激光原理与激光技术第二章

1、 第二章第二章 光学谐振腔理论光学谐振腔理论2.1 谐振腔与模式谐振腔与模式2.2共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件2.3开腔模式的衍射理论分析方法开腔模式的衍射理论分析方法2.4方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模2.5方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场厄米高斯光束厄米高斯光束2.6一般稳定球面腔一般稳定球面腔2.7非稳腔介绍非稳腔介绍基本概念理论基础2.1 谐振腔与模式谐振腔与模式一、光腔的分类一、光腔的分类二、模的概念二、模的概念 腔与模的一般联系腔与模的一般联系三、衡量谐振腔质量的重要参数三、衡量谐振腔质量的重要参数 光学谐振腔光学谐振腔是激光器的重要组成部分，

2、其总的作用表现在两个方面：（1）提供光学反馈，使激光器成为激光振荡器；（2）限模，使激光束具有一定的能量空间分布及频谱结构。 在激光技术发展历史上，最早提出的是所谓平行平面腔。在光学上称为法布里珀罗干涉仪。随着激光技术的发展，人们又广泛采用各种各样的光学谐振腔。 闭腔 稳定腔（共焦腔、其他）光学谐振腔 开腔 非稳腔 临界腔（平行平面腔、共心腔） 气体波导管 一、光腔的分类一、光腔的分类腔反射镜固体激光棒波导管腔反射镜(a)(b)(c)图 2.1.1 (a)闭腔 (b)开腔 (c)气体波导腔驻波腔行波腔（折叠腔）（三镜环形腔）(四镜环形腔） 图2.1.2 光腔的其他分类方法二、模的概念二、模的概

3、念 腔与模的一般联系腔与模的一般联系腔的模式就是光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态。特定的腔 不同的边界条件 不同的电磁场本征态 不同的光腔模式 模特性是光学谐振腔的最重要的特性。一个稳定的光学谐振腔横模横模对应于谐振腔内横向稳定可能光场分布，纵模纵模对应于满足共振条件的纵向稳定的可能光场分布。在激光器的输出光束中，不同横模相当于光强分布不同的光斑花样；不同纵模相当于频率不同的单色谱线。 在进入严格的模式理论之前，本节利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传播模式的谐振条件及纵模频率间隔的普遍表达式。 考虑均匀平面波在fp腔中沿轴线方向往返传播的情形。当波在腔镜上反射时，如射波与反射波将会发生干涉

4、，多次往返反射就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。 表示波在腔内往返一周时的相位滞后，发生相长干涉相长干涉的条件可以表示为： 022lq 2 0ql =q2qc=q2l将满足上式的波长以 来标记，则有：0qq0qc也可以用频率 来表示： 腔的谐振频率腔的谐振频率（2.1.1）（2.1.2）（2.1.3）qq+1qc2l (2.1.3)式表明，fp腔中的谐振频率是分立的，不同的 值对应于不同的纵模。腔的相邻两个纵模间的频率之差 称为纵模间隔。qq 可以看出， 与 无关，对一定的光腔为一常数，因而腔的纵模在频率尺度上是等距离排列的 ，如下图示，其形状像一把梳子，

5、常常称为“频率梳”。qq（2.1.4）qq+1q-1q+2c 图2.1.3 fp腔的频谱 以上是用干涉理论对平行腔进行一个简单的分析，谐振腔的更全面的情况将在衍射理论中讨论。三、衡量谐振腔质量的重要参数三、衡量谐振腔质量的重要参数则如果损耗有多种，每种相对独立的损耗因子为 ，则有： 对于各种损耗，无论其起因如何，我们都可以引进一个“平均单程损耗因子” 来定量地描述。 的定义为：如果初始光强为 ，在腔内往返一次后，光强衰减为 ，总可以写为：0i1i210i =i e1ln201iii123210i =i eii（2.1.5）（2.1.6） （2.1.7）1、损耗、损耗（1）几何横向逸出损耗 a、

