第六章方差分析1

1、第六章第六章 方差分析（方差分析（anova）多个均数的比较多个均数的比较 两个总体平均数比较：两个总体平均数比较： t 检验。检验。2121xxsxxt3个或个或3个以上总体平均数如何比较呢？个以上总体平均数如何比较呢？用用t t检验进行多个平均数比较的局限性：检验进行多个平均数比较的局限性：1 1、检验过程烦琐、检验过程烦琐2 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低检验的灵敏性低 3 3、推断的可靠性低，检验的、推断的可靠性低，检验的i i型错误率大型错误率大 如果用如果用t检验方法：需要对多个平均数进行两两比较检验方法：需要对多个平均

2、数进行两两比较（1）3个平均数：比较个平均数：比较3次次 323121321;,xxxxxxxxx和和和（2）4个平均数：比较个平均数：比较6次次4342324131214321;,xxxxxxxxxxxxxxxx和和和和和和，（3）k个平均数：个平均数：2) 1(2kkck1、检验过程烦琐、检验过程烦琐 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。若用t检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个试验误差，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低、无

3、统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 型错误：原假设实际为正确，但做出了拒绝原假设的判断型错误：原假设实际为正确，但做出了拒绝原假设的判断 犯犯型错误的概率等于显著性水平型错误的概率等于显著性水平。 设每次比较的显著性水平为设每次比较的显著性水平为0.050.05， 则，犯则，犯型错误的概率为型错误的概率为0.050.05，或者说不犯，或者说不犯型错误型错误 的概的概 率为率为1 10.050.050.950.95。 c c次检验均不犯次检验均不犯型错误的概率为型错误的概率为0.950.95c c 或者说，或者说，c c次检验犯次检验犯型错误的总概率为型错误的总概率为1 10.95

4、0.95c c 因此，不能简单地用因此，不能简单地用t 检验方法对检验方法对3 个或个或3个以个以上的总体平均数进行两两比较。上的总体平均数进行两两比较。 方差分析方法可以有效地解决这个问题。方差分析方法可以有效地解决这个问题。3、推断的可靠性低，检验的、推断的可靠性低，检验的i型错误率大型错误率大方差分析由英国统计方差分析由英国统计学家学家r.a.fisherr.a.fisher于于19231923年首创，为纪念年首创，为纪念fisherfisher，以，以f f命名，故命名，故方差分析又称方差分析又称 f f 检验检验 （f f test test）。用于推）。用于推断断多个总体均数多个总

5、体均数有无有无差异差异 方差分析(analysis of variance)(analysis of variance)方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：将将k k个处理的观测值作为一个整体看待个处理的观测值作为一个整体看待把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度不同变异来源的平方和及自由度获得不同变异来源总体方差估计值获得不同变异来源总体方差估计值通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等能检验各样本所属总体平均数是否相等方差分析实质上是关

6、于方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析观测值变异原因的数量分析table 1. the hemoglobin concentration of tibetan chicken and dwarf chicken 1 embryos incubated at 2900m and 100m g/100ml 2 dwarf tibetan day of incubation 2900 m 100 m 2900 m 100 m 12 5.74 0.36b 6.07 0.30b 7.26 0.34a 7.03 0.28a 15 8.78 0.31b 8.11 0.27bc 9.59 0.28a

7、7.70 0.27c 18 9.69 0.28a 8.84 0.33b 10.35 0.28a 8.48 0.35b a-cmeans within the same row with no common superscript differ significantly 3 (p0.05) . 4 第一节第一节 方差分析的基本原理与步骤方差分析的基本原理与步骤 将数据之间的变异分解为组间变异和组内变异。将数据之间的变异分解为组间变异和组内变异。所谓的组：指样本，不同的组来自不同的总体，所谓的组：指样本，不同的组来自不同的总体，接受不同接受不同的处理的处理。（1）组内变异：）组内变异： 由于同组

8、内的个体来自同一总体（接受同一处理），由于同组内的个体来自同一总体（接受同一处理），因此组内变异因此组内变异仅仅是由于个体之间的随机误差造成的。仅仅是由于个体之间的随机误差造成的。（2）组间变异：）组间变异： 不同组个体间的变异，除了个体之间的随机误差以不同组个体间的变异，除了个体之间的随机误差以外，还包括不同处理（不同的组来自不同总体）所造成的外，还包括不同处理（不同的组来自不同总体）所造成的差异。差异。方差分析的基本原理方差分析的基本原理方差分析法的基本原理：方差分析法的基本原理： 检验统计量组内变异组间变异 比较组间变异和组内变异，如果组间变异显比较组间变异和组内变异，如果组间变异显著大

