3.2.2函数的奇偶性的应用【解析版】

1、3.2.2函数奇偶性的应用1若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数,则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析：选A.因为f(x)ax2bxc是偶函数,所以由f(x)f(x),得b0.所以g(x)ax3cx.所以g(x)a(x)3c(x)g(x),所以g(x)为奇函数2.已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)x2,则f(1)等于()A2 B0C1 D2解析：因为x0时,f(x)x2,所以f(1)112.又f(x)为奇函数,所以f(1)f(1)2.故选A3已知f(x)ax7bx5cx32,且f(5)m,则f(5)f(5)的值为()A4 B

2、0C2m Dm4解析：由f(5)a(5)7b(5)5c(5)32a57b55c532m,得a57b55c532m,则f(5)a57b55c5322m24m.所以f(5)f(5)4mm4.故选A4已知函数f(x)是定义在(,)上的奇函数,当x(,0)时,f(x)xx4,则当x(0,)时,f(x)等于()Axx4 Bxx4Cxx4 Dxx4解析：当x(0,)时,x(,0)则f(x)x(x)4xx4.又因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),x(0,)从而在区间(0,)上的函数表达式为f(x)xx4.故选A5.设偶函数f(x)的定义域为R,当x0,)时,f(x)是增函数,则f(2),f(),

3、f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)32,所以f()f(3)f(2),故f()f(3)f(2)6设f(x)为偶函数,且在区间(,0)上是增函数,f(2)0,则xf(x)0的解集为()A(1,0)(2,) B(,2)(0,2)C(2,0)(2,) D(2,0)(0,2)解析：选C.根据题意,偶函数f(x)在(,0)上为增函数,又f(2)0,则函数f(x)在(0,)上为减函数,且f(2)f(2)0,函数f(x)的草图如图,又由xf(x)0或,由图可得2x0或x2,即不等式的解集为(2,0)(2,)故选C.7定义在R上的

4、偶函数在0,7上是增函数,在7,)上是减函数,又f(7)6,则f(x)()A在7,0上是增函数,且最大值是6 B在7,0上是减函数,且最大值是6C在7,0上是增函数,且最小值是6 D在7,0上是减函数,且最小值是6解析：由f(x)是偶函数,得f(x)的图象关于y轴对称,其图象可以用如图简单地表示,则f(x)在7,0上是减函数,且最大值为6.故选B8若偶函数f(x)在(0,)上为减函数,且f(2)0,则不等式0的解集为()A(2,0)(2,) B(,2)(0,2)C(,2)(2,) D(2,0)(0,2)解析：f(x)为偶函数,0,xf(x)0,或又f(2)f(2)0,f(x)在(0,)上为减函

5、数,x(0,2)或x(,2)故选B9已知yf(x)是奇函数,当x0时,f(x)x2mx1,若f(2)3f(1),则m .解析：x0时,f(x)x2mx1,f(2)52m,f(1)2m,又f(1)f(1)2m,由f(2)3f(1)知,52m63m,m.14已知函数f(x)是定义在2,0)(0,2上的奇函数当x0时,f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的值域是 。解析：函数f(x)为奇函数,在(0,2上的值域为(2,3,f(x)在2,0)上的值域为3,2)故f(x)的值域为3,2)(2,315函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,函数的解析式为f(x)1.(1)求f(1)的值；(2)求当

6、x0时函数的解析式；(3)用定义证明f(x)在(0,)上是减函数解：(1)因为f(x)是偶函数,所以f(1)f(1)211.(2)当x0,所以f(x)1.又因为f(x)为偶函数,所以当x0时,f(x)f(x)11.(3)证明：设x1,x2是(0,)上的任意两个实数,且0x1x2,则f(x2)f(x1)1.因为x1x20.所以f(x2)f(x1)f(x2)因此f(x)1在(0,)上是减函数16已知函数f(x)的定义域是(,0)(0,),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2),且当x1时,f(x)0.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0,)上是增函数；

7、(3)试比较f与f的大小解：(1)证明：函数的定义域是(,0)(0,)令x1x21,得f(11)f(1)f(1),f(1)0.令x1x21,得f(1)f(1)(1)f(1)f(1),2f(1)0,f(1)0.f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)f(x)是偶函数(2)证明：设0x1x10,1,f0,即f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1),即f(x1)f.ff.17. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)x22x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示(1)写出函数f(x),xR的增区间；(2)求函数f(x),xR的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2,x

8、1,2,求函数g(x)的最小值解：(1)f(x)的增区间为(1,0),(1,)(2)设x0,则x0),f(x)(3)由(2)知g(x)x2(22a)x2,x1,2,其图象的对称轴为xa1,当a11,即a0时,g(x)ming(1)12a；当1a12,即0a1时,g(x)ming(a1)a22a1；当a12,即a1时,g(x)ming(2)24A综上,g(x)min18. 已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函数,求a的值；(2)试判断f(x)在(0,)内的单调性,并用定义证明解：(1)由已知g(x)f(x)a,得g(x)1a,因为g(x)是奇函数,所以g(x)g(x),即1a,解

9、得a1.(2)函数f(x)在(0,)内为增函数证明如下：设0x1x2,则f(x1)f(x2)1.因为0x1x2,所以x1x20,从而0,即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(0,)内是增函数19. 已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数,且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t1)f(t)0.解：(1)由题意,得所以故f(x).(2)证明：任取1x1x21,则f(x1)f(x2).因为1x1x21,所以x1x20,1x0,1x0.又1x1x21,所以1x1x20.所以f(x1)f(x2)0,所以f(x)在(1,1)上

10、是增函数(3)f(t1)f(t)f(t)因为f(x)在(1,1)上是增函数,所以1t1t1,解得0t.所以不等式的解集为.20. 已知函数f(x)ax2bx1(a,b均为实数),xR,F(x)(1)若f(1)0,且函数f(x)的值域为0,),求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下,当x2,2时,g(x)f(x)kx是单调函数,求实数k的取值范围；(3)设mn0,mn0,a0,且f(x)为偶函数,判断F(m)F(n)是否大于零,并说明理由解：(1)因为f(1)0,所以ab10.又函数f(x)的值域为0,),所以a0.由ya,知0,即4ab20.解,得a1,b2.所以f(x)x22x1(x1)2.所以F(x)(2)由(1)得g(x)f(x)kxx22x1kxx2(2k)x11.因为当x2,2时,g(x)f(x)kx是单调