6、平行平面腔中斜射光线的损耗 b、腔镜的不完全平行引起的损耗nllcd122nlllcdd谐振腔的损耗主要有以下几种：（2）腔镜的不完全反射引起的损耗（3）衍射损耗1 21ln2rrr 2anl11n 菲涅耳数菲涅耳数2、光子在腔内的平均寿命、光子在腔内的平均寿命设光子在腔内稳往返m次后，所用的时间为t，则：tm2nl c ct2mnl00i ti ei e此时光强衰减为：pcnl pt0i ti e 设 ，则， （2.1.8）（2.1.9）（2.1.10） 从上式可以看出，经过 时间后，腔内光强衰减为初始值 。并且 愈大， 愈小，说明腔的损耗愈大，腔内光子数衰减的愈快。pp1 e3、谐振腔的、

7、谐振腔的q值值谐振腔的q值，沿用lc振荡回路的品质因数q值来表征，其定义为：q=2 腔内存储的总能量单位时间损耗的能量pnlq=22c 由上式看出，腔长越长，损耗越小，谐振腔的q值越高，则激光越容易起振。（2.1.11）（2.1.12）4、无源腔的本征振荡线宽、无源腔的本征振荡线宽 在上面的讨论中已知，由于强损耗的存在，腔内光强是按指数规律衰减的，即 pt0i ti e 020ptite te e e122cpcnl 则称为无源腔的振荡线宽，由上式可知，光在腔内的衰减时间越长，或者说损耗越小，腔长越长，无源腔的线宽越窄。c则中心频率为 的光场，其电矢量表达式为：0c这样的衰减振动，由傅立叶频谱

8、分析已知，频谱将具有有限宽度 ，它与 的关系为：p（2.1.13）（2.1.14）2.2共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件一、腔内光线往返传播的矩阵表示一、腔内光线往返传播的矩阵表示二、共轴球面腔的稳定性条件二、共轴球面腔的稳定性条件一、腔内光线往返传播的矩阵表示一、腔内光线往返传播的矩阵表示 用几何光学方法分析谐振腔的是研究光线在腔内往返反射的过程。如图所示的谐振腔，由曲率半径为 r1和 r2的两个球面镜 m1和 m2构成。 腔内任一傍轴光线在给定的横截面内都可以由两个坐标参数来表征：一个是光线离轴线的距离 ，另一个是光线与轴线的夹角 。r1 1r22r3 3r44r55rlrm1

9、m2图2.2.1 光线在共轴球面腔中的往返传播在自由空间传播时，有几何光学直进原理可知：该方程表示为矩阵形式：这样，我们用一个列矩阵 描述任一光线的坐标，而用一个二阶方阵描述当光线在在自由空间中行进距离l时所引起的坐标变换。211sin21rrlrl 21110121l1trrlrrlt1r12r2（2.2.1）（2.2.2）0i0iirr2rriir0 0r0iri0r0ir110ii0iir0t2rrrr将上述方程表示为矩阵形式，有： 称为球面镜的反射矩阵。rtr在球面镜上发生反射时，根据球面镜对傍轴光线的反射规律有：式中， 、 为入射光线在镜面上的坐标参数； 、 为反射光线在镜面上的坐标

10、参数； 为球面镜在镜面上的坐标参数。（2.2.3）（2.2.4） 回到光线在腔内传播的情形（图2.2.1），光线在腔内完成一次往返，从m1到m2，m2反射，m2到m1，m1反射，其总的坐标变换可写为：1111110 10 1511115111200lla bt22c drrrrrr 11r22r33r44r55rlm 1m 2往返矩阵往返矩阵 在上述分析的基础上，可进一部将光线在腔内经n次往返时其参数的变换关系以矩阵的形式表示为：n11n1n1rrtttttr（2.2.5）（2.2.6）按照矩阵理论可以求得：式中这样则有： 这就是我们用几何光学方法分析傍轴光线在共轴球面腔内往返传播过程所得到的

