内在价值和时间价值是多少?家得宝公司股票的价格为每股36.64。 35 使用期权进行投资 假定你看涨股票，而且拥

17、有10 万美元进行投资，假设无风险利率为每年5% ，同时股票不提供任何红利，股票价格为100美元，同时看涨期权的价格为10 美元。比较一年持有期内三种不同投资策略的资产组合收益率： 1.将全部10 万美元投资于股票。 2. 将全部10 万美元投资于看涨期权。 3. 在看涨期权中投资1 万美元并将剩余资金投资于无风险资产。 36 37 策略3，投资组合的收益率为： 38 没有任何一项投资策略能够完全胜过其他投资策略。根据投资者的风险耐受力，他或她可能选择任何一项投资策略。 39 策略3，在繁荣时 的收益率为： 40 投资策略4 是将9.6 万美元投资于无风险资产，同时将4 000 美元投资于期权

18、。有保证的最小收益率是多少?在执行价格的右边，支付线的斜率是多少? 41 看涨期权与看跌期权的平价关系 在时间t0 ,构造两个投资组合A和B - 组合A：进入一份欧式看跌期权多头，执行价格为100，同时买入一股股票 - 组合B：进入一份欧式看涨期权多头，同时投资面值为100美元零息债券 42 组合A 43 组合B 44 组合A 和B在到期日T的收益完全相同 一价定律要求这两个组合价格必须相等。即 S 为股票价格， E 代表执行价格， P 为看跌期权的价格， r 为无风险利率， T 为期权的到期期限， C 是看涨期权的价格。看涨期权与看跌期权的平价关系 45 保护性欧式看跌期权的收益 EE看跌期

19、权多头股票多头TS 46 欧式看涨期权和E面值债券的收益 看涨期权多头债券EETS 47 被用作从其他三种证券中合成出第四种证券 如上式可得出买入期权等同于持有股票、借入执行价格的现值（也就是说，卖空面值为E 的无违约风险纯粹折现债券），同时购买一项卖出期权。表明一项买入期权可分解成：1. 购买股票2. 借入部分资金进行这一活动（杠杆）3. 购买保险抵御价格下降的风险（卖出期权） 48 已知S=100 美元， E=100 美元， T=1年， r=0.08, P=10 美元，求买入期权的价格C， 如果C为18 是否有套利机会？套利利润是多少？ 49 50 在这一形式中，卖出期权一买人期权平价关系

20、式暗指： 如果股票价格等于期权执行价格的现值，那么买入期权的价格等于卖出期权的价格。 如果股票价格超过期权执行价格的现值，那么买入期权的价格超过卖出期权的价格。 如果股票价格低于期权执行价格的现值，那么卖出期权的价格超过买入期权的价格。 51 15.4 波动性与期权价格 股票价格的波动性越强，针对该股票的卖出期权和买入期权的价格也就越高。 假设股票价格一年后只能是两项数值之一：120 美元或80 美元，同时每项数值的概率为0.5 52 假设股票价格一年后只能是两项数值之一：200 美元或0 美元，同时每项数值的概率为0.5 53 在保持股票当前价格和预期收益率不变的条件下，股票波动性的增加导致

21、该股票的卖出期权和买入期权的预期收益率上升，因此，卖出期权和买入期权的价格将随着股票波动性的增加而上升。 进一步地，卖出期权买入期权平价关系暗指股票价格波动性的增加导致买入期权和相应的卖出期权恰好同步上升。 54 假设在给定股票价格波动性的水平上， S=100 美元， E=100 美元， T=1年，r=O.08, C=17.41 美元，同时P=10 美元.现在波动性上升。同时买入期权的价格上升到20 美元，如果S、E、T 和r 保持不变，卖出期权的新价格必然是多少? 55 15.5 二项式期权定价 我们假定股票价格在期权终止日只能是两项可能值中的一项。即使这一假设是不现实的。二项式模型（二叉树

