中考复习方程与不等式专题含答案详解

1、方程与不等式专题。一选择题（共 12 小题）1 使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（）A.- 1 B . 2 C. - 7 D . 02 .若关于x的一元二次方程kx2- 6x+9=0有两个不相等的实数根，则 k的取值 范围（ ）A. kv 1 且 k 工 0 B. kM 0C. kv 1 D. k 13 不论 x， y 取何实数，代数式 x2- 4x+y2- 6y+13 总是（）A 非实数 B 正数C 负数D 非正数4 .关于x的分式方程-=1有增根，则m的值为（）A 1 B 4 C 2D 05.有一个底面半径为10cm高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水

2、倒入一 个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A6cm B8cm C10cmD12cm6某商店出售两件衣服，每件卖了 200 元，其中一件赚了 25%，而另一件赔了 20%，那么商店在这次交易中（）A.赚了 10元 B.亏了 10元 C.赚了 20元 D.亏了 20元7 已知关于 x 的方程 x- =- 1 的解是正整数，则符合条件的所有整数 a 的积是（）A 12 B 36 C - 4 D -128.方程|2x - 1| - a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）A - 1vav0 B - 1vav1 C 0vav1 D vav19 按国家 2011 年 9

3、 月 1 日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金） 中，扣除国家规定的免税部分 3500 元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳 税所得额不超过 1500元的税率为 3%，超过 1500元至 4500元部分的税率为 10%， 若小明妈妈某月缴了 145 元的个人所得税，则她的月工资是（）A 6000元 B 5500元 C 2500元 D 2000元10分式方程=无解，则m的值为（）A. 2 B. 1C. 1 或 2 D. 0 或 211 若关于x的分式方程有增根，贝U k的值是（）A.- 1 B . - 2 C . 2 D. 112. 已知关于x的不等式组有五个整数解，m的取值范围是（

4、）A.- 4 m- 3B.- 8 m- 6C. 4v m 6 D. 4 m 6二. 填空题（共10小题）13. 已知点P （x, y）位于第二象限，并且y 2x+6, x、y为整数，则点P的个数是.14. 若不等式组无解，则m的取值范围是.15. 敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军 以7千米/小时的速度追击 小时后可追上敌军.16. 已知m n是关于x的一元二次方程x2- 3x+a=0的两个解，若（m- 1） （n-1） =-6,则a的值为.17. 已知x, y均为实数，且满足关系式x2- 2x- 6=0, y2 - 2y- 6=0,则=.18. 若不等式组无

5、解，则m的取值范围是.19. 一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火车从上桥到离开需要 秒.20. 若实数 a, b 满足（a2+b2） （a2+b2 - 8） +16=0,则 a2+b2=.21. 方程=x- 1的根为.22 .要使关于x的方程有唯一的解，那么 m.三. 解答题（共6小题）23 .已知方程组的解x、y满足x+ym- 2，解得m 1， 由得 x=，分式方程有非负整数解， x=是非负整数，/ n 0,即（6） 2-4X 9k 0,解得，k v 1,为一兀二次方程，-kM 0, kv 1 且 kmo.故选 A【点评】本题考查了根的判别式和

6、一元二次方程的定义，要知道：( 0?方程有两个不相等的实数根；(2) =0?方程有两个相等的实数根；(3)Av 0?方程没有实数根.3.不论 x, y 取何实数,代数式 x2- 4x+y2- 6y+13 总是()A.非实数 B.正数C负数D.非正数【分析】 先根据完全平方公式进行配方得到 x2+y2+4x - 6y+14=( x+2) 2+( y- 3) 2+1,然后根据非负数的性质进行证明.2 2 2 2【解答】 解： x2- 4x+y2- 6y+13=x2- 4x+4+y2- 6y+9=( x- 2) 2+( y- 3) 2,( x+2) 20, (y - 3) 20, ( X+2) ?+

7、 ( y 3)彳0,不论 x、y 取何值,代数式 x2- 4x+y2- 6y+13 的值总是非负数,故选 A.【点评】 本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式 a22ab+b2=( a b) 2；配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1,然后在方程两 边同时加上一次项系数一半的平方. .关于x的分式方程-=1有增根，则m的值为()A. 1 B. 4C. 2 D. 0【分析】 根据分式方程的解法即可求出答案.【解答】 解：将分式方程- =1 两边同乘( x- 1),得 m- 2 - 2x=x - 1.若原分式方程有增根， 则必有 x=1 ，将 x=1 代入 m- 2- 2x=

