三个二次间关系(教师).doc

1、三个“二次”间的关系一 知识梳理一二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 b2 4ac0 00) 的图象一元二次方程ax2 bx c 0( a0) 的根一元二次ax2 bxc0 ( a0)不等式解集ax2 bx+c0)xO xx12OxO x1 x2x有两相异实根有两相等实根b没有实根x1， x2bx1 x22a2a x| xx2 ( x1b x xRx2)2a x| x1x0， 0) ，一根 (0) ，无根 ( x2， x1x2， x1 A在区间 D上恒成立，则等价于在区间D上 f ( x) minA；若不等式 f ( x) B在区间 D上恒成立，则等价于在区间D上 f ( x) ma

2、x A 成立，则等价于在区间D上 f ( x)A；max若在区间 D上存在实数 x 使不等式 f ( x) B 成立，则等价于在区间D上 f ( x) minA在区间D上恰成立，则等价于不等式f()A的解集为 ；xD若不等式 f ( x) B在区间 D上恰成立，则等价于不等式f ( x)0) 的根的分布两根都小于 k 即两根都大于 k 即一个根小于 k ，一个大于 k分布情况即 x1 k x2x1 k, x2 kx1 k, x2 kf ( x) ax 2bx c(a0)大致图象kkk00bkbkf k 0得出的结论2a2af k0f k0两根有且仅有一根在一根在m, n 内，另一根在分布情况两

3、根都在m,n 内m, n 内 （ 有 两 种 情p, q 内， mnpq况，只画了一种）f ( x)ax 2bxc(a0)大致图象得出的结论0fm0f n0bmn2 af mf n0fm0fn0fp0fq0二典例剖析题型一一元二次不等式的解法【例 1】1. （2013重庆高考）关于221221x 的不等式 x 2ax8a 0)的解集为 ( x，x ) ，且 x x 15，则a ()5B.7C.15D.15A.2422解 :法一：不等式x22 8 20，a5，故选 A.x1x2 8a2，xxxaa2解法二：由 x2 2ax 8a20，得 ( x 2a)( x 4a)0，不等式x2 2ax 8a2

4、0 的解集为 ( 2a, 4a) ，又不等式 x2 2ax 8a20 的解集为5( x1， x2) ， x1 2a， x24a. x2 x115， 4a ( 2a) 15，解得 a 2，故选 A.122. （2013江西高考）下列选项中，使不等式xx0 时，原不等式可化为x21x3，解得 x ?，当 x1，解得 x 1，x31，选 A.2【课堂练习 1】(2012 江苏 ) 已知函数f(x) xax ( ， R) 的值域为 0 ， ) ，若关于x的不等式b a bf ( x) c 的解集为 ( m， m 6) ，则实数 c 的值为 _.2a 2a2a2a2解析 (1) 由题意知 f ( x)

5、x ax b x2 b. f ( x) 的值域为 0 ， ) ， b0，即 b .444 f ( x) x a 2. 又 f (x) c. x a 2c，即 acxa c.2222a2 c m，a2c m 6.得2c 6， c 9.题型二含参数的一元二次不等式的解法【例 2】1. 解不等式 x 2ax4 0解 ： a 216 当 a4,4 即0 时 ， 解 集 为 R ； 当 a4 即 0时，解集为x xaR且 x；2当 a4或 a4 即0, 此时两根分别为 x1aa216，x2aa 21622，显然 x1 x2 ,不等式的解集为x xaa216 或x aa 216222. 解不等式 x2(a

6、1 ) x10 ( a0)a1 )1解： 原不等式可化为：xa (x0 ，令 a，可得： a1aa1当 a1或 0a1时， a1x | a；，故原不等式的解集为xaa当 a1 或 a1, 可得其解集为； 当 1a 0 或 a1 时 ,a11 时 ， a,解集为aax | 1x a。a3. 解关于 x 的不等式 ax2 (2 a 1) x 2 0.解不等式 ax2 (2 a1) x 20，即 ( ax 1)( x2) 0.1111(1) 当 a 0 时，不等式可以化为x a ( x 2) 0. 若 0a 2，则 a 2，此时不等式的解集为2，a ；12?；若 a ，则不等式为 ( x 2) 0，

7、不等式的解集为2111若 a 2，则 a 2，此时不等式的解集为a， 2.(2) 当 a 0 时，不等式即 x2 0，此时不等式的解集为 (2 ， ) (3) 当 0 时，不等式可以化为x 1( 2) 0. 由于 1 2，故不等式的解集为， 1 (2 ， ) aaxaa1综上所述，当a 0 时，不等式的解集为， a (2 ， ) ；当 a 0时，不等式的解集为 (2 ， ) ；11111当 0 a2时，不等式的解集为2，a ；当 a 2时，不等式的解集为 ?；当 a2时，不等式的解集为a， 2 .【课堂练习2】 已知常数 a R，解关于 x 的不等式 ax2 2x a0。(2) a0 时，2.

