刚体转动惯量测定研究

1、 毕 业 设 计（论文）2014 届 题 目 刚体转动惯量测定研究 专 业 物理学 学生姓名 俞腾 学 号 10071320 指导教师 应雄纯 论文字数 7072字 完成日期 2014年3月25日 湖 州 师 范 学 院 教 务 处 印 制19刚体转动惯量测定研究俞腾摘 要：转动惯量是用来表示刚体转动的特性的一个重要的物理量。对形状均匀，规则简单的一般刚体，一般可直接用公式计算出它绕特定转轴转动的转动惯量.而对非均质，形状比较复杂的特殊刚体，一般要通过实验来测定。在大学物理实验中，三线摆法和挡光片法是两种常用的测量刚体转动惯量方法。但是，三线摆法和挡光片法都有一定的实验缺陷，数据的处理都不是非

2、常精确。本文在原三线摆法和挡光片法的基础上，分别对刚体转动惯量的测量方法和实验的装置进行了改进，提出了“长摆线三线摆大摆角摆动法”和“双挡片法”，大大提高了数据处理的精度和效率。关键词：刚体转动惯量；长摆线三线摆大摆角摆动法；双挡片法；数据处理Determination of Moment of InertiaTeng YuAbstract: Inertia is the characterization of rigid body rotation is an important physical characteristics. Uniform shape rigid rules, it

3、can be calculated directly around the shaft of a particular moment of inertia of the complex shape of the non-homogeneous rigid, often used to measure experimentally. In college physics experiment, three-wire pendulum method and light barrier method are two commonly used methods to measure the momen

4、t of inertia of rigid body. However, three-wire pendulum method and light barrier method has some flaws experiments, data processing is not very accurate. Based on the original three-wire pendulum method and block-based ray method on each of the rigid body inertia measurement methods and experimenta

5、l apparatus has been proposed to improve the long cycloid three wire swing big swing angle swing Law and double flap method greatly improves the accuracy and efficiency of data processing. Keywords: rigid body inertia; cycloid three lines long pendulum swinging big swing angle method; double flap me

6、thod; data processing目 录前言1第一章 三线摆方法已及改进31.1 三线摆刚体转动惯量的测量原理31.2 长摆线三线摆大摆角摆动测量转动惯量的原理6第二章 双挡光片测量刚体转动惯量实验装置的实验原理102.1 传统的单挡光片测量原理102.2 双挡光片刚体转动实验装置的实验测量原理10第三章 实验数据处理和结果分析123.1 长摆线三线摆大摆角摆动对转动惯量的测定和分析123.2 双挡光片法实验数据处理和分析13第四章 结论15参考文献15致谢17前言1、 转动惯量简介在经典力学中，转动惯量是刚体关于测量的轴的转动惯量，该值是，该式表示刚性体的粒子的质量，表示从粒子之间的

7、垂直距离的轴线旋转时，总和号码（或点的数目）在整个刚性。规则形状的均匀体，转动惯量可以直接计算。这样的分析可以用来打开的问题上来看能量的点，但不一定连接到从纯粹的旋转运动的角度分析问题。不规则或不均匀的刚体时刻的刚体的惯性，一般用实验的方法。仅依赖于刚性的形状，质量分布，以及该轴的位置，并绕刚体的状态（如角速度的大小）无关的轴线的转动惯量。在一个轴的转动惯量的对象越大，则绕轴线转动，角速度就越难改变1。在旋转的线性动力学等效质量的动态惯性的作用，可以理解为对旋转运动的惯性，对于关系的角速度，扭矩和角加速度和几个量之间建立角动量形式的对象。转动惯量（Momento de inercia）是一个刚

8、体绕惯性轴（旋转物体保持其匀速圆周运动的或静止的特性）转动测量，用字母I或者J表示。它于轴的位置，质量分布和物体的形状决定。刚体转动惯量具有重要的物理和实际意义，在工程，科学实验，电子，航空航天，仪表，机械等工业领域中同样是一个重要的参数。比如在电磁系统仪表指示系统中，由于线圈在不同时刻的转动惯量可以用来间接的测量小电流，分别为电（电流计的影响）或者磁（检流计）。人造卫星，叶发动机飞轮和陀螺仪等的整体设计，转动惯量的精确值，都是必要的2。转动惯量仅依赖于刚性的形状，质量分布，以及轴的位置的转动惯量，和周围的刚体与状态（如角速度的大小）无关的轴线转动。均质刚性调节的转动惯量，可以直接使用公式来计

