2014竞赛第二讲一般物体的平衡答案解析

1、2014 第二讲一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为 M=FL，单位“牛米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即 M=0，或 M逆= M顺。（四）重心：计算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：m1 gx1m2 gx2，当坐标原点移

2、到重心上，则两边的重力矩平衡。xm2 gm1 g二、常用方法巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想， 结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。三、巩固练习1. 如右图所示，匀质球质量为M、半径为R；匀质棒B 质量为 m、长度为l 。求它的重心。【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心 C。C 在 AB连线上，且 AC M=BC m；第二种方法是： 将棒锤看成一个对

3、称的“哑铃” 和一个质量为 -M 的球 A 的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C 在 AB连线上，且 BC（ 2M+m）= A C M。不难看出两种方法的结果都是MlMgRBC2 。C BMmAA FC（ 2M+m ） gR BAAR+l/2BCMgmg（ M+m ） g2. 将重为 30N的均匀球放在斜面上 , 球用绳子拉住 , 如图所示 . 绳 AC与水平面平行， C点为球的最高点斜面0倾角为 37 . 求：(1) 绳子的张力 .(2) 斜面对球的摩擦力和弹力 . 答案：（ 1） 10N；（ 2）10N， 30N解：（ 1）取球与斜面的接触点为转轴：mgRsin 370T (RR

4、cos372 )0 ，得 T=10N;（ 2）取球心为转轴得， f =T=10N;取 点为转轴：f (R R cos370) NRsin 3700，得 N=30N.C3. 个半径为 r 的均匀球体靠在竖直墙边，球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为, 如果在球上加一个竖直向下的力 F，如图所示问；力F 离球心的水平的距离s 为多大，才能使球做逆时针转动 ? 解 当球开始转动时 , f ，f2达到最大静摩擦1FG N1 f 2N 2f1分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程. Fsf1r f 2r因 f1， f2 为最大静摩擦 :f1N1f 2N2将以上方程联立可得 : s( FG )(1

5、) rF (12 )4. 如图所示 , 均匀杆的 A端用铰链与墙连接, 杆可绕 A点自由转动 , 杆的另一端放在长方形木块上, 不计木块与地之间的摩擦力, 木块不受其它力作用时, 木块对 AB杆的弹力为 10N, 将木块向左拉出时, 木块对杆的弹力为 9N, 那么将木块向右拉出时, 木块对杆的弹力是多少? （答案： 11.25N ）解 : 木块静止时弹力为10N，可得杆重 G=20N向左拉时 :cos+sin=Lcos, 或Nsin=1cos-NcosNLNLGG112121向右拉时 : NLcos= NLsin+GLcos, 或 Nsin=Ncos -1Gcos222222两式相比得9109

6、 , 得 N2=11.25NN 2N 2105. 有一轻质木板 AB长为 L, A端用铰链固定在竖直墙壁上 , 另一端用水平轻绳 BC 拉住 . 板上依次放着 1、 2、 3 三上圆柱体 , 半径均为 r , 重均为 G. 木板与墙的夹角为 ( 如图所示 ). 一切摩擦均不计 , 求 BC绳的张力 . 答案：3Gr11 2 sin) T(cosL1 cos解 : 此题的解法很多 , 同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同 .解法 1: 对圆柱体一个一个分析, 分别计算出圆柱体的弹力 , 再对木板分析 , 有力矩平衡求出 BC绳的张力 . 比较麻烦 .解法 2: 把三个球作为整体 ,

7、 可求出板对三个球的弹力, 再对板有力矩平衡求出绳的张力 . 但弹力BC的力臂比较难求 .解法 3: 先对三个球分析 , 受墙壁的弹力 N1=3Gcot .N1, BC绳的拉力 T, 重力 3G, A点的作用力 N( N再把三个圆柱体和木板合为一整体, 此整体受到墙壁的弹力对 A 点的力矩为零 ).对 A 点, 有力矩平衡TACN1AD3(2sin )Grr式中 ADr / tan, AC L cos23Gr (112 sin有上述四式可行 T) .L 1coscos6. 如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C 柱体放上去之前，无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为 0，柱体与

