微积分常用公式及运算法则(上册)

1、微积分常用公式及运算法则#结合律常用三角公式：sin 2a = 2 sin a cos a :cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2-l = l-2sin2a(AUB)UC = AU(BUC),(AnB)nc=An(Bnc)；#对偶律(AABr = AfUBc;c 2tana . a 1-cosatan 2a = ； sin2 =:l-tan2u222 a 1 + cos a 2 a l-cosa cos =: tan =222 1 + cosaa sin a 1-cosatan =21 + cosa sin a分配/n(uc)Pgu(Ag, AU(BnC) = (A

2、UB)n(AUC);#初等函数：双曲正弦、余弦.正切及运算tan la =2 tan a1-tan2 asin2a+cos2a = ly = sinh x =2(-oo y +Jx2 +1), (x e R、yw R) y = ar cosh x = ln(x+y/x2 1), (x1, y 0)+ xL，(Tvxvl，D1 X极限的运算法则：设 lim/(x) = A,Hmg (x)=艮那么 lim/(x) g (x) = AB = Um/(x)lim g (x) limg)g(x) = AB = lim/Wlim(x) lim型討=旦型(其中昨0)g(x) B limg(x)设 lim/；

3、(x) = A，心 1，2,6 那么对k*R,i = ,2,n,有 limV；(x)+k2S) + /(对人+也+/，等价无穷小：当XT OH寸，x sin x tan x arcsin x arctan x ln(l + x) ex -1;J1 - cosx ；(1 + x)“ 一 1 ax(a 工 0);2ax 1 - xnu(a 工 1).函数连续性： lim/(x) = /(x0)2lim (x)/2(x) fn(x)=人Aj 人PS), Q(x)为多项式，当QM工0,有 臥竺=旣)=空 f g) hmQ(x) Q(x0)KT勺导数定义：g =Um=lim 心山)一加AttO Ar A

4、k-0Ar厂g)=厂w对有理分式函数在无穷大处的极限，有念当加=n%0m n设 lim f(u) = A, lim u(x) = uQ9S.u(x)丰 uQ “TMqXT 勺则 lim fu(x) = lim f(u) = AMTMq求导公式：(c)=o, (C“严(ax)r = axn a(exY = ex(In x)z =x(log“ x) = -/xlna(sin x)z = cos x (cosx)z = -sinx(tan x)f = sec2 x(cot x/ = -csc2 x(sec x)z = sec x*tan x(esc x)z = -esc x*cot x重要极限:li

5、mjctO( (龙)=1sinx xoolim xx = IX-H(arctan x)=(arccot x)f =齐1 + x11+73(sinh x)f = cosh x (cosh x)z = sinh x微分公式：d(C) = Odx,d(ux) = uxlnudxd(ex) = ex dxd(ln x) = dxXd(log“ x) = dxxnad(sinx) = cosxdx d(cos x) = - sin xdx d(tanx) = sec xdx d(cot x) = - esc2 xdx d(sec x) = sec x*tan xdx d(csc x) = - esc x

6、*cot xdx d(arcsin x)=(】? d x d(arccos x) = - 】 d x d(arctan x) = =- d x1 + xd(arccol x) =d x1 + x d(sinh x) = cosh xdx d(cosh x) = sinh xdx链式求导法则:乜=乜輕dx dw dx对数求导法则：求幕指函数y =心)严)的导数时， 可先取对数,得lny = v(x)lnu(x), 然后两端对x求导，得 厶如lz(x) +冬华y“(x)参数方程求导：若对参数方程产曲)求导，则有y = 0 dy _dy dt _ dr _ 矿 dx dt dx dx (p(t)d7