11、结果。sinsinsinsinsinsinsinnnnnnna-n-1bnaba b1tcdnn 1cdc darccos1a d2nn 1n1nn 1n1ra rbc rd（2.2.7）（2.2.8）（2.2.9）二、共轴球面腔的稳定性条件二、共轴球面腔的稳定性条件 我们所关心的问题也可表述为，在什么情况下傍轴光线在共轴球面腔内任意多次而不致横向逸出腔外。这就要求 n次往返变换矩阵 的各个元素 、 、 、 对任意 n均保持有限。这就归结为 应为实数应为实数（而且 不应为 ， ） 。ntnanbncndk, , ,k 012arcco12sad21121112adad则有：或者即为共轴球面腔的

12、稳定性条件即为共轴球面腔的稳定性条件（2.2.10）腔的稳定性判据：腔的稳定性判据：112112112adadad稳定腔稳定腔非稳腔非稳腔临界腔临界腔homework ：试写出下图示腔的传播矩阵及稳定性条件lllrr2.32.3开腔模式的衍射理论分析方法开腔模式的衍射理论分析方法一、开腔模的一般物理概念一、开腔模的一般物理概念二、开腔模的衍射理论分析方法二、开腔模的衍射理论分析方法 为了简化分析，在这里我们提出一个理想的开腔模型理想的开腔模型：两块反射镜片（平面的或曲面的）沉浸在均匀、无限的、各向同性的介质中。 考虑在这样的开腔中往返传播的一列波。设初始时刻在镜1上某一个场分布u1，则波在腔中

13、第一次渡越而到达镜2时，在镜2上生成一个新的场分布u2，u2境第二次渡越又在镜1生成u3。如此往返，每经一次渡越，波都将因衍射而损失一部分能量，而且衍射还将引起能量分布的变化。可以预可以预期，在经过足够多次渡越后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的期，在经过足够多次渡越后，能形成这样一种稳态场：分布不再受衍射的影响，在腔内往返一次后能够影响，在腔内往返一次后能够“再现再现”出发时的场分布出发时的场分布。 我们把开腔镜面上的经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再开腔的自再现模或横模现模或横模。一、开腔模的一般物理概念一、开腔模的一般物理概念二、开腔模的衍射理论分析方法二、开腔模的衍射理论

14、分析方法 光学中著名的惠更斯菲涅耳原理是从理论上分析衍射问题的基础，因而也必然是开腔模式问题的理论基础。该原理的严格数学表述是菲涅耳基尔霍夫衍射积分，他可以从普遍的电磁场理论推导出来。镜1镜21( ,)u x y2( , )ux y1s2sn12( , )( ,)cosik1sikeux yu x y1ds41、应用菲涅耳基尔霍夫衍射积分有：（2.3.1）2、自再现模积分方程1( , )( , )j 1jux yux y所以有自再现模积分方程：( , )( ,)cosiksikev x yv x y1ds41( , )( ,)iksiv x yv x y edsl由模式“再现”概念有：积分方程

15、可写为：为表示振幅衰减和相位移动的常数因子。式中，且当1cos2, ,cos1,lx yll时，（* 深入理解 的意义）1( , )( , , ,) ( ,)sv x yk x y x y v x y ds( , ,),( , ,)ikx y x yik x y x yel 式中或者（2.3.2）（2.3.3）（2.3.4）（2.3.5）（2.3.6）3、自再现模积分方程的解法解析求解 *，只有对称共焦腔才能得到 方形镜共焦腔长椭球函数，厄米高斯光束 圆形镜共焦腔超椭球函数，拉盖尔高斯函数数值求解（数值迭代）2.42.4方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模一、分析方形镜模解能否分离变量