8、x- 1 ，得 m=4.故选( B)【点评】本题考查分式方程的解法， 解题的关键是熟练运用分式方程的解法， 本 题属于基础题型.5. 有一个底面半径为10cm高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为()A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm【分析】 通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积 =12个小杯的体积， 再利用圆柱体的体积公式列方程求解.【解答】 解：设小杯的高为 x，22根据题意得：nX 10 X 30=nX( 10 十 2) ?xX 12解得： x=10则小杯的高为 10cm.故选 C.【

9、点评】解题关键是要读懂题目的意思， 根据题目给出的条件， 找出合适的等量 关系，列出方程，再求解.6. 某商店出售两件衣服，每件卖了 200 元，其中一件赚了 25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中()A.赚了 10元 B.亏了 10元 C.赚了 20元 D.亏了 20元【分析】设第一件衣服的进价为x元，第二件的进价为y元，根据售价-成本= 利润，即可得出关于x (y)的一元一次方程，解之即可求出 x (y)的值，再将 其代入 400- x- y 中即可得出结论【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，第二件的进价为y元，根据题意得：200 - x=25%x 200 - y=- 20%y

10、解得： x=160，y=250，二 400 - x - y=400- 160 - 250=- 10 (元). 答：商店在这次交易中亏了 10 元故选 B.【点评】本题考查了一元一次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元一次方 程是解题的关键.7. 已知关于 x 的方程 x- =- 1 的解是正整数，则符合条件的所有整数 a 的积是 ()A. 12 B. 36 C.- 4 D.- 12【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程， 根据题意求出 a 的值，计算 即可.【解答】 解： x- =- 1 去分母， 6x- 4+ax=2x+8- 6 移项、合并同类项， ( 4+a) x=6，x=，由

11、题意得， a=- 3、- 2、- 1 、 2， 则符合条件的所有整数 a 的积是- 12， 故选： D.【点评】本题考查的是一元一次方程的解法， 掌握解一元一次方程的一般步骤是 解题的关键.8 .方程|2x - 1| - a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是()A.- 1 v av 0 B.- 1 v av 1 C. 0v av 1 D. v av 1【分析】由方程|2x - 1| - a=0恰有两个正数解，即可得不等式组，解此不等式 组即可求得答案【解答】解：方程|2x - 1| - a=0恰有两个正数解，解得：Ov av 1.故选 C【点评】 此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方

12、法.此题难度较大， 解题的关键是根据题意得到不等式组： .9. 按国家 2O11 年 9 月 1 日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金） 中，扣除国家规定的免税部分 35OO 元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳 税所得额不超过1500元的税率为3%超过1500元至4500元部分的税率为10% 若小明妈妈某月缴了 145 元的个人所得税，则她的月工资是（ ）A. 6000元 B. 5500元 C. 2500元 D. 2000元【分析】设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x - 3500）元， 由税率X税额二税金，建立方程求出其解即可.【解答】 解：设小明妈妈某月工资为

13、x 元，则应缴个人所得税额为（ x- 3500） 元，由题意，得3%X 1500+10%（ x- 3500- 1500） =145，解得： x=6000.答：小明妈妈的月工资是 6000元.故选 A.【点评】本题考查了一元一次方程的应用，税率X税额 =税金的运用，分段计费 的计算方法的运用，解答时根据应缴个人所得税 145元建立方程是难点.10. 分式方程=无解，则m的值为（）A. 2 B. 1 C. 1 或 2 D. 0 或 2【分析】 先把分式方程化为整式方程得到（ 1-m） x=- 1，由于关于 x 的分式方 程 =无解，讨论： x=1 或方程（ 1 - m） x=- 1 无解，当 x=

14、1 时，（ 1 - m）X 1=- 1 ， 解得m=2当方程（1 - m） x=- 1无解，1 - m=0解得m=1.【解答】 解：把分式方程化为整式方程得到（ 1- m） x=- 1，关于x的分式方程=无解， x=1或或方程（1 - m） x= - 1无解，当x=1时，（1 - m x仁-1,解得m=2 当方程（1 - m x=- 1无解，1 - m=0解得m=1.二 m=1 或 2,故选： C【点评】本题考查了分式方程的解： 使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分 式方程的解也考查了分类讨论的思想11 若关于 x 的分式方程有增根，则 k 的值是（ ）A- 1 B - 2 C2 D1【分析

