2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第1章《1.3.1 空间直角坐标系》(含解析)

1、1.3空间向量及其运算的坐标表示13.1空间直角坐标系学习目标1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标知识点一空间直角坐标系1空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分2右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手

2、拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系思考空间直角坐标系有什么作用？答案可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化知识点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使xiyjzk.在单位正交基底 i，j，k下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标思考空

3、间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？答案x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0,0)y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)知识点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a(x，y，z)思考空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？答案点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量 的坐标也为(x，y，z)1空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是

4、(0，b，c)的形式()2空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式()3关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反()一、求空间点的坐标例1(1)画一个正方体ABCDA1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则顶点A，C的坐标分别为_；棱C1C中点的坐标为_；正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为_答案(0,0,0)，(1,1,0)(2)已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标解正四棱锥PABCD

5、的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为2.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，2,0)，B(2,2,0)，C(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,2)答案不唯一反思感悟(1)建立空间直角坐标系的原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面充分利用几何图形的对称性(2)求某点M的坐标的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)

6、跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由F作FMAD，FNCD，垂足分别为M，N，由平面几何知识知FM，FN，故F点坐标为.因为CGCD，G，C均在y轴上，故G点坐标为.由H作HKCG，可得DK，HK，故H点坐标为.(答案不唯一)二、空间点的对称问题例2在空间直角坐标系中，已知点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对

7、称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)对称的点的坐标解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(2，1，4)(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(2,1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3的坐标为(6，3，12)反思感悟空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解(

8、2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论跟踪训练2已知点P(2,3，1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为_答案(2，3,1)解析点P(2,3，1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，3,1)三、空间向量的坐标例3已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA14，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，的坐标解建立如

9、图所示的空间直角坐标系，设i，j，k，4i0j0k(4,0,0)，0i4j4k(0,4,4)，4i4j4k(4,4,4)反思感悟向量坐标的求法(1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同；(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得跟踪训练3已知A(3,5，7)，B(2,4,3)，设点A，B在yOz平面上的射影分别为A1，B1 ，则向量的坐标为_答案(0，1,10)解析点A(3,5，7)，B(2,4,3)在yOz平面上的射影分别为 A1 (0,5，7), B1 (0,4,3)，向量的坐标为(0，1,10)1点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()Ay轴上 BxOy面上CxOz面

10、上 DyOz面上答案C2在空间直角坐标系中，点P(1,3，5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A(1,3，5) B(1,3,5)C(1，3,5) D(1，3,5)答案B3在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)到平面yOz的距离是()A1 B2 C3 D.答案A4点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为_；点P关于z轴的对称点P2的坐标为_答案(1,1，1)(1，1,1)解析点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(1，1,1)5在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A

11、1(4,0,3)，则向量的坐标为_答案 (4,2,3) 解析4i2j3k(4,2,3)1知识清单：(1)空间直角坐标系的概念(2)点的坐标(3)向量的坐标2方法归纳：数形结合、类比联想3常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同 1.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是()A(1,0,0)B(1,0,1)C(1,1,1)D(1,1,0)答案C解析点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2点A(0，2,3)在空间直角坐标系中的位置是()A在x轴上 B在xOy平面内C在yOz平面内 D在xO

12、z平面内答案C解析点A的横坐标为0，点A(0，2,3)在yOz平面内3在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(2，3，4)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于yOz平面对称C关于坐标原点对称 D以上都不对答案C解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称4在空间直角坐标系中，已知点P(1，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A(0，0) B(0，)C(1,0，) D(1，0)答案B解析由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.5如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，则等于()A.B.C.D.答案C解析kj.6

13、点P(1,2，1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则xyz_.答案0解析点P(1,2，1)在xOz平面内的射影为B(1,0，1)，x1，y0，z1，xyz1010.7已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_答案(4,0，1)解析设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，中点坐标为(4,0，1)8已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为_答案(5,4,1)解析设B点的坐标为(x，y，z)，则有4，3，1，解得x5，y4，z1，故B点的坐标为(5,4,1

14、)9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABCDABC的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱CD，DA，AA，AB，BC，CC的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标解正方体DABCDABC的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱CD，DA，AA，AB，BC，CC的中点，正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F，G，H，I，J.10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标

15、解由题意知，点B的坐标为(1,1,0)由点A与点B关于x轴对称，得A(1，1,0)，由点C与点B关于y轴对称，得C(1,1,0)，由点D与点C关于x轴对称，得D(1，1,0)又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点，所以由中点坐标公式可得E，F.11已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则向量点B的坐标为_答案(1，3，5)12在空间直角坐标系中，点M(2,4，3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是_答案(2,0,3)解析由题意，知点M1的坐标为(2,0, 3)，所以点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)13如图，正方体ABCDABCD的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为_答案(1，2，1)解析因为D(2，2,0)，C(0，2,2)，所以线段DC的中点M的坐标为(1，2,1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(1，2，1)14.如图是一个正方体截下的一角PABC，其中PAa，PBb，PCc.建立如图所示的空间直角坐标系，则ABC的重心G的坐标是_答案解析由题意知A(a，0,0)，B(0，b，0)，C(0,0，c)由重心坐标公式得点G的坐标为.15已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则p在基底2a，b，c下的坐标为_；在基底ab，ab，c下的坐标为_答案(1,1,1)