李丽大学物理上15振动学

1、2021-10-2112021-10-212第第 四四 章章 振动学基础振动学基础一切波动都是某种一切波动都是某种振动的传播过程。振动的传播过程。物体在某一位置附近所物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。作的来回往复的运动。复杂振动复杂振动任何一个物理量随时间任何一个物理量随时间的周期性变化即为振动。的周期性变化即为振动。广广 义：义：振动是波动的基础：振动是波动的基础： 简谐振动简谐振动 = 机械振动机械振动:2021-10-213一、一、简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量三、振幅和初相的确定三、振幅和初相的确定四、简谐振动的描述方法四、简

2、谐振动的描述方法2021-10-2144.14.1简谐振动的特征及描述简谐振动的特征及描述kxf f弹弹簧簧振振子子一、一、简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程平衡位置平衡位置1.1.回复力回复力物体所受合外物体所受合外力为零的位置力为零的位置mkkmoxxmmk0 xfxxo竖竖直直)(0 xxkmgf kx 斜放斜放返回返回7 72021-10-215kxf 0222 xdtxd令令2.简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程xmka )(2xa 又又ma 22dtxda mk 2mfk（动力学方程）（动力学方程）0 xx返回返回9 92021-10-216)cos( tax3.3.简谐振动的

3、运动方程简谐振动的运动方程dtdxv )sin( ta22dtxda )cos(2 ta加速度振 幅a a2 速 度振 幅 mv ma0222 xdtxd（振动方程）（振动方程）2021-10-217kxf )cos( tax三三 条条 特特 征征)0(2222 xdtxdxa简谐振动简谐振动三条判三条判据据简谐振动的简谐振动的定义定义式式简谐振动的简谐振动的普遍定义普遍定义式式2021-10-218二点说明坐标原点取在平衡位置坐标原点取在平衡位置(2)(2)证明一种振动是简谐振动的一般步骤证明一种振动是简谐振动的一般步骤 a a）确定研究对象，找平衡位置。）确定研究对象，找平衡位置。 b b

4、）建立以平衡位置为原点的坐标系。）建立以平衡位置为原点的坐标系。 c c）进行受力分析。）进行受力分析。 d d）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置）利用牛顿定律或转动定律写出物体在任一位置 的动力学方程。的动力学方程。 e e）根据判据判断该振动是否为简谐振动。）根据判据判断该振动是否为简谐振动。 (1)(1)特征方程成立的条件特征方程成立的条件: :返回返回3 32021-10-219二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量1、振幅：、振幅：2 2、周期、周期（t t）：）：21t 2 2t)cos( tax（a） 表示物体离开平衡位置的最大距离表示物体离开平衡位置的最大距离

5、 频率频率（ ) )、圆频率圆频率（） )cos( tax)(cos tta)cos(tta 2t2021-10-2110(1) (1) 建立振动系统的微分方程建立振动系统的微分方程比较与与标标准准方方程程 )2( ,2,2 )3(tt求振动系统的固有利用公式弹弹簧簧振振子子mk kmt 22mkt 211022 bxdtxd 动系统的固有圆频率前的系数的开方就是振x0222 xdtxd返回返回4 4求一个振动系统固有求一个振动系统固有、t t、 的方法的方法2021-10-21113 3、位相和初相、位相和初相(1)位相：位相：ax 2 t（相位、周相、相）（相位、周相、相）0 x(2) (

6、2) 初相初相: :2 00 x0 ax 0不同的位不同的位相表示相表示不不同的运动同的运动状态。状态。初相不同，初相不同，物体的初物体的初始运动状始运动状态不同。态不同。)sin( tav)cos( tax0 v0 tav 00 vav 0 t表示物体的运动状态表示物体的运动状态2021-10-2112（3）对位相作四点说明）对位相作四点说明a) 用位相表征物体的振动状态用位相表征物体的振动状态,可以反映振动的周期性可以反映振动的周期性)(2 t b) 若已知位相差若已知位相差 ，可以求出同一简谐振动由一个，可以求出同一简谐振动由一个状态变化到另一状态所经历的时间状态变化到另一状态所经历的时

7、间 tt tc) 利用位相差比较两个同方向、同频率简谐振动的步调利用位相差比较两个同方向、同频率简谐振动的步调x1=a1cos(t+ 1)x2=a2cos(t+ 2)12 当当 =2k (k=0,1,2,)两振动步调一致，同相两振动步调一致，同相当当 =(2k+1) (k=0,1,2,) 两振动步调相反，反相两振动步调相反，反相d) 位相也可以用来比较不同物理量的步调位相也可以用来比较不同物理量的步调)cos( tax)(1 t2021-10-2113三、振幅和初相的确定三、振幅和初相的确定当当t=0时时22020 vxa确定确定 的方法：的方法：ax0cos v0=-asin v0= - a

