知识讲解-三角恒等变换-基础

1、精品文档三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆） .【知识网络】三两角和与差的CST角三角函数公式恒CTS简单的三角等恒等变换变换倍角公式C 2S2T 2【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式sin()sincoscos sin( S() )cos()coscosmsinsin(C() )tan

2、()tantan(T() )1 tan tan要点诠释：1公式的适用条件 ( 定义域 )：前两个公式S() , C( ) 对任意实数，都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式T() 中,R，且、 、k (k Z)22正向用公式 S() , C( ) ，能把和差角() 的弦函数表示成单角，的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角() 的弦函数。公式 T() 正向用是用单角的正切值表示和差角() 的正切值化简。考点二、二倍角公式1.在两角和的三角函数公式S(), C(),T()中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式S2,C2 ,T2：sin 22sincos(S2 ) ；。1欢迎下载

3、精品文档cos2cos2sin 2(C2 )；2 tan(T2 )。tan 2tan21要点诠释：1在公式 S2,C2中，角没有限制，但公式T2 中，只有当k和k(kZ) 时才成422立；2. 余弦的二倍角公式有三种：cos 2cos2sin 2 2 cos21 12sin 2；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。3. 二倍角公式不仅限于 2和的二倍的形式，其它如4是 2的二倍，是的二倍 ，3是3的242二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幂公式：

4、 sin cos1 sin 2；2sin 21cos2；2cos21cos2.2万能公式： sin 22 tan；1tan2cos21tan 2.1tan 2半角公式： sin1cos；22cos1cos；22tan1cos.1cos2其中根号的符号由所在的象限决定.2要点诠释：(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定；23(2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是 3的半角， 2可以看作是 4的半角等等。2(3)正切半角公式成立的条件是2k + (k Z)。2欢迎下载精品文档正切还有另外两个半角公式：tansin(2k), tan1cosk ), k Z ，这两21 cos2(sin

5、个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。考点四、三角形内角定理的变形由 AB C，知 A(B C) 可得出：sin Asin( BC ) ， cos Acos(B C ) .而 A(B C) ，有： sin Acos(BC ) ， cos Asin ( BC) .2222222【典型例题】类型一：正用公式例 1. 已知 : sin2 , cos1 ，求 cos()的值.34【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析 】由已知可求得 cos1sin25 , sin1cos215.34当在第一象限而在第二象限时，cos()coscossins

6、in5 (1)2152155.343412当在第一象限而在第三象限时，cos()5 (1 )2(15 )2155.343412当在第二象限而在第二象限时，cos()(5 )(1 )2152155.343412当在第二象限而在第三象限时，cos()(5 )(1 )2(15 )2155.343412【点评】例 1是对公式的正用当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：【变式 1】已知 x (,0) ， cos x4 ，则 tan2x.2425【答案】.7tan x【变式 2】已知 tan(x).2 ，则4tan 2x【答案】 19【变式 3】已知 tan和 tan是方程 2x2x6 0

7、 的两个根，求 tan() 的值.【答案】181【解析】由韦达定理，得tantantan3， tan2。3欢迎下载精品文档 tan()tantan1 .1tantan8【变式4】某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)sin2 13cos2 17sin13cos17(2)sin2 15cos2 15sin15cos15(3)sin2 18cos2 12sin18cos12(4)sin2 (18 )cos2 48sin(18 )cos 48(5)sin2 (25 )cos2 55sin(25 )cos55 试从上述五个式子中选择一个, 求出这个常数 根据 ( )

8、的计算结果 , 将该同学的发现推广三角恒等式, 并证明你的结论 .【解析】 . 选择 (2) 式计算如下 sin 2 15cos2 15sin15 cos1511sin 30324. 证明:sin 2cos2 (30)sincos(30)sin 2(cos30cossin 30sin)2sin(cos30cossin 30sin )sin 23 cos23 sincos1 sin23 sincos1 sin 2424223 sin 23 cos234434123例 2已知， cos(), sin()，求 sin2的值 .24135【思路点拨】注意到2()()，将 () ， () 看做一个整体来

9、运用公式 .【解析】 Q3, 0,34，242sin()1cos2 ()1 (12 )25，1313cos()1sin 2 ()1 (3)24，55。4欢迎下载精品文档sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()312(45513)1355665【点评】 1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例 2中应用了 2() () 的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(), ,1() (), 2() () ,() 等.24242、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“

10、角的关系式”入手切入或突破. 角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】已知 sin3，是第二象限角，且tan() 1，求 tan 2的值 .5【答案】7243【解析】由sin5 ()3且是第二象限角，得tan，4， tantan()tan()tan7 .) tan1 tan(tan 22 tan71tan224【变式 2】函数 y23 sin(70 ox) 2cos(10ox) 的最大值为（）A23 B4C 2D223【答案】 C；【解析】 70ox 60o(10ox) ，原式 2oox)ooo3si

11、n 60 cos(10cos60 sin(10x) 2cos(10 x)ox)o.cos(103sin(10 x)2sin(40 ox)所以其最大值为 2，故选 C.【变式 3】已知 cos()4，求 cos（2）的值 .12，且5212【答案】 31250。5欢迎下载精品文档【解析】角的关系式：2122()（和差与倍半的综合关系）124 cos()4， sin()3，且5125212 sin 2() 2 sin() cos()2412251212cos2()2 cos2 () 17121225（） 2cos2.cos2()42cos 2()sin 2()121212122 ( 724 )31