22、模型）也构成广为人知的二项式期权定价模型这一更现实的期权定价模型的基础， 后者在实践中得到了广泛应用。从二项式模型中引申得出的直觉理解也应用于布莱克-斯科尔斯模型之中。 二叉树期权定价方法的原创性贡献来自Cox，Ross and Rubinstein（1979）Cox, J., S. Ross and M. Rubinstein, 1979, “Option Pricing: A Simplified Approach,” Journal of Financial Economics 7, 229-263. 56 方法：用股票和无风险借贷建构一项合成型买入期权。依照一价定律，买入期权的价格必然

23、等于我们构造的合成型买入期板的成本。 57 双状态（二项分布）期权定价 思路： 用股票S和无风险借款y来模拟一个看涨期权 具体： 假定股票价格在一年后有两种确定的状态 无风险借款额y为相应股票年后较差状态下价格的现值 h为杠杆比率/保值比率（hedge ratio），为了复制买入期权的支付，需要的股票比例是多少.h期权价格的变动范围股票价格的变动范围 58 考察一项行权价格为100 美元的1 年期期权。我们假设标的股票的价格现在是100 美元， 同时在该年内可能上涨或下跌20%。 因此，在一年后的期权终止日，股票价格可能是120 美元或80 美元，无风险利率为每年5%。 股票和期权的支付： 5

24、9 由股票构成的资产组合的支付 60 二项分布模型: 看涨 初始条件： 股票当前价格，一年后可能是，也可能是。 无风险利率为 看涨期权的执行价格为 则购入股票的比例h=(20-0)/(120-80)=0.5, 借入款项的数额： y0.5*80/(1+5%)= 38.095 61 62 二项分布模型: 看涨 结论: 根据一价原则，看涨期权和复制投资组合（综合性看涨期权）的价格一定相等 得:hSCSy-注 ：为 两 状 态 下 的 期 望 值110038.095$11.9052C - 63 15.6动态复制与二项模型 我们将为期一年的时期划分成两个为期6 个月的时期，同时假设股票价格在每个子时期内

25、可能上涨或下跌10 美元。于是，在该年内价格可能变化的最大数量是上升或下降20 美元.。该年末将存在三种可能的股票价格120 美元、100美元和80 美元。同时买入期权的相应支付为20 美元、0 美元和0 美元. 64 方法：寻找一项能够复制买入期权支付结构的自我融资性投资策略(self-financing investment strategy) 构成。这是一项动态投资策略，在每个时点上，复制型投资策略都归结为我们已经在前面部分的二项式模型考察的投资策略 假设在初始必要现金开支之后，投资者没有加入或者提取额外资金。 65 66 B-S-M模型迈伦斯科尔斯（1941-）Myron Samuel

26、 Scholes1997年诺贝尔经济学奖费希尔布莱克（ 1938-1995）Fischer Black，美国经济学家罗伯特C默顿 （ 1944-）Robert C.Merton 1997年诺贝尔经济学奖。 67 15. 7 布莱克-斯科尔斯模型 业内人士经常用来对股票期权进行定价的一项更加现实的模型是布莱克-斯科尔斯模型。 欧式股票买入期权的原始布莱克-斯科尔斯计算公式有五项变量，其中四项是直接观测值： 股票价格S、行权价格E、无风险利率r (与该期权拥有相同到期期限的一项安全资产的连续复利年利率和该期权的到期期限T。 68 欧式看涨期权 c=买入期权价格 S=股票价格 E=行权价格 r=无风

27、险利率 T= 以年度表示的期权到期期限 =股票连续复利年收益率的标准差 In= 自然对数 e= 自然对数函数的底（大约为2.71828） N(d) =从标准正态分布中抽取的随机变量小于d 的概率。 69 欧式看跌期权 在卖出期权-买入期权平价条件中替换C，我们可以从这项计算公式中得出卖出期权的价值： 70 考虑红利的期权定价公式 考虑一项不变的连续红利收益率d ，默顿对布莱克-斯科尔斯模型进行了一般化处理。经过红利调整的期权定价运算公式为： 现实中波动性和分红收益率d 都无法确知，而且实证表明两者都随时间推移随机变化 71 Black-Scholes公式的应用公式的应用 , , 年, （按连续