8、柱体之间的动摩擦因数为衡状态， 0 和 必须满足什么条件？A、 B 两柱体接触，但。若系统处于平分析和解： 这是一个物体系的平衡问题，因为 A、 B、 C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。设每个圆柱的重力均为 G，首先隔离 C 球，受力分析如图 1 一 7 所示，由 Fcy 0 可得2(3N11G2f1 )2再隔留 A 球，受力分析如图1 一 8 所示，由 FAy=0 得3 N11 f1 N 2G 022由 FAx=0 得f231N10N122由E0 得Af1 Rf 2R由以上四式可得f1f2N123232GN11G，N23 G22而 f

9、20 N2 ， f1N1232303，B47. （第六届预赛）有6 个完全相同的刚性长条薄片Ai Bi （ i=1 ， 2 ），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6 个薄片架B 5A 6A 5B 3在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi 恰在碗口上，另一端小突起 Ai 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的A 1A 4质点放在薄片A B 上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A666的距离，则薄片A6B6 中点所受的（由另一薄片的小突起A1 所施的）压力。B6A 2A 3B2答案： mg/42解析： 本题共有六个物体，通过观察会发现，A

10、1B1、 A2B2、 、 A5B5 的B1受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、 A5B5 作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力N、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N +1. 选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有iiN iL N i 1L得 N iN i 11N 21115N 6,2所以 N12N 3( )2222再以 A6B6 为研究对象，受力情况如图乙所示， A6B6 受到薄片 A5B5 向上的支持力 N6、碗向上的支持力和 后 一 个 薄 片 A1B1 向 下

11、的 压 力 N1 、 质 点 向 下 的 压 力 mg. 选 B6 点 为 轴 ， 根 据 力 矩 平 衡 有N1Lmg 3 L N 6L24N 1=mg/42 所以， A1B1 薄片对 A6B6 的压力为 mg/42.由、联立，解得8. （第十届全国决赛）用 20 块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L，横截面为 hL（即桥孔底宽） ，的正方形， 求此桥具有的最大跨度4试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。解设 1号右端面到2 号右端面的距离为x1， x1L,x22 号右端面到 3 号右端面到的距离为2 ，以第2 号木HL:G

12、L2G(Lx2 ) , 可以得S块的左端为转轴力矩平衡G2出 x2L,4同 理 : 第 3 号 右 与 第 4 号 右 端 的 距 离 为 x3, 以 第 3 号 木 块 的 左 端 为 转 轴 力 矩 平 衡2GLG L3G(Lx3 )求得 x3 L26第 k 号的右端面的距离为xk ，则第 k 号由力矩平衡知：( k1)GLG LkG (Lxk ) 求得：L2解得 xk2kn1 Ln 1sx1x2则桥拱长的一半为2xk1 2kKk 1由图 1 可知 H (n 1)h1 (n 1)Ls4 n 1 14所以。将 n=10 代入可得H n1 K 1 ks1.258HLk9. 有一质量为 m=50

13、kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数0.3 ，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角30 ，如图所示。（ 1）若以水平力 F 作用在杆上，作用点到地面的距离h12L / 5(L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？（ 2）若将作用点移到 h2 4L / 5处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与 h 有关，讨论力与 h 的关系是关键。杆的受力如图5 7甲所示，由平衡条件得FT sinf0NT cosmg0F ( L h) fL 0另由上式可知， F 增大时， f相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，

14、杆刚要滑倒，此时满足：fN解得： FmasmgL tan( Lh) tan/h由上式又可知， 当 ( L h) tan/h,即当 h00.66L时对 F 就没有限制了。（ 1）当 h12 Lh0 ，将有关数据代入Fmax 的表达式得Fmax385N5（ 2）当 h24 Lh0 , 无论 F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。5m长为 l 的均匀横粱，10. 用两个爬犁 ( 雪橇 ) 在水平雪地上运送一根质量为横梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示每个爬犁的上端A与被运送的横梁端头固连， 下端 B 与雪地接触， 假设接触而积很小. 一水平牵引力 作用于前爬犁作用点到雪地的距离用

15、h 表示已知前爬犁与雪地间的动摩擦因数为 k 后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k 问要在前后两爬犁都与雪地12接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动h 应满足什么条件 ?水平牵引力F 应多大 ?设爬犁的质量可忽略不计 分析 正确地物体进行受力分析, 应用物体平衡的条件F0, 准是求解平衡问题的基本出发点M0确地领会题中隐含信息, 则是求解的关键所在, 本题体现了这一解题思路 . 解 整个装置的受力如解图1-24 所示 , 其中1 与2 分别为雪地对爬犁的支持力,f1 和f2 分别为摩擦力 ,NN根据平衡条件有Ff1f2mgN1N2FhN 2l1 mgl2: f1k1N1根据摩擦力与正压力的关系有f

