高等数学(微积分)83偏导数与全微分课件

1、12),(00yxfxxyxfyxxfx),(),(lim0000000yyxxxz00yyxxxf00yyxxxz00yyxxyz00yyxxyf00yyxxyzxzxfxz),(yxfxyzyfyz),(yxfy),(00yxfyyyxfyyxfx),(),(lim0000034解：解： xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 5;) 1 (zyxu .)arctan()2(zyxu,)1( zyxzyxuzxxyuzy1ln xxzzyln1 )(ln2zyxxzuzy xxzyzyln2 xu 12)()(11 zzyxzyxyu zzyxy

2、xz22)(1)( ,)(1)(21zzyxyxz zu zzyxyxyx2)(1)ln()( (1)(2)6).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 7jipQ)(ln)(ln/lim210jiijjjiiipijpQpQQpppQQEj89例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 /连续连续.1011,)()(

3、22yx,0)(时的无穷小量为12),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim)0,0(),(yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.13yyzxxzdz如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时时，上上式式仍仍成成立立，此时此时|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 14),(),(yxfyyxxfz ),()

4、,(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxfxyyxxfx),(1yyyxfy),(2) 1,0(21yyxfxyxfyx),(),(xyxfyyxxfxx),(),(1yyxfyyxfyy),(),(2yyxfxyxfyx),(),(0,022222122yxyxyyxx其中0),(),(011 yxfyyxxfxx0),(),(02 yxfyyxfxy1516dyyzdxxzdzdzzudyyudxxudunndxfdxfdxfdy.221117,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 18),2sin(yxyxz )

5、,2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(8219.),(),(yyxfxyxfdzzyx.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx20.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 2122;4)1(422yxyxz xyez )2(.2, 1)1ln(. 222时的全微分当

6、求函数yxyxz.1 . 0,15. 0, 1, 13时时的的全全微微分分当当求求函函数数 yxyxezxy求下列函数求下列函数1解答解答解答解答解答解答.的全微分的全微分:)0 , 0(),(),(),(4的的邻邻域域内内连连续续，问问在在点点其其中中设设yxyxyxyxf 存在？在什么条件下）（)0 , 0(),0 , 0(,),(1yxffyx解答解答?)0 , 0(),(,),(2处可微在在什么条件下）（yxfyx解答解答23;4)1(422yxyxz xyez )2(解解 xz,422yx yz348yxy dzdyyxydxyx)48()42(32 xz),(2xyexy yzxe

7、xy1 dz.1)(2dyexdxexyxyxy :1 求求下下列列函函数数的的全全微微分分(1)(1)(2)(2)242.2, 1)1ln(22全全微微分分时时的的当当求求函函数数 yxyxz解解 xz由由,1222yxx yz2212yxy 21yxxz,31 21yxyz32 21yxzddydx3231 253.1 . 0,15. 0, 1, 1时的全微分时的全微分当当求函数求函数 yxyxezxy解解 dz. yxexyeyyzxxzxyxy 1 . 0,15. 01, 1 yxyxzdee1 . 015. 0 e25. 0 26:)0 , 0(),(),(),(4的的邻邻域域内内连

8、连续续，问问在在点点其其中中设设yxyxyxyxf 存在？存在？在什么条件下，在什么条件下，）（)0 , 0(),0 , 0(),(1yxffyx 解解 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 xxxx )0 ,(lim0 显然显然 xxxox)0 ,(lim_ )0 , 0( xxxx)0 ,(lim0 )0 , 0( 存在，存在，要使要使)0 , 0(xf充要条件是充要条件是).0 , 0()0 , 0( , 0)0 , 0( 即即0)0 , 0( xf此时此时, 0)0 , 0( 即即当当0)0 , 0(存在且为存在且为xf,同理同理0)0 , 0(00 yf）时时，（当当 27.)0 , 0(),(),(2处处可可微微在在在在什什么么条条件件下下，）（yxfyx 解解必须有可微在要使由全微分的定义,)0 , 0(),(,yxf22)0,0(),()()()0 , 0()0 , 0(limyxyfxffyxy