空间向量的数量积运算

1、共线向量共线向量: :零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. . 1.1.共线向量共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作ba/ 2. 2.共线向量定理共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向量 的充要条件是存在实的充要条件是存在实数数使使baobba/),(,ba 推论推论: :如果如果 为经过已知点为经过已知点A A且平行且平行已知非零向量已知非零向量 的直线的直线, ,那么对任一点那么对任一点O,O,点点P P在

2、直线在直线 上的充要条件是存在实数上的充要条件是存在实数t,t,满足等式满足等式OP=OA+tOP=OA+t 其中向量其中向量a叫做直线的叫做直线的方向向量方向向量. .llaaABtOAOPaABl得得取取在在,OaLAPaB2.2.共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要共面的充要条件是存在实数对条件是存在实数对 使使, a byx,Pxayb p, a bOMabABAPp 推论推论: :空间一点空间一点P P位于平面位于平面MABMAB内的充内的充要条件是存在有序实数对要条件是存在有序实数对x,yx,y使使 或对空

3、间任一点或对空间任一点O,O,有有 MPxMAyMB OPOMxMAyMB注意：注意：空间四点空间四点P、M、A、B共面共面 存存在在唯唯一一实数对实数对,xyMPxMAyMB （） 使得(1)OPxOMyOAzOBxyz 其其中中，3.1.3 空间向量的数量积平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量 , 则则叫做叫做 的数量积，记作的数量积，记作 , 即即, a b cos a b, a b a b cosa ba b 并规定并规定 0 0a平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质babacos0aba b 2| |aa a 变形变形求夹角垂直依据长度（模）

4、对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,abcosbaba平面向量数量积运算律平面向量数量积运算律 ()()()a ba bab a bb a()a b cab ac （数乘结合律） （分配律） （交换律） 平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量 , 则则叫做叫做 的数量积，记作的数量积，记作 , 即即, a b cos a b, a b a b cosa ba b OABabab向量的夹角：向量的夹角：0Bb关键是关键是起点相起点相同！同！非零向量非零向量 a, b, 在空间任取一点在空间任取一点O，作，作OA=a，OB=b ，则角则角AOB叫做向量叫做向

5、量 a 与与 b 的夹角，的夹角，1、空间两个空间两个向量的夹角向量的夹角记作记作 .abaAB显然，显然，=空间两个向量的夹角的取值范围：空间两个向量的夹角的取值范围：空间向量的数量积的定义与平面向量类似空间向量的数量积的定义与平面向量类似Ob0 0， 如果如果= ，则称，则称 a 与与 b 互相垂直，记作互相垂直，记作ab.2设设OA=a，则有向线段，则有向线段OA的长度叫做向量的长度叫做向量 a 的的长度长度(模模)，记作，记作a2 向量的垂直向量的垂直3 向量的长度（模）向量的长度（模）4 4 向量的数量积向量的数量积0ab 当当 ab 时，时，a b| a | |b |cosa,b

6、a bcosa,b|a| |b| 向量的夹角公式向量的夹角公式: :5 5 数量积的性质数量积的性质|cos,a eaa e 0baba22a|a|a a （1）（2）（3）6 数量积的运算律数量积的运算律)()(baba交换律）(abba分配律）()(cabacba（1）（2）（3）课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练1空间向量的夹角空间向量的夹角自学导引自学导引定义定义记法记法_范围范围_当当a，b 时，时，_a，b0，ab想一想想一想：a，b与与b，a相等吗？相等吗？a，b与与a，b呢？呢？提示提示a，bb，a，a，ba，b课前探究学习课前探究学习课堂

7、讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练空间向量夹角的理解空间向量夹角的理解名师点睛名师点睛1课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练空间向量的数量积空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量定义：已知两个非零向量a，b，则，则|a|b|cos a，b叫做叫做a，b的数量积，记作的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数量积的运算律2数乘向量与向量数乘向量与向量数量积的结合律数量积的结合律(a)b_交换律交换律ab_分配律分配律a(bc)_(ab)baabac自学导引自学导引课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练注意注意：

8、数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律若若a，b，c(b0)为实数，则为实数，则abbcac；但对于向量就；但对于向量就不正确，即不正确，即abbc(b0)/ ac.数量积运算不满足结合律数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于不一定等于a(bc)这是由于这是由于(ab)c表示一个与表示一个与c共线的向量，而共线的向量，而a(bc)表示一个与表示一个与a共线共线的向量，而的向量，而c与与a不一定共线不一定共线名师点睛名师点睛课前探究学习课前探究学习课堂