16、 2k2 N2h 越大以爬犁与地的前接触点为轴, F 的力矩越大 . 故 N2 越小 .h 最大时对应N2=0 的情况 . 将 N2=0代入以上各式 , 可以解得 :hlF1 l ( k1k2 )mg2k12 l (k1k2 )h故 : h 应满足的条件是: hl2k111. 半径为 r , 质量为 m的三个刚性球放在光滑的水平面上 , 两两接触 . 用一个圆柱形刚性圆筒 ( 上、下均无盖 ) 将此三球套在筒内 . 圆筒的半径取适当值 , 使得各球间以及球与筒壁之间保持接触 , 但互相无作用力 . 现取一个质量亦为 m、半径为 R的第四个球 , 放在三个球的上方正中 . 四个球和圆筒之间的静摩

17、擦系数均为= 3 / 15 ( 约等于 0.775). 问 R取何值时 , 用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来 ? 答案： ( 2 3 1)r R ( 32 3 1)r . 333解：当上面一个小球放上去后 , 下面三个小球有向外挤的趋势, 互相之间既无弹力也无摩擦力. 因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析, 受力图如图所示 .对上面小球 , 根据竖直方向受力平衡有3Nsin-3 fsoc=mg-22（或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，力矩平衡 Nr sin +mgr=fr (1+cos ) ）22再对四个小球为整体, 在竖直方向 3f1=4-mg下

18、面的小球 , 对球心为为转轴，有力矩平衡条件1= 2r，得f1=2-对下面的小球 , 取 f和 ff r ff2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得NN, 故大球与112小球接触处先滑动 （这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动，当 R最大时： f 2= N2-有上述四式得： 128soc 2+24cos -77=0, 解得： cos = 11 ,16因 cos23r /( r R)11 ，所以 R(32 31)r 。31633但上面的小球不能太小, 否则上球要从下面三个小球之间掉下去,必须使 R (2 31)r .3故得(2 31)r R (3231)r .333四、自主招生试题1. （

19、2009 清华大学）质量为m、长为 L 的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底端 A、 B、 C的间距均为 L，如图所示。(1) 求 OA棒顶端所受的作用力F 的大小。（ 2）若有一质量也为m的人（视为质点）坐在 OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA棒顶端所受的作用力 F 的大小又为多大？（ 3）在（ 2）的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数 至少为多大？析 :(1)Fh mga2l3)23a (/l23hl 2a26l3F mg 13 l / ( 6 l )2 mg2334(2) 在 OC中点坐一人F16 l F23 l mg3 l3362mg3 l2F23 l F1

20、6 l6333F23mg633F212mgmg, F136223F合 = （ 2F2） F1mg32. （ 2010 北大）如图，一个质量M、棱边长为L 的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。设想立方体开始翻转后，施加的外力F 大小和方向会改变，以维持F 始终为最小值。3. （ 2010 南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A，与环面接触点为B。已知两个物体的质量线密度均为，直杆与地面夹角为 ，圆环半径为 R，所有

21、接触点的摩擦力足够大。求：(1) 地给圆环的摩擦力。(2) 求 A、 B两点静摩擦系数的取值范围。五、备用1（. 第二届全国复赛） 如图所示，匀质管子 AB长为 L，重为 G，其 A 端放在水平面上， 而点 C 则靠在高 hL2的光滑铅直支座上， 设管子与水平面成倾角 =45，试求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦因数的最小值。CBAh2. （第十届全国预赛）半径为R 质量为 M1 的均匀圆球与一质量为M2 的重物分别用细绳AD和 ACE悬挂于同一点, 并处于平衡 , 如图所示 . 已知悬点A到球心的距为L, 不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,A求悬挂圆球的绳AD与竖直方向 AB的夹角 .

