D14连续性间断点PPT学习教案

1、会计学1D14连续性间断点连续性间断点continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 . ,baC例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.在闭区间,ba上的连续函数的集合记作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3第1页/共34页,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)(

2、)(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4第2页/共34页xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 .0机动 目录 上页 下页 返回 结束 5第3页/共34页在在(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)

3、(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 6第4页/共34页第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡

4、,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 7第5页/共34页xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 结束 8第6页/共34页1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .机动

5、 目录 上页 下页 返回 结束 9第7页/共34页)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 10第8页/共34页定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,tan在其定义域内连续定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母

6、不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 11第9页/共34页xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即机动 目录 上页 下页

7、返回 结束 12第10页/共34页基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 13第11页/共34页.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当, ea 时

8、, 有0 x)1ln(x1xexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 14第12页/共34页.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 x215第13页/共34页1,41,)(xxxxx,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1

9、)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16第14页/共34页（一）（一）、最值定理、最值定理 （二）、介值定理（二）、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、闭区间上连续函数的性质 第一章 17第15页/共34页注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .定理定理4 4. .在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2

10、xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 18第16页/共34页例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 19第17页/共34页,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .(二二)、介值定理、介值定理定理定理5. ( 零点定理 ), ,)(ba

11、Cxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 20第18页/共34页设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

12、 21第19页/共34页01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则22第20页/共34页基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数

13、的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 23第21页/共34页则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：P26 16,1724第22页/共34页1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的

14、连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)27第23页/共34页可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x26第24页/共34页xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 27第25页/共34页0limco

15、sxxx解解1: 令,yx2100limcoslim(cos )xyxxxy21cos1cos10lim1 (cos1)yyyxy22112cos10lim1 (cos1)yyyxy12e机动 目录 上页 下页 返回 结束 28第26页/共34页0limcosxxx解解2: 12200limcoslim(1 sin)xxxxxx221sin22sin0lim1 sinxxxxx2122sin0lim1 sin)xxxxx12e机动 目录 上页 下页 返回 结束 29第27页/共34页lim abnnnn ee解解:lim lim (1)(1)ababnnnnnnn een ee 1111lim

16、abnneennnlim11nabnnnnab机动 目录 上页 下页 返回 结束 30第28页/共34页2122( )lim1nnnxaxbxf xx为连续函数，试确定为连续函数，试确定a及及b。| 1x 1( );f xx2( );f xaxbx21,| 1, | 1( )1,121,12xxaxbxxf xabxabx 111lim( )lim1xxf xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 31解：当时当|x|0时，00lim( )lim0 xxf xx 则x=0是f(x)的第二类间断点，而f(x)的连续区间为第31页/共34页( )()(1)xebf xxa x1.有无穷间断点x=0;2.可去间断点x=1。 01lim( ),a=0b1xbf xa故，1limxf ( x) 的存在。1lim()(1)0,xxa x由于1111(1)lim(