9、算。为刚体的惯性不规则或不均匀的，通常是通过实验方法来确定的，因此是非常重要的实验方法。刚性体在多方面的惯性，有三种常用的摆丝扭摆，摆锤和构成，使得确定的。三线摆判定通过惯性扭转运动的物体的物理图像清晰，操作简单，适用于各种对象，如旋转机械部件的形状，其特征在于电机转子，猎枪，电动风扇叶片等三个摆锤惯性确定可用的线程。2、研究现状转动惯量是物体的自有属性，描绘物体的质量特性。在实际的计算中，通过质量和密度两个参数确定其值的大小。在平时的运算中，转动惯量的求解有两种方法：计算法和测量法。计算法主要是指通过公式进行计算，要求被测物体质量均匀，因而适用范围较窄3。在实际的实验中，较多都是复杂物体，因

10、而计算法不再适用。这时就需通过测量法来计算转动惯量。实验法又分为在线和离线两种测量方法。在线主要是指当物体处于工作状态时，对其直接进行测量的方法。主要参数包括瞬时转速、功率等。在线法的主要测量对象为内燃机、发电机等，在工作时需要旋转的物体。但是，测量环境对实验结果又一定的影响，从而导致误差较大，精度较低。而离线方法，是指当物体处于静止状态时对其进行测量的方法。这也是在转动惯量的测定过程中最常用的方法。其精度较高，适用范围页较广。离线测量的主要分类有：线摆法、扭矩法、复摆法等。离线方法比在线方法的误差小，是实验室教学和实验中普遍运用的方法。随着科技的不断进步和学术水平的不断提高，全球多个国家的实

11、验人员都对转动惯量的测定方法进行了研究。其中包括数字仿真、实验模拟等。当被研究物体的体积极小，或者所受空气阻力较小时，我们一般可以认为其空气阻力力矩可以忽略，即在运算的过程中，不考虑空气阻尼作用的影响，这就大大简化了转动惯量的求解过程，使实验的运算过程更加顺利4。在国内一些高等院校的教学课程中，塔轮测量(落体法)是一种较普遍的使用方法。大量的实验结果表明，如果在实验过程中，选用合适的测量仪器可以减少塔轮式阻力矩，从而提高角动惯量测量的精度，有利于实验的进行。由于在实验时，空气阻力所占总外力的比重非常小，因而一般不考虑空气阻力的影响。在具体的实验过程中，可通过计算或经验，忽略空气阻力的影响，这样

12、可以大大减小计算量，提高试验进度。3、转动惯量测量设备到目前为止，随着科技的迅速发展，针对角动惯量的测量，国内外已经形成了一套较为完整的体系。比较典型的有加拿大太空局(Canadian Space Agency)的大卫佛罗里达实验室(David Florida Laboratory)发明的精密空气轴承技术和美国的戈达德航天中心(Goddard Space Flight Center)对于航空领域角动惯量的测量。其中美国空间电子公司(Space Electronics Inc.)是世界上最先进的质量特性测量设备公司，其测量种类已经超过25种，质量也达到非常高的要求。这些设备的研制，为国家航空领域

13、的进步贡献了巨大的力量。但是其精度之高，带来了高成本的代价。同时，目前尚未研制出阻尼条件下，对转动惯量的测量仪器5。这也是未来努力的一大方向。如下图1为空间电子公司系列的转动惯量测量设备。图1 空间电子公司系列转动惯量测量设备第一章 三线摆方法及改进1.1 三线摆刚体转动惯量的测量原理三线摆的结构如下图1-1所示。如前言所述，实验过程中，当空气阻尼力矩较小时，可以忽略。此时，三线摆符合能量守恒定律。从分析来看，此时质量具有一定的周期性。暂停螺旋是用来扭转悬架板和垫的连接运动的中心轴。当从平衡向任一方向旋转一定角度时，整个磁盘连同高架悬挂位置挂盘。在运算的过程中，通常认为平衡位置，其势能为零。由

14、此可计算出悬盘升高h，其势能的大小为：EP=mgh (1-1)图1-1 三线摆结构示意图此时，总动能Ek: Ek=Em+Ed=I22+mv22 (1-2)式中: 为悬盘旋转时的角速度；v为悬盘转动的平均速度；I为悬盘转动时的转动惯量。由图1-1、图1-2可得图1-2 A1C1、R、r关系图h=4Rrsin2(t)/2)l2-R-r2+l2-R-r2-4Rrsin(t)2 （1-3）悬盘扭转的角速度=ddt t (1-4)悬盘平动速度v=dhdt=ddtBC-BC1=-ddtBC1=-ddtl2-R2+r2-2Rrcost=Rrsintl2-R-r2-4Rrsint2 (1-5)则悬盘的势能为E