9、于组内变异，表明不同的处理之间确实存在著大于组内变异，表明不同的处理之间确实存在差异，或者说不同的总体平均数之间存在差异；差异，或者说不同的总体平均数之间存在差异；反之，则没有差异。反之，则没有差异。 组间变异组间变异组内变异组内变异总变异总变异数学模型数学模型就是为了某种目的，根据对研究对象所观察就是为了某种目的，根据对研究对象所观察到的现象及其实践经验，用到的现象及其实践经验，用字母字母、数学及其它、数学及其它数学符数学符号号建立起来的建立起来的等式等式或或不等式不等式及及图表图表、图象图象、框图框图等归等归结成的一套反映对象某些主要数量关系的结成的一套反映对象某些主要数量关系的数学数学公

10、式公式、逻辑逻辑准则准则和具体算法，用来描述客观事物的和具体算法，用来描述客观事物的特征特征，内，内在联系和在联系和运动规律运动规律。 6.1.1线性模型与基本假定 处处理理观观测测值值合合计计平平均均1x11 x12 11nxx11x2x21 x22 22nxx22x kxk1 xk2 kknxxkkx总数 = n，总和 = x ，总平均 = x1、数据结构、数据结构 设有设有k 个组，每组的观察值数据是来自该组的处理所代个组，每组的观察值数据是来自该组的处理所代表的总体的一个样本。表的总体的一个样本。全部数据的结构如下：全部数据的结构如下：6.1.1线性模型与基本假定 因此，将观测值用以下

11、线性模型表示为：因此，将观测值用以下线性模型表示为：ai : 第第i 个处理的总体平均数（第个处理的总体平均数（第i组所来自总体的总体平组所来自总体的总体平 均数）均数）ij : 随机误差随机误差), 0(2nij假设：（假设：（1）（2）各个各个ij彼此独立彼此独立ijiijax6.1.1线性模型与基本假定 单因素试验的线性模型（linear modellinear model） 方差分析的基本假定 效应的可加性（additivityadditivity） 分布的正态性（normalitynormality） 方差的同质性（homogeneityhomogeneity）在这个模型中ijx表示

12、为总平均数、处理效应i、试验误差ij之和。1 由ij相互独立且服从正态分布n（0， 2） ， 可知各处理ai(i=1， 2， ，2 k)所属总体亦应具正态性， 即服从正态分布n(i,2)。 尽管各总体的均3 数i可以不等或相等，2则必须是相等的。 4 ijiijax6.1.1线性模型与基本假定 观测值变异的分解通过对总平方和与自由度的剖分来完成观测值变异的分解通过对总平方和与自由度的剖分来完成 kinjijtixxss112)(总平方和2222)()(2)()()()(xxxxxxxxxxxxxxiiiijiijiiijij1 1、 平方和的剖分平方和的剖分（1）先将离均差平方和改写为：）先将

13、离均差平方和改写为：6.1.2平方和与自由度的剖分 iinjiiiijnjijxxnxxxx12212)()()(因为：因为：（2）再求一个组内的离均差平方和相加得：）再求一个组内的离均差平方和相加得：iinjiijinjiiijxxxxxxxx110)()(2)(2离均差之和为离均差之和为0 kiiikinjiijkinjijxxnxxxxii12112112)()()(组内平方和组内平方和组间平方和组间平方和（3）最后，将）最后，将k 个组的离均差平方和相加得：个组的离均差平方和相加得：ettsssssstetsssssstssess组内离均差平方和，简称组内离均差平方和，简称组内平方和组内平方和：度量了组内的变异。由于组内变异与处理无度量了组内的变异。由于组内变异与处理无关，是由于个体间的随机误差造成的，所以关，是由于个体间的随机误差造成的，所以又称为又称为误差平方和误差平方和。组间离均差平方和，简称组间离均差平方和，简称组间平方和组间平方和：度量了组间的变异。由于组间的差异除了随度量了组间的变异。由于组间的差异除了随机误差以外，还包括不同处理造成的差异，机误差以外，还包括不同处理造成的差异，所以又称为处理平方和。所以又称为