7、高阶导数: (X” )”)=川 、 宀，n)(1)5!=JrMx()(”)=(sin x)(n) =sin x +(cos)-1(1 + x)(伽 + 0y)g =伽 + 0 J”)求导法则：(u + v) = iZ+“(au + 0y)=a), 那么对于JT(“”)，有/(X)= /(0)+ 厂(Xo)(x 一 X。)+ * fg(x -x0)2+ %0心-旺)”+&(力n其中RnM=-(x-xor+i, 5+1)! 0心(对称为拉格朗卜|余项，这里歹是与X之间的某个值拉格朗日中值公式：当71=0甘，泰勒公式就是拉格朗口中值公式:f(x) = f(x0) + fX)(x-x0)麦克劳林公式:

8、 在泰勒公式中，勺=啲特殊情况比较重要。 此时歹在0与x之间，可记为 = &x(0V&VI)。f(x) = f(0) + f(0)x+F + +广)(0) ”，严小(&) +1x Hxn!5 + 1)!f(X)= ex的n阶泰勒公式：ex =1 + 牙 x2 H1 x1 H 牙卄2!n (n + 1)!(Ov&vx)带有佩亚诺余项的泰勒公式：如果函数/Xx)在禽有勺的开区间(“,b)内具有 直道+ 1阶的导数，JJ/(n+1)(x)在(“,b)内有界 嫂/*(对在(“小)内有祁介带有佩亚诺余项的泰 勒公式：f(X)= f(X。) + 门勺)(x - 勺)+ 尙厂(勺)(x - )2+ A严)(

9、勺心一勺)”+。(兀一勺)”)n常见的基本初等函数的带有佩亚诺余项的麦 克劳林公式：sinxr丄F+丄23!5!(2m-1)!+。(宀)z 112丄14丄(1)酬2质丄/ 2瓠+1COS X = 1 X dX FX +O(X )2!4!(2m)!1 , x123t (一 1)1” A /ln(l + x) = x x +x 1x +o(牙)23n(l+h = l+Q+(-!) J2!+ 基本积分表x = kx + C(k =111,1 dx = x + C)l a(a-l)(a-zi + l)xn+o(xn)洛必达法则iSf (x), g (x)在点Xo的某个去心领域内可导, 并且g(X)MO

10、,又满足条件：(1) lim f (x) = lim g(x) = 0 或=f g (x)limZ = UmWf g(x) f g (x)丄 dx = lnlxl+CXJ d x = arctan x + C 1+工_! dx = arcsinx + C VT7cosxdx = sinx + Csin xdx =cos x + C91p2平均曲率2dx = sec xdx = tanx + C cos x1r2zd x = esc xdx = cotx + C sin2 x#I山I为曲线上弧段MM的长I Aa I为点M到点AT曲线的切线的转角sec x tan xd x = sec x + C

11、cscxcotxdx = -esc x + C#j au(x) + J3v(x)dx = a “(x)dx + 0| v(x)dx曲率公式曲线在点M(x,y)处的曲率公式K= M(1+/)3/2当曲线时参数方程 产呦给出时，ly = 0(。10 0(r)-0(r 妙 I一 0+0%)严其中P = 1为曲率半径K微积分运算J/V)dx = /(x) + C jd/(x) = f(/z(x)dx) = /(x) + C (J/(x)d4 = (F(x) + c/ = /(x) d(J/(x)dx) = /(x)dxax dx FC(a 0,u 工 1)lnusinh xdx = cosh x +

12、Ccosh xdx = sinhx + C不定积分线性运算法则不定积分的换元法打曲)0(力肛=“(”)0,b 0)y/a2 b2x2 bdx 1-5 = Inx2 a2 2asec xdx = ln I sec x +tan x I+Cesc xd x = ln I esc x cot x I+C 若fwCRz,并且为偶函数则 匸/(x)dx = 2 J；/W d x；)f G Ca, u,并JI为奇函数，则 f/(x)dx = 0JaK*jj /(sin x) d x =/(cos x) d xJ。xf (sin x) d x = IJ / (sin x) d xKXIsinnxdx=卩 c