16、一、分析方形镜模解能否分离变量二、方形镜自再现模的精确解二、方形镜自再现模的精确解三、镜面上场的振幅和位相分布三、镜面上场的振幅和位相分布一、分析方形镜模解能否分离变量一、分析方形镜模解能否分离变量 ?( , )v x yv x v y试证明 和 的解可能不只一个。以 和 分别表示他的第m个和第n个解， 和 表示相应的复常数。 v x v y mvx nvymn ( , )mnmnvx yvx vy 则整个镜面上的自再现模场分布函数为： mnmn （2.4.1）（2.4.2）二、方形镜自再现模的精确解二、方形镜自再现模的精确解1r2rlf2axyzoxy+a+a-a-a( , )( ,)xxy

17、yaaikikllmnmnmnaaivx yevx y edxdyk 上图为由线度为2a*2a的方形镜构成的对称共焦腔，当满足条件22alla,la时，其自再现模 满足的积分方程为：( , )mnvx y（2.4.4）（2.4.3）进行变数代换，取：22ccx=x, y=yaaa kac22 nll并令 ， ( , )mnmnvx yfx gymnmn1 2iklccixxiyymnmnmncciefx gyfxedxgyedy 1212()2()2iklcixxmmm- ciklciyynnnciefxfxedxiegygyedy（2.4.5）（2.4.6）（2.4.7）（2.4.8）（2.

18、4.9）则式（2.4.1）转化为：显然，上式就等价于求解下述两个积分本征值问题： ( , ),0,1,2,xymnmnomonccvx yfx g yscscm n,yxxyaaomomomonccscscscsc 112,10,1,2,2,10,1,2,mmomnnonci rcmci rcn (1)/2114,1,1i klm nmnomonnercrc （2.4.10）iklmnmnie 方程（2.4.8）的精确解已为博伊德和戈登所求得，c为有限值，其中与 相应的本征值为：( , )mnvx y式中则本征值写为，（2.4.11）（2.4.12）（2.4.13）角向长椭球函数场分布本征值三

19、、镜面上场的振幅和位相分布三、镜面上场的振幅和位相分布1 1、厄米、厄米高斯近似高斯近似 在 的区域内，即在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式和高斯分布函数的乘积。,xa ya,22x2xmommmcy2ynonnncfxscc hxegysc=c hy emcnc式中 、 为常系数； 为m阶厄米多项式。mh 在镜面中心附近，厄米高斯函数能正确描述共焦腔模。在厄米在厄米高斯近似下，场分布写为：高斯近似下，场分布写为：( , )22x +ylmnmnmn22vx yc hx hy ell （2.4.14）（2.4.15）1r2rlf2axyzoxy+a+a-a-a2、基模、

20、基模在m=n=0时，即得出共焦腔基模（tem00）的场分布函数：( , )22x +yl0000vx yc e 可见，基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜中心向边缘平滑的降落。在离中心的距离为 处场的振幅降落为中心处的 。通常就用半径为 的圆来规定基模光斑的大小，并定义共焦腔基模在镜面上的光斑半径光斑半径为：22lrxy1erl 0 sl（2.4.16）（2.4.17）3 3、高阶横模、高阶横模( ,)22x +ylmnmnmn22vx ychxhy ell 方形镜共焦腔膜的振幅分布和强度花样(a)振幅分布(b)强度花样4、单程损耗、单程损耗1.41.4000.2070.207(1)2l

21、nna122mnmnmn11 共焦腔自再现模 的单程功率损耗由下式给出： mntem 共焦腔中各个模的损耗与腔的具体几何尺寸无关，而单值地由菲涅尔数确定。所有模式的损耗都随着菲涅尔数的增加而迅速下降。 模的损耗可近似按下述公式（经验公式）计算：00tem（2.4.18）（2.4.19）5、谐振频率、谐振频率mntem共焦腔 模在腔内一次渡越的总相移位：1argargmnmnmn (1)2mnklm n 共焦腔的谐振条件为：以式（2.4.21）代入上式，得出各阶横模的谐振频率为：22mnq 1122mnqcqmnl 以式（2.4.13）的 代入，即可得到：mn （2.4.20）（2.4.21）（