8、 当21 1 a24 4a0，即 0a1 时，方程 ax 2x a0 的两根为a，不等式的解1 1 a21 1 a2集为 x|axa 当 0，即 a1 时， x?；当1 时， x ?.(3) 当 a0，即 1a0 时，不等式的解集为 x| xa 0，即 a 1 时，不等式化为 ( x1) 20，解为 xR 且 x 1. 0，即 a1 时， x R.22综上所述，当1时，原不等式的解集为?；当 01 时，解集为 x|1 1 a 0 ；当 1a0 时，解集为 x| xa ；当a 1 时，解集为 |xR 且x 1 ；当 1时，解集为 |R xaxx题型三一元二次方程的根的分布【例 3】 1. 如果方

9、程 x2x 1 a0 在 x (0 ， 1 上有解，求 a 的取值范围 .2.已知方程x22x3k10 在 x( 0,) 有两个实根，求实数k 的取值范围 .3. 已知 a 是实数，函数f ( x) 2ax2 2x 3a，如果方程 f ( x)=0在区间 1,1上有解，求实数a 的取值范围3解 当 a0 时， f ( x) 2x3，其零点 x 2不在区间 1,1上当 a0时，函数 f ( x) 在区间 1,1 分为两种情况：函数在区间1,1 上只有一个零点，此时 48a 3a 0，或f 1 f1 a 5a 1 0， 4 8a 3a 0，3 71解得 1 a5或 a2.1 2a1.a 0， 8a

10、2 24a 40，函数在区间1,1 上有两个零点，此时1 1 1，或2af1 0，f1 0a 0， 8a2 24a 40，1 1 2a 1，f 1 0，f 1 0，【课堂练习3】1. （ 2015 成都一诊）若关于x 的方程 x2ax40 在区间 2,4 上有实数根，则实数a 的取值范围是（）A.(3,)B.3,0C.(0,)D.0,3【答案】 B2. 已知函数 f ( x)log 4 (4 x1)kx ( kR) 是偶函数(1) 求实数 k 的值；(2)设 g( x)log 4 ( ag2xa) , 若 f ( x)g( x)有且只有一个实数解, 求实数 a 的取值范围解： (1)由函数 f

11、 ( x) 是偶函数 可知 :f ( x)f (x) , 1 分xx4x1,log 4 (41) kx log4 (41) kx，化简得 log 44 x12kx即 x2kx 对一切 xR 恒成立 , k1 3 分.2(2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 即方程 log4 (4 x1)1x log 4 ( a 2xa) 有且只有一个2实根 4 分化简得 : 方程 2x1a2xa 有且只有一个实根 , 且 a2xa0成立 ,则 a02 x令 t2x0 , 则 (a1)t2at10有且只有一个正根 6分设 g(t )( a1)t 2at1, 注意到 g (0)10

12、,所以当 a1 时 , 有 t1,合题意 ;t对称轴a0 当 0a1 时 ,g( t)图象开口向下,且 g (0)10,则需满足2( a 1),此时有0a2+2 2 ; a222( 舍去 ) 当 a1时, 又g(0)1, 方程恒有一个正根与一个负根. 综上可知 , a的取值范围是 2+22 1,) 10分题型四二次函数中的恒成立问题【例 4】已知函数 f ( x)x2ax1，使 f ( x) 0对任意的 x1,1 恒成立的 a 的取值范围。解法 1： ( 利用根的分布 ) 数形结合结合 f (x ) 的草图可得：a 240a 240a24或 a1或a得：2a2即a的取值范围是 : ( 2,2)

13、 。0212f ( 1)0f (1)0解法 2：转化为最值研究f (x )( xa ) 21a2241.1a2a2时,f ( x ) min1a22a2 ，所以2 a2 。1即0得若 a242.1即 a2时, f ( x) minf ( 1)2a 0得a2,与a2 矛盾。23.若 a1a2,则f (x )minf (1)2a0a2,与a2 矛盾。综上：a的取值范围是( 2,2)。2即时得解法 3：分离参数1.x0 时，不等式显然成立，即此时a 可为任意实数；2.x1,0)时， x 2ax10ax1 。因为 g(x )x1 在1,0) 上单调递减，所以xxag( x) maxg( 1)2；3.x

14、(0,1 时，x2ax10a x1。因为 g( x)x1在（01xx， ）上单调递减，所以ag( x) ming(1)2 。综上： a 的范围是： (2,2) 。【课堂练习4】1.当 x(1,2) 时，不等式 x2mx40 恒成立 . 则 m 的取值范围是.2. 已知 f ( x) x2 2ax 2( aR) ，当 x 1, ) 时， f ( x) a 恒成立，则 a 的取值范围是 _解析：解法一： f ( x) ( x a) 22 a2，此二次函数图象的对称轴为x a.当a ( ， 1) 时，(x) 在 1， ) 上单调递增，f(x) min( 1) 2 3. 要使f(x) a恒成立，ffa只需 f ( x) min a，即 2a3 a，解得 3 a0，4(2a)0或 a0， | a| 1恒成立的 x 的取值范围解：(1)将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式 ( x 3) a x2 6x 90. 令 f ( a) ( x 3) ax2 6x 9.因为 f ( a)0在 | a| 1时恒成立，所以若 x 3，则 f ( a) 0，不符合题意，应舍去若 x3，则由一次函数的单调性，可得f 10，即x2 7x 120，解得 x4.f1 025 60xx【课堂练习5】 1.（2014湘潭模拟）对于满足0 a4的实数