22、 答案： =arcsinM2 RL(M 1M 2 )解: 球受重力 M1g, AD绳受拉力为 T, ACE压力为 N, 因重力 M1g 通过圆心 , N也通过圆心（但不是水平方向） , 所以 T 也通过圆 ( 三力共点 ) ，OA=L. 取整体为研究对象对 A 点的力矩平衡 ,1= 2, 或1sin= 2 ( - sin ), 得 =arcsinM 2 R.MgOBMgBCMgLMg R LL(M1M2)3. 如图所示， 一根细长棒上端 A处用铰链与天花板相连， 下端用铰链与另一细棒相连， 两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可

23、使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90 ，且 C端正好在 A端的正下方。（ 1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。（ 2）如果 AB棒的质量为 m1， BC棒的质量为 m2，求此外力的大小和方向。 答案：（ 1）F的方向与 AC夹角范围 18 .24 -45间；（ 2） F1g 2m12 10m228m1 m2 4解（ 1）设 F的方向与 AC夹角为，如果当 m1质量很小时， AB对 BC的作用力沿 AB方向，1则 F的方向必交于 AB的中点， =45 -tan -1 2 =18 .24 ；如果当 m2质量很小时，则 F的方向沿 BC方向， =

24、45 。所以 方向的范围是=18 .24-45间。F（2）以 为转轴，对两棒有：(m1m2 ) gLsin 450F2L sin -A2以 B为转轴，对 BC有： m2 gL sin 450FL sin(450) -2sin(45- )=sin45cos-cso45 sin-有式得 F的大小： F1g2m1210m228m1 m2 ；4m1m2 .的方向与竖直线的夹角=1Ftanm13m2可见，1=0时， =tan1 118 .24 ； 2 =0时， =tan1145 .m3m4 如图两把相同的均匀梯子AC和 BC，由 C 端的铰链连起来，组成人字形梯子，下端A和 B相距6m，C 端离水平地面

25、4m，总重 200 N，一人重600 N，由 B 端上爬， 若梯子与地面的静摩擦因数 0.6 ，则人爬到何处梯子就要滑动？解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状态：AB=6m， CD=4m， AC=BC=5m设人到铰链C 的距离为 l满足F0，M0所以 G GACGBCFN1FN 2F f 1F f 2G lcos GBC1 BDFN 1CDFN1 BD2整理后： FN1FN 2400N， l2.5m所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动5. 架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为1、 2。求梯子能平衡时与

26、地面所成的最小夹角。（答案：tan1 11 2 ），则有 f =N,f =21解法 1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为N （同时达到最大，与上111222题有区别）水平方向：11=2，N N竖直方向：2N2+N1=G，得： =+/-GN N1222取 A点为转轴： L G cosLN 2 sinL2 N 2 cos0 -2解得 tan11 2，即tan 1 1212 。211解法 2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D点）则有： tan1 = 1,tan2=2，有几何关系： tanBCDH DEDHDE1 cot 11 tan2 ，AC2 AH2AH2EB22可解得：t

27、an1 1212 。16. 如图所示梯子长为2l , 重量为 G，梯子上的人的重量为G ，人离梯子下端距离为h，梯子与地面夹角为 , 梯子下端与地面间的摩擦因数为, 梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h值 解 杆的受力情况如图所示：由于杆静止，F0,M0NfNGGGL cosG h cosN 2L sinfN解方程可以得出：h2l ( GG ) tanGl （原答案有误）G所以，只要 h2l (GG ) tanGl ，梯子就不会滑动。G7. 如图所示，方桌重G=100 N，前后腿与地面的动摩擦因数0.20 ，桌的宽与高相等。求：(1) 拉力 F、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。(

28、2) 设前、后腿与地面间的静摩擦因数 0 0.60 。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？8. 如图所示，一根细棒 AB，A 端用绞链与天花板相连 , B 端用绞链与另一细棒 BC相连，二棒长度相等 限于在图示的竖直面内运动，且不计绞链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力( 与 AB，BC在一个平面内 ) 可使二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直且C在 A端的正下方(1) 不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?试说明理由(2) 如果 AB棒的质量为 m， BC棒质量为 m 求此外力的大小和力向12(3) 此时 BC棒对 AB棒的作用力的大小是多少 解 (1) 外力的范围应在竖直线右且在BC棒以上 .F 的力矩C将两根棒看作整体，整体受的重力力矩为顺时针，若整体保持平衡，力图须产生逆时针力矩。即力F 应指在 AC线的右侧。以 BC为研究对象， B 点为轴 , BC的重力有逆时针力矩 , 外力 F 的力