22、2.4.22）（2.4.23）homework ：讨论圆形镜共焦腔的自再现模求解： 本征函数 本征值 基模 模的分布 单程损耗 谐振频率 圆形镜共焦腔模的强度花样2.52.5方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场 厄米厄米高斯光束高斯光束一、振幅分布和光斑尺寸一、振幅分布和光斑尺寸二、模体积二、模体积三、等相位面的分布三、等相位面的分布四、远场发散角四、远场发散角 在上节，我们得到了镜面上的场分布。利用菲涅尔基尔霍夫衍射积分即可求出共焦腔中任一点的场。进而在本节我们研究谐振腔模沿谐振腔在本节我们研究谐振腔模沿谐振腔轴线（轴线（z轴）方向上的变化特性轴）方向上的变化特性。方形镜共焦腔的 模在腔

23、内或腔外任意z处的场分布函数可写为（坐标原点选在腔中心坐标原点选在腔中心）：mntem( )( , , )( )( )( )22rixyzz0mnmn0mn22ex y za ehx hy eezzz,（2.5.1） 2220s0lzzz1112ff222( , , ) (1) (1)122rx y zk fmnf式中（2.5.2）式(2.5.1)、(2.5.2)中各参数的意义如下： ； ； ；l为共焦腔长； 为镜的焦距； 表示 模在腔内任意点 处的电场强度； 为与坐标无关的常量； 为归一化常数。 arctan(1)/(1)2 /z lzf00/ 2/2sl/2fl( , , )mnex y

24、zmntem( , , )x y z0emna一、振幅分布和光斑尺寸一、振幅分布和光斑尺寸按式（2.5.1），共焦场的振幅分布由下式确定：2()00( ,)( )( )( )22xyzmnmnmn22ex y zaehxhyezzz上式表明，腔中不同位置处的光斑大小各不相同，如图 2.5.1示。2( )000000( , , )( )22xyzex y za eez 可见，共焦场基模的振幅在横截面内有高斯分布函数所描述。定义在振幅的 处的基模光斑尺寸为：1/e 22220s0lzzzz1112fff2（2.5.3）（2.5.4）（2.5.5）002s00, x yz2lf 图2.5.1 共焦腔

25、基模高斯光束光斑在共焦腔镜面上，在共焦腔中心， 同时，式（2.5.5）亦表明，共焦场中的基模光斑的大小随着坐标z按双曲线规律变化0()slf002sf此时， 达到极小值，通常将 称为高斯光束的基模腰斑半径。( )z0（2.5.6）22220( )1zzf（2.5.7）二、模体积二、模体积基模模体积：212001vl222m1n1m2n2mn1vl22 模体积描述振荡模式在腔内所扩展的空间体积。模体积越大，对该模式有贡献的受激粒子就越多，因而可获得较大的输出功率，这是对激活介质充满腔的情况而言。否则还应当引入有效模体积，即该振荡模式在激活介质内所扩展的体积。 以下为计算模体积的近似公式， 分别为

26、两镜面上的光斑半径。 12、 模模体积：mntem（2.5.8）（2.5.9）对共焦腔，易证：02121212mnvlmn021200vl（2.5.10）（2.5.11）三、等相位面的分布三、等相位面的分布 共焦场的相位分布由式（2.5.2）中的相位函数 描述。 随坐标而变化，与腔的轴线相交于 点的等相位面的方程由下式给出：( , , )x y z( , , )x y z0z0( , , )(0,0,)x y zz 在腔的轴线附近，共焦场的等相位面可近似为球面，与腔的轴线在 点相交的等相位面的曲率半径为：0z20000( )0zffr zzfzfz 图2.5.2 共焦场等相位面的分布（2.5.