12、 22252550【变式 4】已知43， 0， cos()3 ， sin( 3)5，求 sin() 的值。4445413【答案】 56654 ，【解析】40 ， sin()245 33， cos( 3)12。44413 sin()cos2()cos( 3)()44cos( 3) cos()sin( 3) sin()44441235(4)5613513565类型二：逆用公式例 3. 求值：（ 1） sin43 cos13cos43 sin13；（ 2） 2 cos x6 sin x ；1 tan15o（ 3） 1 tan15o ；（ 4） (sin 23o cos8osin 67o cos98

13、o)(sin 4 7o30 cos4 7o30 ) .【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式 = sin(4313 )sin 301；2（ 2）原式22( 1 cos x3 sin x)22(sin30o cos xcos30 o sin x) 2 2 sin(30 ox) ；22（ 3）原式tan 45otan15otan(45o15o)tan 60o3 ；1 tan 45o tan15o。6欢迎下载精品文档（ 4）原式 (sin 23o cos8ocos23o sin8 o )(sin 2 7o30 cos2 7o30 )(sin 2 7o30 cos2

14、7o30 )sin(23o8o )(cos2 7o30 sin2 7o30 )sin15 o cos15o1sin 30o1 .24【点评】把式中某函数作适当的转换之后， 再逆用两角和 （差）正（余）弦公式， 二倍角公式等， 即所谓 “逆用公式”。辅助角公式： a sinb cosa2b2 sin() ，其中角在公式变形过程中自然确定 .举一反三：【变式 1】化简 sin163 sin 223sin 253 sin313 .【答案】 123【变式 2】已知 sin()coscos()sin），那么 cos 2 的值为（A 7B 187185C D 25252525【答案】 A；【解析】 sin

15、()coscos()sinsin()sin()sin3，75 cos 212sin 2.例 4. 求值：25（1） cos36 cos72；（ 2） coscos2cos 3777.【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值【解析】（1）原式 = sin 360 cos360 cos72 01sin 720 cos72 01sin144 01；sin 3602sin 3604sin 3604（2）原式 = coscos 2cos(4)coscos 2cos 4777777sin7coscos2cos4777sin7sin 2cos 2cos 47772sin7sin 8.7

16、8sin718【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2 倍；最大角的2。7欢迎下载精品文档倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意2 的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。举一反三：【变式】求值：（1） cos20 cos40 cos80 ；（ 2） sin10 sin30 sin50 sin70.【答案】（ 1） 1 ；（ 2） 1816【解析】（ 1）原式 = 2sin 20 cos20 cos40 cos802sin 20= 2 sin 400 cos400 cos8002

17、sin 80 0 cos80022 sin 20 08sin 20 0= sin 160018 sin 20 08（2） sin10 sin30 sin 50 sin70 cos800 1cos400 cos2001 cos200 cos400 cos80012216类型三：变用公式例 5 求值：（1） tan 200tan 4003 tan 20 0tan 400 ；（ 2） (1tan10 )(1 tan 20 )L (1【 思 路 点 拨 】 通 过 正 切 公 式 tan(tantan， 注 意 到 tan)tan1 tantan 430 )(1tan 440 )tan,tantan与

18、tan() 之间的联系 .【解析】（1） Q tan 600 =tan(20 0400 )tan 200tan 4003 ，1 tan 200 tan 400tan 200tan 4003(1tan 200 tan 400 )原式3(1tan 200 tan 400 )3 tan 200 tan 4003 .（2） Q450,1tantan，1tantan(1tan)(1tan)2 ，(1tan)(1tan)2(1tan10 )(1tan 440 )2,(1tan 20 )(1 tan 430 )2,L(1tan10 )(1tan 20 )L(1tan 430 )(1tan 44 0)222.

19、【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出tantan,tantan与 tan(的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握 . 但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：tan 45 1， sin2cos2举一反三：) 三者间1 .【变式 1】求值： tan 22otan 23otan 22o tan 23o =【答案】 1【变式 2】在ABC 中，tan Btan C3 tan B tan C3 ,3 tan A3 tan B1tan A tan B ，。8欢迎下载精品文档试判断ABC 的形状 .【答案】等腰三角形【解析】

20、由已知得tan BtanC3(1tan B tan C ) ,3(tan Atan B)(1tan A tan B) ,即 tan B tan C3 ，1tan A tan B3 ，1 tan Btan Ctan A tan B3tan(B C )3， tan( AB)3，3Q0BC,0AB, B C, A B5 ,36又ABC, 故 A2, B C,36故 ABC 是顶角为 2 的等腰三角形 .3类型四：三角函数式的化简与求值例 6.化简：（ 1） sin 50 (13 tan10 ) ； (2 ）2cos 21)sin 2 (2 tan()44【思路点拨】（ 1）中函数有正弦有正切，一般将

21、切化弦处理；（ 2）中有平方，而且角度之间也有关系，() ()，所以要用二倍角公式降次 .442【解析】（ 1）原式sin5003sin10 0(1)cos100sin50 0cos1003sin10 0cos100=2sin500sin 300 cos100cos300 sin1000cos102sin500 sin 4002cos40 0 sin 400cos100cos100sin80 0cos1001cos100cos100（2）原式 =cos22tan()sin 2 ()424。9欢迎下载精品文档cos22sin()42)cos (cos()44cos22sin()cos()44co

22、s2cos2sin(2 )cos221【点评】三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。三角变换中一般采用“降次”、“化弦” 、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：cos21 cos2， sin 21 cos 2.22举一反三：【变式 1】化简：（ 1） tan15cot15；（ 2）13； （3）1tan100sin10 osin 80ocos50 0【答案】（ 1）原式 = sin15cos15sin 2 15cos2 1524 ；cos15sin15cos15sin15sin 30（ 2）原式 =13cos10o3 sin10 o4sin(30 o10o)4 ；sin10 ocos10osin10 o cos10osin 20o（ 3）原式 =1sin10 01sin10 02cos40co