15、P=mg4Rrsin2(t)/2)l2-R-r2+l2-R-r2-4Rrsin(t)2(1-6)悬盘的动能为EK=Em+Ed=12I2+12m(Rr)2sin2(t)l2-R-r2-4Rrsin(t)22(1-7)摆角较小的情况下系统的动能7在式(1-7)中，我们可以得到，在保守系统如三线摆中，只要平动动能Ed足够的小于转动动能Em,就可以完全忽略Ed对转动惯量测量数值的影响，则EP和Em相互转换。设l=nR,R=r，I=12mR2,则EdEm=2sin2(t)n2-4sin(t)2在短摆线三线摆中，若n3,t=05(0为摆角的幅度值)时，EdEm的值非常小，大概为10-4，我们可以认为，在悬

16、盘的摆角比较小时，且平均动能Ed也非常小时，而在计算的过程中，可以省略平均动能。这样可以将式(1-7)进行简化，结果如下： EKEm=12I2（1-8）既是0增加到010，EdEm的值仍然不大，大概为10-3。此时，如果将摆角的值增大，为了计算的简便，我们可以通过增加摆长l或者增加n值得大小，将平均动能Ed计算值减小，这样也可以不考虑其对转动惯量大小的作用。另外，若Rr，此时需要通过调整摆长l的值，也可以达到减小R-r的影响，从而在计算时，可以将其忽略。摆角较小情况下系统的势能设l3R、R=(0.81.2)r,由于l2-R-r2=H，在微摆角的情况下，sin22，式（1-6）可简化为EPmgR

17、rt2l2-R-r2+l2-R-r2-4Rrsint2mgRrt22H(1-9)三线摆微摆角运动的微分方程在上面两式(1-8)、式(1-9)中，进行了必要的简化过程。由于三线摆是一个能量守恒系统，可以选取摆动角度作为广义坐标，运算时，空气阻力非常小，可以不计。将式(1-8)和式(1-9)代入拉格朗日方程，计算结果如下：ddtEK-EP-EK-EP=0(1-10)得到三线摆微摆角摆动的微分方程Id2dt2t+mgRrHt=0 (1-11)式（1-11）显然是简谐振动的微分方程，其解为t=0sinmgRrIHt=0sint (1-12)式中：=mgRrIH=2T悬盘的转动惯量为I=mgRr42HT

18、2 (1-13)1.2 长摆线三线摆大摆角摆动测量转动惯量的原理设三线摆摆角幅值为0、摆线l20R，悬盘与垫盘的半径R=(0.81.2)r。式(1-6)仍能近似为8EP=mg4Rrsin2(t)/2)H+H2-4Rrsin(t)22mgRrsin2(t)/2)H (1-14)式（1-7）仍可近似为式（1-8）EK=Em+Ed12I2。式（1-8）、式（1-14）代入式（1-10），并进行整理，可得：Id2dt2t+mgRrHsint=0 （1-15）在式(1-15)中，我们发现，在摆角较大时，三线摆的摆动会复杂起来，简谐振动规律已经不再适用于此，摆动规律为非线性方程。需要将式(1-15)进行一

19、系列变换，结果为：Idtdtddtdtdt=-mgRrHsint，积分可得：(dtdt)2=2mgRrIHcost+c (1-16)令02=mgRrIH=(2T0)2、T0为谐振周期，悬盘摆动到最高位置时摆角为幅值0，悬盘转动角速度dtdt=0,则式（1-16）中的常数项9c=-2mgRrIHcos0=-20cos0。所以有 (dtdt)2=402(sin202t-sin2t2)令k2=sin202,式（1-16）化简为(dtdt)2=402sin202t-sin2t2=402(k2-sin2t2) （1-17）令sint2=ksin,(-0 t0,-22),并对其等式两边微分得12cost2

20、dt=kcosd (1-18)又因为cost2=1-sin2t2=1-k2sin2，代入式（1-18）得1-k2sin2dt=2 kcosd所以有dtdt=2 kcos1-k2sin2ddt (1-19)将sint2=ksin和式（1-19）代入式（1-17）并做变量变换，并积分，从而可以得到长摆线三线摆大摆角的摆动周期T为T14=1002d1-k2sin2 (1-20)式（1-20）为第一类椭圆积分方程式，k21，当k比较小时，级数展开得 T=4002d1-k2sin2=T01+122sin202+13242sin402+则TT0随着摆角幅值0变化的图像如图1-3实线所示。随着摆角幅值0的不