27、12）（2.5.13）四、远场发散角四、远场发散角002s00, x yz2lf 共焦腔的基模光束依双曲线规律从腔的中心向外扩展，由此定义基模远场发散角（全角）为双曲线的两根渐近线之间的夹角：( )limlim220 xxlz212f2z=2zzf 当共焦腔激光器以单模运转时，发散角具有毫弧度量级，光束具有优良的方向性；如果产生多模，则由于高阶模的发散角随模的阶次而增大，因而光束的方向性变差。（2.5.14）2.6 2.6 一般稳定球面腔一般稳定球面腔一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性二、一般稳定球面腔的行波场和模特性二、一般稳定球面腔的行波场和模特性一、一般

28、稳定球面腔与共焦腔的等价性一、一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任何一个稳定球面腔唯一地等价于一个共焦腔。这里所说的“等价等价”，是指它们具有相同的行波场。这种等价性深刻地揭示出各种稳定腔之间的内在联系，它使得我们可以利用共焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔的特征。 基于共焦腔模的行波场的传播特性，我们进一步来讨论一般球面镜腔我们进一步来讨论一般球面镜腔的模特性。的模特性。（1）任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价。）任意一个共焦球面腔与无穷多个稳定球面腔等价。 由于任一共焦腔模有无穷多个等相位面，因而我们可以用这种方法构成无穷多个等

29、价球面腔。现在证明这些球面腔都是稳定腔。1c2c3c4co1z2z3zz 共焦腔面共焦腔面 以图2.6.1所示的等相位面 、 为例，对放置在 、 处的反射镜，应有： 2c1c1c2c21111()frr zzz 22222()frr zzz 21lzz 可以证明， 满足稳定性条件。用类似的方法可以证明放置在共焦腔等相位面处的反射镜都将构成稳定腔。120111llrr 图2.6.1 共焦腔与稳定球面腔（2.6.1）（2）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔。）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共焦腔。 图2.6.2 稳定球面腔与它的等价共焦腔1r2r1z2zlfcc等价共焦腔

30、等价共焦腔oz 图2.6.2中所示的双凹腔应满足式（2.6.1）所示联立的方程。由该联立方程组可唯一地解出一组数 、 和 ：1z2zf2112lrlzlrlr1212l rlzlrlr 12122212l rlrlrrlflrlr 在 、 、 求出后，等价共焦腔就唯一地确定下来了。1z2zf（2.6.2）二、一般稳定球面腔的行波场和模特性二、一般稳定球面腔的行波场和模特性1、镜面上的光斑尺寸、镜面上的光斑尺寸共焦腔中基模的光斑尺寸为： 202zz1f（2.6.3）()()()()()()()()1 412s111121 421s22212rl rlzrlr +r -lrl rlzrlr +r

31、-l将式（2.6.2）中所示的 、 或 代入上式，即得出一般稳定球面腔（ 、 、 ）的行波场的基模光斑尺寸的分布：f2z1zl2r1r（2.6.4）2、模体积、模体积21200122ssvl 与共焦腔模体积（2.5.8）相同的考虑方法，一般稳定球面腔的基模模体积可以定义为：2121mn00vvmn高阶模的模体积：（2.6.5）（2.6.6）3、等相位面的分布、等相位面的分布( )2fr zzz 由式（2.5.13）的共焦腔的等相位面分布 ，代入（2.6.2）中的 f 值，即得出稳定腔中高斯光束的等相位面的曲率半径方程式。4、基模远场发散角、基模远场发散角 将式（2.6.2）中的 f 值代入共焦腔的基模发散角公式（2.5.14）中即得出一般稳定球面腔的基模远场发散角：1 42212022212(2 -)2(- )(- )(- )l r rl rl rl rrl（2.6.7）5、衍射损耗、衍射损耗共焦腔的每一个横模的单程衍射损耗单值地由腔的菲涅耳数决定：2220saanl定义稳定球面腔的有效菲涅耳数为：ii2ief2san （2.6.8）（2.6.9） 对一般稳定球面腔，每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数 ，不同的菲涅耳数对应不同的损耗。两个反射镜上的损耗