28、复利计息） 以及 50S45E 0.25 T pa%20%6r22210.22ln/ln 50/450.060.251.25360.20.25S ErTdT1536. 112-dd 72 那么 8950. 01dN8757. 02dN 120.06 0.2550 0.8950 450.87575.93rTcSN dEeN de-0.06 0.255.9345500.26rTpcXeSe- 73 期权价格的决定因素期权价格的决定因素 正的变化正的变化看涨期权看涨期权看跌期权看跌期权股票价格, S执行价格, E波动率, 距离到期日的时间, T无风险利率, r现金股利, d 74 Black-Sch

29、oles模型:公式(简化)0.40CTS在基础股票价格等于执行价格的现值 时，可以用一种简便的近似方法计算期权的价格 75 如果股票价格为100 美元，执行价格为108.33 美元，到期期限为1 年，无风险利率为8% ，红利收益率为0 ，同时波动性为0.20 ，那么买入期权和卖出期权的估计价格为多少？ 76 隐含波动性 是使期权的市场价格与用期权定价公式计算出来的价值相等的 的值。 芝加哥期权交易所(Chicago Board Options Exchange，CBOE)的波动率指数(Volatility Index，VIX)或者称之为“恐惧指数”，衡量标准普尔500指数(S&P 500 In

30、dex)期权的隐含波动率。VIX指数每日计算，代表市场对未来30天的市场波动率的预期。 当指数越高时，显示投资者预期未来股价指数的波动性越剧烈；当VIX指数越低时，代表投资者认为未来的股价波动将趋于缓和。 77 77公司负债与权益的或有要求权分析：期权定价的应用之一 或有要求权分析（CCA）是将期权定价中的复制法应用于其他证券的估值 实例： 假定当已知公司的总价值时，如何对公司的负债及权益进行估值 78 Debtco公司（简称公司） 股票万股普通股 8000万的零息债券年后到期 假定公司总市值为亿美元 求：股票和债券各自的市场价格是多少？令：V 为戴布特科公司的当前市场价值（1亿美元） E 为

31、戴布特科公司权益的当前市场价值 D 为戴布特科公司负债的当前市场价值 V=D+E=1亿美元当公司资产的价值V超过其负债的面值，股东将获得（V8000万）美元；否则，债权人将获得公司的全部资产 79 年后公司价值$8000万债券价值公司债券的收益图 80 80年后公司的价值$8000万股票价值 81 注意：公司资本（股票）的收益图与以公司本注意：公司资本（股票）的收益图与以公司本身为基础资产的看涨期权的收益图是相同的，身为基础资产的看涨期权的收益图是相同的，该期权的执行价格为债券的面值该期权的执行价格为债券的面值 因此，我们可以用期权定价公式为其股票估值。 这时，标的资产价格S公司的价值V； 执行价格E纯贴现债券的面值B T按年计算的债务到期时间1212EVBrTrTCNdSNdE eNdNde- 82 负债的价值D 等于V-E。因此，负债的有保证的连续复利利率R等于： 令无风险利率为每年8%，同时这家企业资产价值的波动性为0.3。 E=28. 24百万美元 D=1亿-2824 万=1176 万美元 R=0.1087 或10.87 % 83 信用担保：期权定价的应用分析之二 在金融体系中，对信用风险的担保很普遍 金融担保的最大提供者，几乎全部是政府和政府机构 风险贷款贷款担保无违约风险贷款风险贷款贷款担保无违约风险贷款 风险贷款无违约风险贷款贷款担保风险贷款无违约风险贷款贷款