15、】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根 所以应先确定增根 的可能值，让最简公分母（x - 5） =0,得到x=5，然后代入化为整式方程的方程 算出 k 的值【解答】 解：方程两边都乘（ x- 5），得 x- 6+x- 5=- k，原方程有增根，二最简公分母（X- 5） =0，解得 x=5，当 x=5 时， k=1 故选： D【点评】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： 让最简公分母为 0 确定增根； 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值12. 已知关于x的不等式组有五个整数解，m的取值范围是（）A.- 4 m- 3B.- 8 m- 6C. 4

16、v m 6 D. 4 m,解得：x 7,则不等式组的解集是：v x 7.不等式组有五个整数解，则一定是 7, 6, 5, 4, 3,则 2WV 3.解得：则4W mv 6,故选：D.【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.二.填空题(共10小题)13. 已知点P (x, y)位于第二象限，并且y0,又T y w2x+6,. 2x+60,即 x 3,所以3v xv 0, x= - 1 或2,当 x= - 1 时 Ovyw4, y=1, 2, 3, 4;当 x=- 2 时，yw2,即 y=1 或 2;综上所

17、述，点 P 为：(-1, 1), (- 1, 2) (- 1, 3) , (- 1, 4) , (- 2 , 1),(2 , 2)共6个点.【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点， 并会根据未知 数的范围确定它所满足的特殊条件的值.一般方法是先解不等式组，再根据解集 求特殊值.14. 若不等式组无解，则 m的取值范围是 mv .【分析】先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找 不到的情况，由此即可求出答案.【解答】解：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以 mv.【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集， 求不等式组中的字母的 值，同样也是利用口

18、诀求解.注意：当符号方向不同，数字相同时(如：xa, xva),没有交集也是无解.求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不 到(无解).15. 敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军 以7千米/小时的速度追击 6小时后可追上敌军.【分析】设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军；等量关系为： 我军的路程=敌军路程+ 敌我两军相距14千米；可列出方程，解可得答案.【解答】解：设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军.根据题意得：7x=4 (1+x) +14，解得：x=6.【点评】注意追及问题中的等量关系，不要忘记加上原来

19、相距的距离.16. 已知m n是关于x的一元二次方程x2- 3x+a=0的两个解，若(m- 1) (n- 1) =-6,则a的值为 -4.【分析】由m n是关于x的一元二次方程x2 - 3x+a=0的两个解，得出m+n=3 mn=a整理(m- 1) (n- 1) =- 6，整体代入求得a的数值即可.【解答】解： m n是关于x的一元二次方程x2- 3x+a=0的两个解，二 m+n=3 mn=a( m- 1) (n- 1) =- 6， mn-( m+r) +1 = - 6即 a-3+1 = - 6解得a= - 4.故答案为：-4.【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 0)的根

20、与系数的关系：若方程的两根为 X1, X2，贝U X1+X2=-，X1?X2=.17. 已知x, y均为实数，且满足关系式x2- 2x- 6=0, y2 - 2y- 6=0,则=-或2 .【分析】当x=y时，容易求解；当 x 工 y 时，由关系式 x2- 2x - 6=0, y2 - 2y- 6=0,可知 x、y 是 z2- 2z - 6=0 的 两根，由根与系数的关系，求出x+y与xy的值，再根据=，代入即可求值.【解答】解：当xmy时，I x、y 满足关系式 x2- 2x- 6=0, y2 - 2y- 6=0,二 x、y 是 z2- 2z - 6=0 的两根， x+y=2, xy= - 6

21、, =.当x, y的值相等时，原式=2.故答案为：-或2.【点评】本题容易忽视的情况是x, y可能是同一个值这一个情况.18. 若不等式组无解，则 m的取值范围是 m 8.【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分，可利用数轴进行求 解.【解答】解: xv 8在数轴上表示点8左边的部分，x m表示点m右边的部分.当 点m在8这点或这点的右边时，两个不等式没有公共部分，即不等式组无解.则 m 8.故答案为：m 8.【点评】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值，利用数轴能直观的得到， 易于理解.19. 一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火

22、车从上桥到离开需要75秒.【分析】从火车从上桥到离开的路程：桥长+车身=1200+300=1500米，然后根据 时间=路程十速度列式可得结论.【解答】解：设火车从上桥到离开需要x秒，则 20x=1200+300,x=75 （秒）,则火车从上桥到离开需要75秒.故答案为：75.【点评】本题考查一元一次方程的应用， 解题的关键是明确题意，列出相应的方程.20. 若实数 a，b 满足（a2+b2）（ a2+b2 - 8） +16=0,则 a2+b2= 4 .【分析】把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使形式复杂的方 程变成一元二次方程，从而达到降次的目的.【解答】解：令a2+b2=x，则