21、断增大，k值得变化范围为0.10.9，为了计算过程的方便，可以将式（1-20）中的积分方程进行简化。此时，可采用算术几何平均法进行计算。这种方法与第一类椭圆积分方程的计算更加贴合，因而更精确。此时，可将周期性椭圆积分方程T进行修正，结果如下：T=4002d1-k2sin2=201an式中：a0=1，b0=1-k2，ai=(ai-1+bi-1)2，bi=(ai-1bi-1)12，TT0随着摆动角读幅值0变化的图像如图1-3虚线所示。当然，如果摇摆角度的幅值0被进一步的增大，式（1-20）还可以转化的递归方法兰登变换递推法等近似计算公式来处理，这里不再一一赘述。图1-3我们可以看出：当03时，图线

22、的显示结果与式（1-20）的运算结果大致相同，误差较小。因而，对于三线摆测量刚体的转动惯量，我们可以进行适当的简化：要求摆动幅度0不超过3。大量的实验表明，如果动幅度0超过3，那么不止运算非常的复杂，整个系统的稳定性也会大大下降。图1-3 三线摆长摆线大摆角周期修正曲线图与之相对的转动惯量I为I=mgRr42HT2K2 (1-21)式中：K为修正系数，K2=1+122sin202+13242sin402+2随着摆动角度0的增大，K也相应会增加更多的修正项，所以转动惯量I的修正曲线图为图1-4所示。图1-4 转动惯量修正曲线图第二章 双挡光片测量刚体转动实验装置的实验原理2.1 传统的单挡光片测

23、量原理图2-1光电门、单挡光片转盘示意图(K为放开起始点)在大学物理相关实验教学中，我们通常在刚体转动实验仪上来验证转动定律和测量物体的转动惯量。传统的实验装置固定的一个挡光板上的一个转盘片(见图1-3)，悬挂一定质量祛码，从同一起始点释放转盘2次，分别测量单片机光电屏障的第一圈测量时间t1，并通过所述第1和第2环的累计时间t2，就可以测得此外力矩作用下该转盘的角加速度:=4t2-2t1t22-t12=42t2-1t1t2-t1(2-1)由刚体转动定律得知，M合=M外-M阻=I,而M外=mgR，其中I为转轴的转动惯量，R为绕线轴的半径，g为重力加速度，m为祛码的质量， M阻主要来源于接触摩擦，

24、是恒定的。所以，我们可以利用对角加速度的测量来间接的测量转动惯量.但单挡光片测量角加速度需在外力矩相同的情况下重复转动转盘两次，操作过程过于频繁复杂，容易产生实验误差。所以我们在实验中使用双挡光片代替单挡光片，简化操作的同时提高了实验测量的精确度10。2.2 双挡光片刚体转动实验装置的实验测量原理当我们用双挡光片代替单挡光片后，光电门、转盘与挡光片之间的关系如下图3所示.假设双挡光片2个前沿之间的距离(挡光宽度)为s，转轴中心和挡光片的距离为R0。角加速度为，转盘转动的角速度为，根据角速度和角加速度的定义，则与的关系为11: =ddt (2-2)=ddt=ddddt (2-3)即=ddd=d

25、（2-4）对上式积分得：2-1=22-122 （2-5）因为转盘旋转一圈，所以1=0，2=2。因此：=22-124 （2-6）其中，1 2分别为挡光片第一次和第二次通过光电门时的角速度12。图2-2双挡光板、光电门和转盘结构示意图我们可以把圆形转盘的运动看成圆周运动，因此，建立如下图2-3所示的直角坐标系.以x轴和y轴圆轨迹的交点为零点O，A点在弧长s上，s增加的方向为面对z轴逆时针旋转的方向，所以 s=r (2-7)将(2-7)式左右对时间进行导数，得 dsdt=rddt(2-8)其中，ddt=是整个刚体的角速度，故limt0st=r(2-9) (2-9)式中的s是挡光宽度，t1、t2分别为

