(整理)参数估计方法.

1、精品文档第七章参数估计第一节基本概念1、概念网络图精品文档点估计需力无J从样本推断总体极大似然估计,无偏性 估计量的评选标准有效性 一致性区间估计 巾正态总体的区间估计）2、重要公式和结论设总体X的分布中包含有未知数 &,62，19m，则其分布函数可以表成k 、F（x;仇，02，Hm）.它的k阶原点矩Vk =E（X ）（k = 1,2,，m）中也包含了未知参数仇，82,，6m,即Vk =Vk（d，62，为m）。又设Xi , X2，Xn为总体X的n个样本值，其样本的 k阶原点矩为1 二 k-Z X： (k=1,2,，m). n y这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的

2、原则建立方程，即有(1)点矩倩计a A八、1”(耳力2，8m) =2 xi , n yA AA 1n 2V2 (1 )2 ,6m)= 一2 Xi ,n y1A AQ11mvm。,与，m)=-Z Xi . ,n y由上面的m个方程中，解出的m个未知参数（R,82,，6m）即为参数（81,。2,一&）的矩估计量。若为日的矩估计，g（x）为连续函数，则g（的为g（9）的矩估计。极大似 然倩计当总体 X为连续型随机变量时，设其分布密度为f（X；仇，日2，6 m）,其中仇,仇，8m为未知参数。又设Xi ,X2，Xn为总体的一个样本，称nL（仇,02，8m） =n f （Xi ；01，日2,Q m） i=

3、1为样本的似然函数，简记为Ln.当总体 X为离型随机变量时，设其分布律为PX =X =p（X；d ,，8m）,则称nL（Xi,X2，Xn；,，m）=n P（Xi”i ” 2, m） i为样本的似然函数。若似然函数 L（X1,X2，Xn；&,e2，fm）在Sl,S2，Sm处取一 r I一，A AA 一 . ._到最大值，则称61,日2,，8 m分别为仇用2,，3的最大似然估计值， 相应的统计量称为最大似然估计量。洌n Ln nCi d O m-0,1 - 1,2, , m 的a方若8为9的极大似然估计，g（X）为单调函数，则g（的为g（B）的极大 似然情计。估 计量的 评选标无偏性设h e（X1

4、, X2，Xn）为求知参数日的估计量。若e（e）=e,则称 金为a的无偏估计量。E （ X ） =E （X） , E （S2） =D （X）准功效性A. AAA.设 81 =曰1 （X1,X,2 , ,Xn）和 62 =8 2（X1,X,2 , ,Xn）MA 参数 日的两个无偏估计量。若 D （日1） D （日2）,则称日1比日2有效。一体x含有一个待估的未知参数 e。如果我们从样本x1, x,2，xn出发，找出两个统计量仇=&(xi,x,2，Xn)与82 =82(X1, X,2，Xn)%),使得区 间 付1,%以1 - a(0 o( 1)的概率包含文个待估参度日.即P日 1 0 0, e,

5、n为未知参数，Xi,X2，Xn为取自计量。2、估计量的优劣例7. 6：设n个随机变量x1,x2，xn独立同分布,_1n1 n D(Xi) =c-2,x =_v Xi $2=、 (Xi - x)2,n i in - 1 i 3(A) S是仃的无偏估计量；(C) S是仃的相合估计量；例7. 7:设总体X的密度函数为(B) S是口的最大似然估计量;(D) S2与x相互独立。f(x),(6 -X)，0,0 : X ：二 1 , 其他，X1，X2，Xn是取自X的简单随机样本。(1) 求日的矩估计量S；AA 求e的方差D（e）；（3） 讨论S的无偏性和一致性（相合性）3、区间估计例7. 8:从一批钉子中随

6、机抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为2.14, 2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.102.15, 2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假设钉子的长度 X服从正态分布N （匕仃2 ）,在下列两种情况下分别求总体均值科的置信度为90%勺置信区间。（1） 已知。=0.01.（2） o未知.例7. 9:为了解灯泡使用时数的均值科及标准差 * 测量10个灯泡，得1=1500小时，S=20小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求 科和b的95%勺置信区间。例7. 10:设总体XNI （3.4, 62）,从中抽取容量为n的样本，若要求其样

7、本均值x位于区间1.4, 5.4内的概率不小于 0.95 ,问样本容量n至少应取多大？第四节历年真题数学一:1 （97, 5分） 设总体X的概率密度为(u 1)x0,0 x ： 1其他其中日1是未知参数.Xi,X2，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求0的估计量。2 （99, 6分） 设总体X的概率密度为H-6x _其他f (x) = a3 (- x)0,Xi,X2，Xn是取自总体X的简单随机样本。（1） 求。的矩估计量0 ；(2)求 D (。)。3 (00, 6 分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x2e-2(x 小0,其中。0为未知参数。又设

8、x1,x2，xn是X的一组样本观测值， 求参数0的最大似然估 计值。4 (02, 7分)设总体X的概率分别为X 01232929p e2 29(1-6) e2 1 -26其中0 (0。1)是未知参数，禾I用总体X的如下样本值23, 1,3, 0,3, 1,2, 3求0的矩估计值和最大似然估计值。5 (03, 4分)已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(N,1),从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm,则N的置信度为0.95的置信区间是6 (03, 8 分)设总体X的概率密度为f(x) =2e(x-a0,(注：标准正态分布函数值(1.96) = 0.975,6(1.

9、645) =0.95)其中0 0是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本X1,X2，Xn ,记=minXi,X2，Xn)。(1) 求总体X的分布函数F (x);(2)(3) 求统计量日的分布函数(x)；6如果用8作为0的估计量，讨论它是否具有无偏性。7 (04, 9分) 设总体X的分布函数为F(x, 口)=，1T0,x 1,x -1,其中未知参数1 1,Xi,X2，Xn为来自总体X的简单随机样本，求：（I） P的矩估计量；（II） P的最大似然估计量.8. （06, 9分）设总体 X的概率密度为00 二 x ：二 1f（x,0）=ie1 wx 2其中1e是未知参数（00, B1.设X1,X2，X

10、n为来自总体 X的简单随机样本(I )当a = 1时，求未知参数B的矩估计量；(n )当a = 1时，求未知参数B的最大似然估计量；(m)当B=2时，求未知参数a的最大似然估计量.8. (05, 4分)设一批零件的长度服从正态分布N(N,。2),其中 巴仃2均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值 x=20(cm),样本标准差s = 1(cm),则N的置信度 为0.90的置信区间是(1, 、，1(A)20t0.05(16 )20 + 10.05(16)|2 )为来自总体N(0尸2)的简单随机样本，其样 本均值为 X。记 Yi =Xi X, i =1,2,，n。求：(I) 丫 的方差 DYi, i =1,2,，n；(11) Y1 与 Yn 的协方差 Cov(YM)。(III