中线倍长法及截长补短经典讲义

1、中线倍长法及截长补短经典讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，AABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD 丄2(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。 它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角ZBAD和ZCAD集中于同一 个三角形中，以利于问题的获解。5方式3：CF丄AD于F,丄AD的延长线于EC 连接BE例3. AABC中，AB=5, AC=3,求中线AD的取值范圉例4、已知在ZABC中，AB=AC, D在A

2、B上，E在AC的延长线 上，DE 交 BC 于 F,且 DF=EF,求证：BD=CE课堂练习：已知CD=AB, ZBDA二ZBAD, AE是ZABD的中线, 求证：ZC=ZBAE 作业:D1.在四边形ABCD中，ABDC, E为BC边的中点，ZBAE=ZEAF, AF与DC的 延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、 论C2、已知：如图，ABC中，C=90, CMAB于M, AT平分 BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE3：已知在ZiABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE二AC,延长 BE交AC于F,求证：AF=EF（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了

3、角的平分线的 性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用而“截长补短法” 又是解决这一类问题的一种特姝方法，在无法进行直接证明的情形 下，利用此种方法常可使思路豁然开朗请看几例.例1已知，如图id,在四边形ABCD中，BCAB. AD=DC, BD平分ZABC.求证：ZBD+ZBCD=180 分析：因为平角等于180。,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化 成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角 形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直的延长线于点E,作DF丄BC于点只如图:BD 平分ZABC. :.DE=DF9在 Rt/ADE 与 Rt/CDF 中，D

4、E = DFAD = CD:.RtADE竺Rt/CDF(HLb :.上DAE二ZDCF.又ZBADZDAE=180 , A ZB/4D+ZDCF=180 ,即 ZB4D+ZBCD二 18(T 例2. 如图 21, AD/BC,点 F 在线段 上，ZADE二ZCDE、ZDCE二ZECB 求证：CD二AD+BC.证明：在CD上截取CQBC,如图2-2 在AFCE与ABCE中，CF = CBBE. :.ABWC=BE 即 DC二BFA3“E在 Rt/APE 与 Rt/CPD 中,PE=PDABD图牛14P+Z5CP=180o例4. 已知：如图 44,在 “ABC 中，Z C=2Z B, Z 1 =

5、Z 2. 求证：AB=ACCD分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转 化，即延长&C至F使CE=CD,或在上截取AF=AC.A证明：方法一(补短法) 延长 AC 到 E.使 DC=CE.则Z CDE=Z CED.2AZ4CB = 2Z E,VZ ACB = 2A B, AZ B=Z E,在厶ABD与中，Z1 = Z2 ZB = ZEAD=AD/. /XABDAED (AAS)，:.ab=ae. 又 AE=AC+CE=AC+DC. :.AB=ACWC.方法二(截长法)在AB 截取AF=AC.如图43在AFD与&CD中，AF = AC4CB=2Z B.；Z FDB = Z B、:.F

6、D=FB.9：AB=AFFB=AC+FD. :.AB=ACCD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进 行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮 助。作业:1、已知：如图，ABCD是正方形，Z FAD=A FAE.求证:BE+DF=AE.2、五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD. Z ABC+Z求证：AD 平分Z CDE（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例1、如图1：已知AD为ZiABC的中线，且Zl=Z2,Z3=Z4z求证：BE + CFEF

7、.2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 例：如图2： AD为AABC的中线，且Z1=Z2, Z3=Z4,求证：BE + CF EF.啓12M练习：已知ABC, AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4,求证EF = 2AD。3、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC=BD, AD丄AC于A, BC丄BD于B,求证：AD = BC4. 连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 7： ABCD, AD/BC 求证：AB=CDo5. 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8：在

8、 RtAABC 中，AB = AC, ZBAC = 90 ,延长于E o求证：BD = 2CE6、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9； AC、BD相交于O点，且AB = DC,Z1=Z2, CE丄BD 的ZD.8、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10： AB = DC, ZA=ZD 求证：ZABC=ZDCB.图IO截长补短专题训练作业：1、如图，等腰梯形ABCD中，ADII BC, AB=DC, E为AD中点，连接BE, CE(1)求证：BE=CE；(2)若ZBEU90。，过点B作BF丄CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG, 求证：BG=DG+CD82.如图，口ABCD中

9、，E是BC边的中点，连接AG F为CD边上一点，且满足Z DFA=2乙 BAE.(1) 若Z D=105, Z DAF=35.求Z FAE 的度数;(2) 求证：AF=CD+CF.3、如图，直角梯形 ABCD 中，ADII BC, Z B=90, Z D=45(1) 若 AB=6cm, sinZBCA=-* 求梯形 ABCD 的面积；5(2) 若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA 一点，且满足EF=GH, Z EFH=Z FHG,求证：HD=BE+BF.4、如图，梯形ABCD中，ADII BC,点E在BC上, AE二BE,且AF丄AB,连接EF(1) 若 EF丄AF,

10、AF=4, AB=6,求 AE 的长.(2) 若点F是CD的中点，求证：CE二BEAD.G5在口ABCD中，对角线丄BC, G为3D延长线上一点且AABG为等边三角 形，ABAD. ZCBD的平分线相交于点E,连接交BD于F,连接GE.(1) 若DABCD的面积为9血，求AG的长；(2) 求证：AE = BE + GEDB6已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线点P为矩形外一点且满 AP = PC, AP丄PC. PC交AD于点、N ,连接DP,过点P作PM丄PZ烽 AD于M(1) : AP = y/5.AB = -BC ,求矩形 A3CD的面秘3(2) :若CD = PM ,求证：AC = AP+PN7、如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接QP,过点B作BE丄DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF丄AE交QP于点F , 连接B24题图