8、sin av 0sin00 xvtg x0=a cos x=x0 v=v0 x0=acos 或或由由 的正负，根据的正负，根据 确定确定 cos 或或sin 的正、负，的正、负，00,vx 从而确定从而确定 所在的象限所在的象限)cos( tax)sin( tav初始初始条件条件2021-10-2114)cos( tax)sin( tav)cos(2 taaxa234o,xav,taaa2v四、简谐振动的描述方法四、简谐振动的描述方法 2.图线法图线法(振动曲线振动曲线)1. 解析法解析法2021-10-2115 3. 3. 旋转矢量法旋转矢量法 tt=0 x.o txa 振幅振幅矢量)cos

9、( tax(2) 圆周运动的半径圆周运动的半径 参参考考圆圆绕绕o点以角速度点以角速度 逆时针旋逆时针旋转的矢量转的矢量 a，在，在x 轴上的投轴上的投影正好描述了一个简谐振动影正好描述了一个简谐振动等于等于振动的圆频率振动的圆频率(1) 圆周运动的角速度圆周运动的角速度 (3) 圆周的矢径与圆周的矢径与x轴夹角轴夹角 等于等于振动的振幅振动的振幅初始时刻初始时刻等于等于振动的初相振动的初相 (4) 已知质点的运动状态已知质点的运动状态, （或振动曲线（或振动曲线）能画出振）能画出振幅矢量的位置幅矢量的位置,从而确定该从而确定该时刻位相时刻位相 任意时刻任意时刻等于等于振动的位相振动的位相 注

10、意几个问题：注意几个问题：2021-10-2116.2a 1v23 32 x1t.o a2t2v0, 2/:111 vaxt 时时刻刻0, 0:222 vxt 时时刻刻求二时刻分别对用的位相。求二时刻分别对用的位相。(a) 取取ox轴（沿振动方向）轴（沿振动方向）(b) (b) 作参考圆：作参考圆：以以o o为圆心，振幅为圆心，振幅a a为半径作一圆周为半径作一圆周(c) 在在x轴（振动轴）上轴（振动轴）上 找出与质点运动状态的对应点找出与质点运动状态的对应点(d) 作振幅矢量：作振幅矢量：过与质点运动状态对应点作过与质点运动状态对应点作x轴的垂轴的垂线，线，与参考圆相交两点，与参考圆相交两点

11、，从原点从原点o向这两点作向量，向这两点作向量，根根据速度方向确定振幅矢量的位置据速度方向确定振幅矢量的位置(e)(e)该振幅矢量与该振幅矢量与x x轴正向夹角就是该时刻的位相轴正向夹角就是该时刻的位相例例1：解解：2021-10-2117)(a0a t0 xx例例2： 已知振动曲线，求已知振动曲线，求t=0时刻的位相时刻的位相（初相）（初相）解解：2021-10-2118已知简谐振动表达式已知简谐振动表达式xa32)32cos( tax试画出振动曲线试画出振动曲线0 tx例题例题3解解：2021-10-2119一质点沿一质点沿x 轴作简谐运动轴作简谐运动，a = 0.12 m ，t=2s ，

12、当，当t = 0时质点对平衡位置的位移时质点对平衡位置的位移 x0 = 0.0 6m 向向x 轴正向运动。轴正向运动。求：（求：（1）简谐运动表达式；）简谐运动表达式； (2) t=t/4时，质点的位置、速度、加速度时，质点的位置、速度、加速度; (3) 第一次通过平衡位置的时刻。第一次通过平衡位置的时刻。解：解： （1）)tcos(ax t 2 )tcos(.x 120 a/2 t xx3 ?3 例题例题42021-10-2120（2）t =t/4 时，质点的位置、速度、加速度；时，质点的位置、速度、加速度；)3cos(12. 0 tx)3sin(12.0 tv)3cos(12.02 ta2

13、14 ttm104.0)32cos(12.0 xm/s188.0)6sin(12.0 v22m/s03.1)6cos(12.0 a2021-10-2121 （3）第一次通过平衡）第一次通过平衡位置的时刻位置的时刻)(a 0)t (a t(s) 83.065 tx 还可以求还可以求“第二次第二次”旋转角度旋转角度11 /6平衡平衡位置位置)3cos(12.0 tx 65 2021-10-2122小小 结结 kxf 一、一、简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程1.1.回复力回复力0222 xdtxd2.简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程)(2xa （动力学方程）（动力学方程）)cos( tax)

14、sin( tav)cos(2 taa3.3.简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程 （振动方程）（振动方程）avm aam2 掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤2021-10-2123二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量1.振幅：振幅：2.2.周期周期（t t）：）： 21t 2 2t)cos( tax（a） 频率频率（)、圆频率圆频率（） 弹弹簧簧振振子子mk kmt 22mkt 2112020)(vxa求振幅有求振幅有三种方法三种方法22)(vxakea/2 （1）已知初始位速）已知初始位速（3）已知总机械能）已知总机械能（2）已知任意位速）已知任意位速2021-10-2124求求圆圆频频率率的的方方法法(1) (1) 建立振动系统的微分方程建立振动系统的微分方程t 22022 bxdtxd 动系统的固有圆频率前的系数的开方就是振x（2