26、挡光片第一次通过光电门和第二次通过光电门（即转了一圈后）显示的时间, r即R0，是转轴中心到光电门的距离，从而可求得此时的瞬时角速度，为1=sR0t1, 2=sR0t2。因此，可由(2-6)式求出13。图2-3 转盘运动轨迹与选取坐标系示意图第三章 实验数据处理和结果分析3.1 长摆线三线摆大摆角摆动对转动惯量的测定和分析用天平和质心仪分别测定构件的精确质量和精确的质心位置。之后把构件安装在三线摆的悬盘上，以此来测量被测构件组合(构件+夹具+挂盘)在摆动较大时的周期T。再用相减法测量计算被测构件的转动惯量 14I=(M+m)gRr42HT2K2-I0式中， K是大摆角周期修正系数；I0是悬盘的

27、转动惯量；M为构件质量。 例如，摆线l=H=1.8000m，悬盘半径R=r=6.000cm、质量m=1.401kg、其转动惯量I0=4.13610-3kg/m2,径向夹具质量m=1.106kg、其转动惯量I0=8.31710-4 kg/m2,被测构件长l=60.00cm、直径=4.972cm、质量为3.268 kg，其转动惯量的理论计算值为：I=MR24+Ml212=9.85410-2kg/m2取摆角0=30时，K2=1+122sin202+13242sin402+21.035测得周期T=6.17s，则在、测得被测构件的径向惯量为：I实= (M+m+m)gRr42HT2K2-I0-I0=3.2

28、68+1.401+1.1069.86.00010-2243.1421.806.1721.0352-4.13610-3-8.31710-4 =0.0977kg/m2则相对误差为：=|I-I实|I=|9.854-9.77|9.854=0.8%实践证明，这种方法稳定，读数简单，不易产生较大误差，测量结果准确，特别适用于长轴类构件刚体转动惯量的测定。3.2 双挡光片法实验数据处理和分析实验测量载物台空载时的转动惯量I0当加载不同质量的祛码时，以测量空载时的转动惯量.先实验测量转轴中心到光电门的距离R0=167.375 mm，挡光宽度s = 12. 20 mm,测得1组数据见表3-1。表3-1 加不同质

29、量砝码各量测得值及计算值mgt1ms t2ms1(rads-1)2(rads-1)(rads-2)10017.19 9.44 4.2377 7.71323.30549018.2910.063.98307.23852.90708019.7810.873.68706.71192.50327021.4611.863.39516.15122.09386023.9013.203.05125.51791.6821用最小二乘法处理得：a=0.0013Nm，b=0.0057kg/m2，r=0.9999，所以载物台空载时的转动惯量为I0=0.005702 kg/m2。计算圆环转动惯量的理论值通过刚体转动惯量理论

30、可知，均匀环的质心且垂直于圆环截面轴的转动惯量为:I=18m(d212+d222)其中，m是圆环质量，d21是圆环的内直径，d22是圆环外直径，经测量得到圆环的质量m=2886g，外直径d21=253.70mm，内直径d22=233.10mm，因此，可求得圆环转动惯量的理论值为：I理论=0.04282 kgm2。结果讨论分析 如果以圆环理论值作为标准值，测量刚体转动惯量和光栅双光栅法的宽度的转动惯量的变化有关渐变光栅宽度的情况下，选择最佳的光栅片宽度，减小测量误差会和理论计算和测量双挡光片的方法比较表明，在实际测量值和理论测量值计算吻合良好的情况下，控制一下的相对偏差(见图3-1,图3-2)。

31、图3-1 圆环转动惯量的理论计算值与实验测得值比较图3-2圆环转动惯量实验测定值的相对偏差图当s的范围在916 mm之间时，转动惯量实验值与理论值比较接近，且一定；当在9 mm以内，或者16 mm以外时，实验值会脱离理论值，所以在取值范围是在916 mm 内可以确定数值(见图3-1)；当s16mm时，s所对应的角度偏大，即角度所对应的弧长ss，理论上不成立，所以，会引起较大的误差。在刚体转动惯量测量的实验中，除了挡光片宽度引起计时会产生误差之外，还会有其他的途径会引入实验误差，比如:操做者在刚体转动的起始点引入的误差，吊砝码的线绳经滑轮时滑轮引起的误差，刚体转动时转轴引起的误差，等等.因此，在最佳挡光宽度时可以减少双挡光片方法实验的误差.因此，挡光宽度的最佳取值范围是916 mm。第四章 结论长摆线三线摆大摆角摆动测量刚体转动惯量的方法，可以减少某些潜在误差对整体实验测量结果的影响，提高实验的可信度和精确度。但在实验和实际工程测量当中，还有许多其他因素值得研究:比如，空气阻尼对小密度构件以及对细长构件径向转动惯