(完整版)随机变量及其分布列复习经典讲义

1、随机变量及其分布列古典概型和几何概型1、(1)古典概型的概率:(2)几何概型的概率:_ m A中所含的基本事件数P(A) = n = 基本事件总数 .构成事件A的区域长度 面积或体积P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.例1、盒子中装有编号为123,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示).例2、如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为练习：1、在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC, CB的长，则该矩形面积小于 32 cm2的概率为2、现

2、有10个数，它们能构成一个以 1为首项，一3为公比的等比数列，若从这 数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.10个2.互斥事件与对立事件的关系；对立是互斥，互斥未必对立；例1、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4 3 2、 、 、_、 _、 _、5 5 55、常见的离散型随机变量的分布两点分布：分布列为(其中0p0, p1 + p2+ pi+3= 1(i = 1,2,3,).可能取的值为 0,1,2,3,，n,并且 P(E= k)=cnpkqk(其中 k=0,1,2,，n, q=1-p

3、).显然 P(土 k)0(k= 0,1,2,，n), S0cnpkqn k=1.称这样的随机变量E服从参数n和p的二项分布，记为EB(n, p).6、离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量E的分布列为x1x2xnPp1p2pn则称E( 9=Xipi+x2P2+ xnpn+为E的数学期望,简称期望.D( 8 = (X1E)2 pi+(X2E)2 p2+ (xnE( a)2 pn+叫做随机变量 E 的方差.7、离散型随机变量的均值或数学期望的性质：(1)若 服从两点分布，则E p. (2)若 B(n, p),则E np.(3) E c c , c 为常数(4) N(,)，则 E(5) E(a

4、b) aE b三、典型例题题型一、离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列在现实生活中的应用极为广泛，求分布列时要解决好以下两个问题求出随机变量X的所有可能取值求出随机变量 X的每个取值的概率，这是最难的也是最关键的。(一般要用到排列、组合知识，等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决)例1、 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为123,4,5,6,现在从中随机地取出的 3个球中，设X表示取出的球中的最大编号，球 X的分布列.例2、为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产1 1 1业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，,.

5、现有3名工人独立地2 3 6从中任选一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望.题型二、互斥事件与相互独立事件的概率互斥事件与互相独立事件的概率是高考的热点，这两种概率一般综合在一起考查，解题时先要注意判断事件的类型，是互斥、互相独立，还是独立重复试验，然后选择相应的概率公式 解题。(1)、当事件A,B互斥时，则事件 A+B (A,B中有一个发生)的概率等于事件A,B分别发生的概率和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)(2)当事件A,B互相独立时，则 AB(A,B)同时发生)的概率等

6、于事件 A, B分别发生的概率之 积，即 P(AB)=P(A)P(B)例3、某射手在一次射击中命中 9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概 率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.题型三、二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率是k k k n kPn(k) Cn p q , (k= 0,1,2,，n, q 1 p ).于是得到随机变量E的概率分布如下：I 01 k nc 00 nCnp q1

7、1 n 1Cnp q八 k k n kCn p qc n n 0Cn p q称这样的随机变量E服从二项分布，记作E B(n, p),其中n, p为参数。例4、甲乙两人抛掷硬币，甲用一枚均匀的硬币抛掷3次，记正面朝上的次数为X,乙用这枚硬币抛掷2次，记正面朝上的次数为 Y.(1)分别求出X和丫的数学期望.(2)规定：若XY,则甲月4;若XY,则乙胜.分别求出甲和乙获胜的概率。常规试题训练1、某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9,如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列.2、已知随机变量的分布列为-210123P1123124121122121121 2分别求出随机变量1

8、 一 ， 22的分布列.23、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为-,某班3名同学商定明天分别就同一问题4询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列.4、盒中装有大小相等的球 10个，编号分别为 0, 1, 2,，9,从中任取1个，观察号码 是“小于5” “等于5” “大于5”三类情况之一.规定一个随机变量，并求其概率分布列.5、一袋中装有5只球，编号为1, 2, 3, 4, 5,在袋中同时取 3只，以 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列.6、一批零件中有9个合格品与3个不合格品.安装机器时，从这批零件中任取一个.如果 每次取出的不合格品不再放回去，求在

9、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列.、袋中有1个红球，2个白球，3个黑球，现从中任取一球观察其颜色.确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率.概率、随机变量及其分布列提高训练1 .甲射击命中目标的概率是 1,乙命中目标的概率是 1,丙命中目标的概率是 :.现在三人同 234时射击目标，则目标被击中的概率为 .2 .一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为 c(a,b, c (0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分的情况)，则ab的最大值为.3 .将一枚均匀的硬币抛掷 6次，则正面出现的次数比反

10、面出现的次数多的概率为 .4 .甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得 自主招生入选资格.因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概 率分别为 0.5,0.6,0.4,审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6,0.5,0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率.5 .乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球 2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.

11、每次发球，胜方得 1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中， 每次发球，发球方得 1分的概率为0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局 比赛中，甲先发球.(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为 1比2的概率；(2)七表示开始第4次发球时乙的得分，求 士的期望.6 .某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核.若小李参加每次考核合格的11概率依次组成一个公差为 q的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过且他直到82 9 . 参加第二次考核才合格的概率为 (1)求小李第一次参加考核就合格的概率 P1；(2

12、)求小32李参加考核的次数X的分布列和数学期望 E(X).概率、随机变量及其分布列高考真题演练1、从如图所示的长方形区域内任取一个 点M (x,y),则点M取自阴影部分的概率为.2、甲乙两人一起去游“ 2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在 一个景点的概率是(),一 1151(A) 一(B) (C)(D)3693663、如图，在矩形区域 ABCD勺A C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别 是扇形区域AD%口扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 ).若在该矩 形区域内随机地选一地点，则该

13、地点无.信号的I率是().冗冗冗1一12A.4 B . 2C.2D ,44、高l为平面上过(0,1)的直线，l的斜率等可能地取2V2, 3, W5,0,Y5,J3,22,22用 表示坐标原点到l的距离，由随机变量的数学期望E =5、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照顾的概率为 0.125, (I)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；(n)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率6、甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是：，2 , 1 .3 5 2(I )现3人

14、各投篮1次，求3人都没有投进的概率；(II)用 /示乙投篮3次的进球数，求随机变量E的概率分布及数学期望 EE.7、某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为f、总、2 ,且各555轮问题能否正确回答互不影响 .(I )求该选手被淘汰的概率；(n)该选手在选拔中回答问题的个数记为己，求随机变量E的分布列与数数期望.(注：本小题结果可用分数表示)8、某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第 i次击中目标得1 i (i 1,2,3)分，3次均未击中目标得 0分.已知某射手每次击中目标的

15、概率为0.8,其各次射击结果互不影响.(I)求该射手恰好射击两次的概率；(n)该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望.0123p0.10.32aa9、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，楣统计，随机变量的概率分布如 下：(I)求a的值和 的数学期望；(n)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。10、为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检 查，测得身高情况的统计图如下：（I ）估计该校男生的人数；（n ）估计该校学生身高在170785cm之间的概率；（出）从样本中身高在 165180cm之

16、间的女生 中任选2人，求至少有1人身高在170180cm 之间的概率.11、如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：时间（分钟）102020303040405050 60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有 40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .12、某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第-一个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业