9、讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练(3)数量积的性质数量积的性质两个两个向量向量数量数量积的积的性质性质(1)若若a，b是非零向量，则是非零向量，则abab0.(2)若若a与与b同向，则同向，则ab|a|b|；若反向，则若反向，则ab|a|b|.特别地：特别地：aa|a|2或或|a|(3)若若为为a，b的夹角，则的夹角，则cos .(4)|ab|a|b|.例例1. 1. 在平面内的一条直线在平面内的一条直线, ,如果和这个平面的一条如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直斜线的射影垂直, ,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直. .OPAl已知已知: PO, PA分别是平面分别是

10、平面的垂线、斜线，的垂线、斜线，OA是是PA在平面在平面内内的射影的射影，且且 l OA. .l 求证求证: l PA.证明证明: l OA,a 取取 l 的方向向量的方向向量 ，a ()a POOA 0a OA PO 平面平面, POl ,0a PO a PA a POa OA 0 aPA PA. l即即 在平面内的一条直线在平面内的一条直线, ,如果和这个平面的一条如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直斜线的射影垂直, ,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直. .OPAl这个命题的结论称为这个命题的结论称为三垂线定理三垂线定理.PO, PA分别是分别是的的垂线垂线、斜线斜线，OA是是

11、PA在平面在平面内内的的射影射影，三垂线定理可记为三垂线定理可记为: 与射影垂直，则与斜线垂直与射影垂直，则与斜线垂直.例例1.l 是是内内的一条直线的一条直线.斜线斜线垂线垂线射影射影平面内的直线平面内的直线 在平面内的一条直线在平面内的一条直线, ,如果和这个平面的一条如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直斜线的射影垂直, ,那么它也和这条斜线垂直那么它也和这条斜线垂直. .OPAl 请你写出请你写出三垂线定理三垂线定理的的逆定理逆定理.三垂线定理逆定理可记为三垂线定理逆定理可记为: 与斜线垂直，则与射影垂直与斜线垂直，则与射影垂直.斜线斜线垂线垂线射影射影平面内的直线平面内的直线 在平面内

12、的一条直线在平面内的一条直线, ,如果和这个平面的一条如果和这个平面的一条 斜线垂直斜线垂直, ,那么它也和这那么它也和这条斜线的射影垂直条斜线的射影垂直. .lBmn例例2用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理 已知已知：m,n是平面是平面内内的的两条两条相交相交直线，直线直线，直线l与与 的交点的交点 为为B B，且，且 lmm, , lnn . .求证求证：l . .证明证明：在在 内内任作一任作一条条直直线线g, ,在在l, m, n, g上上取非零向量取非零向量 l, m, n, g lg= x m+ y n, mng g 因因mm与与n n

13、相交，得相交，得mm与与n n不平行不平行. . 存在唯一的实数存在唯一的实数x, y使使又由已知又由已知l m=0, l n=0 l g = g = l ( (xm+yn) )= x l m+ y l n =0.=0. l g, 即即l g.又又g 是是内的任一条直线，内的任一条直线， l . .43 ,5 ,90 ,60AABCDA B C DABADAABADBAADAAC 在在平平行行六六面面体体中中，求求DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA |85AC 课堂练习课堂练习

14、:课本课本92页第页第2题题课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练题型一题型一利用数量积求夹角利用数量积求夹角 如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA与与BC所成角所成角的余弦值的余弦值【例例1】课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练2如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分

15、别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 ()A2 B2 C2 D2 解析2 a2，故A错2 a2，故B错；2 a2，故D错，只有C正确答案CACBADBADACFGCBEF ACBADBADCBEF 课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练4已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab| ，则cosa，b_解析将|ab| 化为(ab)27，求得ab ，再由ab|a|b|cosa，b求得cosa，b .答案77218181课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练7已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60，则此平行六面体的对角线AC1的长为A. B2 C. D.解析：答案：D35611AAADABAC2121)(AAADABAC112122222AAADAAABADABAAADAB6)60cos60cos60(cos2111. 6|1 AC课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练9已知|a|3 ，|b|4，mab，n