13、osxdxJoJo10#dx0)d*= In I x + yjx2 a2 I+C/il枳分的分部枳分法f uv d x = uv vu J aJ aJ wdv = “： J vdu不定积分的分部积分法#t/vd xx?Ki/dv = uv vdu定积分牛顿-莱布尼茨公式如果函数/w C“,b,函数F(x)是/*(x)的一个原函数，那么P/(x)dx= F(坊一 F(a) = F(x)f设函数M)连续，函数(x)及0(x)可导，则Odx) = /g)0(x)-/*)如)定积分的换元法设函数/* w Ca, b.如果函数X = %(x)满足: 傾a)= “,卩(0) = b,且卩(a, 0) c

14、a, b 或 (0,a)u“,b;(2) 0w Ca,0(或C0,)rb那么：/Wdx = fWt)W(t) dtKXJJ sin xdx = cos xdx(2m-l)!# (当 = (2m)!2(2 加 _2)!(当” =2 加 _)(2 加-1)!m = 1,2,3,定积分的几何应用平面图形的面积：1. 直角坐标情形T：面图开豹(x)Sy f2(x),axb(面积为A = f(x)-/；(x)dx2. 极坐标情形曲边扇形戸的面积为t卩1夕人=烏9(卩)d(p体积1. 旋转体的体枳曲边梯形0 y /(x),u x 5绕兀轴旋转 一周所成的旋转体的体积为V = j/(x)2dx2. 平行截面

15、面积为己知的立体的体枳加在过点；r = “和x = b且垂直于端的两个平 面之间、且平行面面积为4(x)的立体体积为V = J A(x)dx平面曲线的弧长1. 直角坐标情形曲线弧段y = f(x)(a x b)长度为s = J： Jl + y dx2. 参数方程情形曲线弧 X =(Pt)atp)y =处)曲线弧段必),y = 0(r)(at (x)dx均方根平均值:反常积分J f(x)dx = Jim f(x)dxbf /(x)dx= lim I /(x)dxaT-oJa匚 f(x)dx = J：/*(x)dx + Jf(x)dx(0fb=lim f(x)dx+ lim f(x)dxaT-oo

16、JabT4oJ0微分方程1. 可分离变量的微分方程:g(y)dy = /(x)dx一阶线性微分方程:11#初值问题：ylfP(x)dXdx+C-| P(x)dx y = e ”dy2lx丿dy= ux dxdx椭圆+ = 1(“)的周长a bns = 4u2 vl 2 sin21 d t其中=V/-决为椭圆的离心率a2. 极坐标情形曲线弧段p = p)(a (p,“/ + + C =0得到该方程的通解后,8. y、/(y，y)型的微分方程设y=p,则才=卩=空学十卩dx dy dx dy方程可化为：p字= /*(y,p).dy这是关于y,P的一阶微分方程，若通解为 y = P =傾y,CJ,即

17、dy = (y,CJdx 分离变量两边积分，可得原方程通解： f- = x+C2J 卩(y,cj2#令X = x h,Y = y-小卩可得原方程通解。#4. 伯努利方程形如:学 + /(仍=Q(x)yaa 丰 0,1) dx方程两端冋除以h,得严学+P(x)严=如)dx令“严,则学=(1_6厂学，代入得dxdx一阶线性方程学+(l-a)P(x)z = (l-a)Q(x),dx求出通解后，令z = yY代入得原方程通解。5. y=f型的方程I)若k重共辘复根r = aifi,给出2*项：eax(C, + C + + Ckxkx) cos 卩x +(D 4- D2x + + Dkxk) sin /3x 11二阶常系数非齐次线性微分方程I fM = PmMe *其中/I是常数，化W是册一个加次多项式方程具有形如：才=2(力0的特解，其中Q,(力是与Pm (x)同次(加次)的多项式， 则当2不是厂2+“ + q = 0的根，k = 0久是A*?+ py + q = 0fi 单根，