数理统计课件

1、数理统计课件1数理统计课件2数理统计课件3第五章 大数定律和中心极限定理 关键词： 大数定律中心极限定理数理统计课件41 大数定律(laws of large numbers) 在给出大数定律之前，先介绍一个重要不等式11,.一定的条设是一列随机变量，则在随机变量序列收敛件到下内 ：容nnnXXXXYn（1）一定的条件是什么？(2） 是什么?(3）随机变量序列 收敛到 的含义？问题: nY数理统计课件522222,0,;15.1 .设随机变量 具有数学期望方差,则对于任意都定理契比雪夫不等式有：定理的为：等价形式 XE XD XP XP X ,XXf x证明： 仅就 为连续型时证之 设 的概率

2、密度为 xPXfx dx则 22xxf x dx 221xfx dx222D X( )f x数理统计课件62222,1(|) 设E( ）（ ）取 （ ）（ ） 则有 比如：XD XKD XKD XPXKKK3,1(| 3 )(3 ,3 ).9若取则有 KPXP X2( ,)8(| 3 )(3)( 3)0.9974.9而当时， XNPX说明不等式应用面广，但结果较粗糙。Chebyshev数理统计课件7 例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频

3、率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75b n则X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn nXfAn又 0.740.760.750.01XPP Xnnn(2)20.187510.01nn 187510.90n 18750n(1)7500,0.740.760.750.01XnPP Xnnn20.187510.01nn 187510.757500 数理统计课件81221,51.2 设随机变量序列相互独立，且具有相同的数学期望 和相同的方差，作前 个随机变量的算术平定理契比雪夫不等均： 式的特殊 情： 形nnn

4、kkXXXnYXn111,nnkkE YEXnnn证明：由于11nnkkD YDXn211nkkD Xn2221nnn22111nkknPXn 由契比雪夫不等式得：111nknklim PXn1101limlim1.1,) 则，有： 即，当时.(即， nnknnknPPnkkP YPXnYnXn数理统计课件9 随机变量序列依概率收敛的定义 123,0,1,05.1nnnnnY Y Yalim P Yalim P YaYaPYan 。设随机变量序列若存在某常数 ， 使得均有： （或） 则称随机变量序列依概率收敛于常数 ， 记为：定义：aaa数理统计课件10性质：,(,( , )若当n时.函数（x

5、,y）在点(a,b)连续，则 ），当n时. PPnnPnnXa Ybgg XYg a b数理统计课件1112111,101limli15.3m1,) 设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且存在数学期望 ，作前 个随机变量的算术平均： 则，有： ， 即，当时.(定理，辛钦定：即理 nnnkknnknnknPPnkkXXXnYXnP YPXnYnXn定理5.2表明，当n很大时，的算术平均 接近于数学期望 。这种接近是在概率意义下的接近。11nkkXn12,nXXX此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。数理统计课件12补充：定理（定理（契比雪夫大数律契比

6、雪夫大数律）有有则则对对于于任任意意正正数数并并有有公公共共的的上上界界且且都都具具有有有有限限的的方方差差两两两两不不相相关关设设随随机机变变量量 ,C)X(D,C)X(D,C)X(D, ,X,X,Xn21n211111lim |()|0.nniiniiPXE Xnn数理统计课件13证明证明)( niiniiXDnXnD12111,nC 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得112211()11/(),ninnniiiiiDXC nPXE Xnn，则则在在上上式式中中令令 n.)(0XEn1Xn1Pn1iin1ii 证毕证毕（补充结束补充结束）故两两不相关因为,nX数理统计课件14 例2：

7、112111,( 1,1).111123nnnnkkkkkkXXXUXXXnnn设随机变量相互独立同分布，则（），（ ），（ ）分别依概率收敛吗？如果依概率收敛，分别收敛于什么？1111222112111,(),(),()111nnnnnnkkkkkkXXE XXXE XXXE XXXXnnn解：由辛钦大数定律，相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,故，均依概率收敛。1()0,E X因为，11nkkXn P故，0，111(),E Xxdx11同理，2212211(),E Xxdx112311nkkXn P1，2211nkkXn P1。3数理统计课件15 例：1112

8、,(0,1),设随机变量相互独立同分布，则依概率收敛吗？如果依概率收敛，收敛于什么？nnnXXXUX XX111,ln(lnln).解：记Y令ZnnnnnnXXYXXn1.利用依概率收敛的性质，得，当 nZpnYeen11ln,ln,lnln 110则相互独立同分布，又 E()=，nXXXxdx1,.n那么由辛钦大数定律知，Z当 pn数理统计课件16大数定律的重要意义：贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定

