椭圆及其标准方程

1、 取一条没有伸缩性的细线取一条没有伸缩性的细线,把它的两端用图针固把它的两端用图针固定在图板上的两点定在图板上的两点F1和和F2上上(线长大于线长大于|F1F2|),然后用然后用笔尖将细线拉紧笔尖将细线拉紧,并使笔尖在图板上慢慢移动一周并使笔尖在图板上慢慢移动一周,则则笔尖画出的曲线就是什么笔尖画出的曲线就是什么?试一试试一试: :问题问题1、在画出一个椭圆的过程中，图钉、在画出一个椭圆的过程中，图钉两脚末端的位置是固定的还是运动的？两脚末端的位置是固定的还是运动的？F1,F2两点是固定的两点是固定的F1F2MF1F2M问题问题2 2 在画图过程中，绳子长度变化在画图过程中，绳子长度变化了吗？

2、了吗？问题问题4 4 你所画出的曲线上的点到你所画出的曲线上的点到F F1 1、F F2 2两点的两点的距离和始终是什么关系？距离和始终是什么关系？线的长度没有改变线的长度没有改变.线长大于线长大于|F1F2|问题问题3 3 在画图的过程中在画图的过程中, ,线的长度与两定点距离大小线的长度与两定点距离大小有怎样的关系有怎样的关系? ?常数|21MFMF平面内与两定点的距离的和等于常数平面内与两定点的距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆。的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点这两个定点叫做椭圆的焦点两焦点的距离叫做焦距两焦点的距离叫做焦距一、椭圆定义一、椭圆定义：1F2FM平面上到定点的

3、距离平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹等于定长的点的轨迹（大于（大于|F|F1 1F F2 2| |）几点说明：几点说明：1F2FM1 1、F F1 1、F F2 2是两个不同的定点；是两个不同的定点；常数；且是椭圆上任意一点，、|221MFMFM3 3、通常这个常数记为、通常这个常数记为2a2a，焦距记为，焦距记为2c2c，且且2a2c2a2c是两个不同的定点；是两个不同的定点；4 4、如果、如果2a=2c2a=2c，则点，则点M M的轨迹是线段的轨迹是线段F F1 1F F2 2；5 5、如果、如果2a2c2a2c)2a2c)的动点的动点M M的轨迹方程。的轨迹方程。1F2FM M以直线

4、以直线F F1 1F F2 2为为x x轴，轴，线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线为为y y轴建立如图坐标系。轴建立如图坐标系。Ox xy y (2)点的集合点的集合 由定义不难得出椭圆集合为： P=M|MF1|+|MF2|=2a2F1FMo (3) (3)代数方程代数方程2222)(2)(:ycxaycx移项得2222222)()(44)(ycxycxaaycx两边平方得：)0 ,(),0 ,(,),() 1 (21cFcFyxM则是椭圆上的任意一点设xy2222222222422yacacxaxaxccxaa，得两边同时除以)(222caa)()(22222222ca

5、ayaxca整理得：122222cayax的线段吗？，表示出观察右图，你能从中找22caca)0( 12222babyax，得令22|caPObcOFOFaPFPF| ,|212122|caPOF F2 2O OF F1 1. .x xy yP PMF2F1如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)这里c2=a2-b2方程是怎样呢？ 0ba 1bxay2222 1F2FMx xy y1byax2222 注意：注意：（3 3）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x x2 2与与y y2 2的分母哪的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。一个大，则焦点在哪一个轴上。（2 2）a

6、a、b b、c c有关系式：有关系式：c c2 2=a=a2 2-b-b2 2，即，即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2，a a最大最大. .（1 1）在两种方程中，总有）在两种方程中，总有ab0;ab0;），求它的标准方程。，并且经过点（），（标分别是（已知椭圆的两个焦点坐例232502),0 , 21解:由题意知,椭圆的焦点在X轴上,所以设它的标准方程为:) 0( 12222babyax2222)23() 225()23() 225(2 a10210a，又2c6410222cab.161022为所求椭圆的标准方程yx1F2FMyx定义法定义法方法二方法二解:由题意知,椭圆的焦点在X轴

7、上,所以设它的标准方程为:) 0( 12222babyax，又2c422ba），椭圆经过点（又2325），求它的标准方程。，并且经过点（），），（，标分别是（已知椭圆的两个焦点坐例2325020211)23()25(2222ba61022ba，.161022为所求椭圆的标准方程yx待定系数法待定系数法求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程2) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0) 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10轴上；焦点在 yba,15,4)1；52,10)3cba192522yx1161522yx1163622yx1163622xy或或 平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离之和等于的距离之和等于常数（大于常数（大于|F|F1 1F F2 2| |）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。椭圆定义：椭圆定义椭圆定义10)b1(abxay22220)b1(abyax2222oyx 1F 2F),(yxMcc oyx 2F 1F cc),(yxM椭圆的标准方程 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 2P49 P49 习题习题2.22.2 No2 No22212516327xyPPxkyyk22 1.已知椭圆上一点 到椭圆一个焦点的距离 为 ，则 到另一焦点的距离为（ ） (A) (B)3 (C)5 (D) 2.如果方程+=1表