9、某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。,0,5 4 1.AAnApnnnAlim Ppn 设事件 在每次试验中发生的概率为 ，记为 次独立重复试验 中 发生的次数 则有定理贝努里大：数定律,Anb n p证明：利用契比雪夫不等式，因故：221111,AAAAnnpqEE nnpp DD nnpqnnnnnnn20,1AnpqPpnn 于是，有1Annlim Ppn即得：数理统计课件172 中心极限定理(Central Limit Theorem)背景： 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合

10、影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。 数理统计课件185.5 定理独立同分布的中心极限定理210,10,1(,),（近似）此定理表明，当 充分大时，近似服从，即即：（近似）nnniinYNXN nnYN11niiXXn思考题：的近似分布是什么？2( ,)Nn答案：212212,1,2,1,( )2设随机变量X相互独立同分布，则前 个变量的和的标准化变量为：有： niiniintxnnXXE XD XiXnnYnxRl

11、im P Yxedtx1()()().niibnanP aXbnn 从而，证明略。数理统计课件195.6 定理德莫佛-拉普拉斯定理2215.5,(1)2tbAnannplim P abedtnpp由定理1 0 iiAXiA第 次试验时 发生证明：令第 次试验时 未发生 2201 ,1,lim,(1)2AtbAnannAP Appnnpa bP abedtnpp设为 重贝努里试验中 发生的次数，则对任何区间(，有：12, (1, ).niXXXXbp则相互独立同分布,12,AnnXXX由于() (,(1).AnN np npp即:近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp 即二

12、项分布当n很大时可以用正态分布来近似。数理统计课件20 例3：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。121616,1,2,解：记只电器元件的寿命分别为 则独立同分布。iXXXX i16116记只电器元件的寿命总和为,iiXX2100,1001,2,16.由题设,知，iiE XD Xi16116 10016000,14 100400iiXXYN根据独立同分布的中心极限定理: 近似服从 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 数理统计课件21

13、例4：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元,若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。200P X解：设X为一年中投保老人的死亡数，X(0,1)(1)由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，知（近似），故保险公司亏本的概率为：npNnpp1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案： 0.939,10000,0.017则X b n pnp数理统计课件22 例5：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工

14、作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02 b解：设机器出故障的台数为X 则X，分别用三种方法计算：1. 用二项分布计算40039921011 0.98400 0.02 0.980.9972P XP XP X 2. 用泊松分布近似计算400 0.028 ,21011 0.0003350.0026840.9969.npP XP XP X 3. 用正态分布近似计算数理统计课件23 例6：12012020202111,( 1,1)111123202020kkkkkkXXXU

15、XXX设随机变量相互独立同分布，。分别求（），（ ），（ ）的近似分布。2020202111111202020kkkkkkXXX解：由中心极限定理，均近似服从正态分布。1()0,E X因为，1(),E X1221(),E X1314(),12D X132011(0,),20kkXN近似16022111()() (),D XE XE X1122011( ,)20kkXN近似11，2 2402422111()() (),D XE XE X1145945211( ,)nkkXNn近似11。3 225数理统计课件24 例7：（例1续）在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用

16、中心极限定理,(1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75b n则X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn0.760.750.740.750.740.76()()0.18750.1875nnnnXPnnn (2)18750n 契比雪夫不等式估计。(1)7500,0.740.76XnPn0.760.750.740.75()()0.18750.1875nnnnnn 0.042 () 12 (2) 10.95443

17、n 0.042 () 10.9,3n 0.04()0.95,3n 20.041.645,(25 1.645)350743nnX(0.75 ,.1875 ),当 充分大时， （近似）nNnn数理统计课件25例1(用Chebyshev不等式的结果)nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75b n则X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn nXfAn又 0.740.760.750.01XPP Xnnn(2)20.187510.01nn 187510.90n 18750n(1)7500,0.740.760.750.01XnPP Xnnn20.187510.01n

18、n 187510.757500 数理统计课件26 大数定律与中心极限定理的区别与联系： 设 为独立同分布随机变量序列， 则由 对任意的0有 大数定律虽并未给出 的表达式,但保证了其极限是 1. 而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格莱维）亦 成立，这时，对于任意的0及某固定的n，有 .由于 ，因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见在这些条件下，中心极限定理的结论更为深入。nX20iiEXDX且，11lim1niinXnPniiXnP111121(n)niiiXnnnPXPnn 当 充分大211，当nn 5.2定理契比雪夫不等式的特殊情形数理统

19、计课件27数理统计课件28关键词： 总 体 个 体 样 本 统 计 量 2分布t 分布F 分布第六章 数理统计的基本概念数理统计课件29引言：数理统计学数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限的，甚至是少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。数理统计课件30 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量总体总体1 总体和样本 总体与个体数理统计课件31 然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命数理统计课件32 由于每个个体的出现带有随机性，即相应