23、原方程可化为：x （x - 8） +16=0,2 x - 8x+16=0,即（x - 4） 2=0, x- 4=0,解得x=4,即 a2+b2=4,故答案为：4.【点评】本题考查了换元法解一元二次方程， 换元的实质是转化，关键是构造元 和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识 背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理.21. 方程=x- 1的根为 4.【分析】首先根据二次根式的基本性质得出 x的取值范围，将无理方程两边平方 取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围 验算即可得出答案.【解答】解：由二次根式性质得：x+5 0 且

24、 x - 1 0, x 1.将=x- 1两边平方得：x+5=x2 - 2x+1,整理得：x2 - 3x - 4=0,分解因式：（x- 4） （x+1） =0,得: xi=4, X2=- 1,/ x 1, x=4.故答案为：4.【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质， 求解无理方程常用的方 法是平方法，不过求出的解一定要带回无理方程进行验算， 看是否符合二次根式 的性质.22. 要使关于x的方程有唯一的解，那么 m 3 .【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得方程的解，根据方程有唯一解，可得 答案.【解答】解：方程两边都乘以（x-3）,得x - 2 （x - 3） =mx=6 - m分

25、式方程有唯一解，6 - m- 3工0，m 3，故答案为：3.【点评】本题考查了分式方程的解，注意分式方程有解的条件是分母不能为零.三.解答题（共6小题）23. 已知方程组的解x、y满足x+yv 1，且m为正数，求m的取值范围.【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+yv 1,且m为正数，可得答案.【解答】解：X 2-，得3x=1+7mx=,把乂=代入得+y=1+3n,y=，/ x+yv 1,m m 0, 0.【点评】本题考查了二元一次方程组的解， 先求出二元一次方程组的解， 再求出 m的取值范围.24. 一件夹克衫先按成本提高 50%标价，再以 8 折(标价的 80%)出售，结果获 利

26、28 元，求这件夹克衫的成本是多少元【分析】设这件夹克的成本是x元，则标价就为元，售价就为x元，由利润 =售 价-进价建立方程求出其解即可.【解答】 解：设这件夹克的成本是 x 元，由题意，得x (1+50% x 80%- x=28,解得： x=140.答：这件夹克的成本是 140元.【点评】 本题考查了销售问题的数量关系利润 =售价-进价的运用，列一元一次 方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键.25. 如图，在 Rt ACB中，/ C=9C , BC=6m AC=8m 点 P、Q同时由 A B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm

27、/s,点Q 移动的速度是10cm/s，几秒后厶PCC的面积为Rt ACB面积的【分析】设运动时间为t秒，表示出PC QC再根据三角形的面积公式列出方 程，然后根据一元二次方程的解法求解即可.【解答】 解：设运动时间为 t 秒，则 PC=8-， QC=6-，由题意得，( 8-)( 6-) =xx 6x 8，整理得，t2 100t+900=0,解得 t 1=10， t 2=90(舍去)，答：10秒后 PCQ的面积为Rt ACB0积的.【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目信息，准确表示出PC、QC是解题的关键，注意单位要统一.26. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a,而得解

28、为，乙看错了方程组中的b,而得解为，根据上面的信息解答：(1) 甲把a看成了什么，乙把b看成了什么( 2)求出原方程组的正确解.【分析】(1)把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；(2) 把甲乙所求的解分别代入方程和，求出正确的a、b，然后用适当的方 法解方程组.【解答】 解：(1)把代入方程组得，把代入方程组得，.所以甲把a看成了 1,乙把b看成了 3.(2)v 正确的 a= 1， b=5，,解得：.【点评】此题考查了二元一次方程组的解， 解决本题的关键是明确方程组的解即 为能使方程左右两边相等的未知数的值.27. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1,记为i2=- 1，这个数i

29、叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 a+bi (a， b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部.如果只把 i 当成代数， 则 i 将符合一切实数运算规则， 但要根据式变通来简便 运算.(不要把复数当成高等数学， 它只是一个小学就学过的代数而已！ 它的加， 减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似. )例题 1 ： i 3=i 2?i= 1?i= i ；i 4=i 3?i= i?i= i 2=( 1 ) =1例题 2： (2+i) + (3 4i ) = (2+3) + (1 4) i=5 3i (5+i )x( 3 4i ) =15-20i+3i - 4i

30、2=15 - 17i+4=19 - 17i同样我们也可以化简=2i也可以解方程x2=- 1,解为xi=i , X2=- i .读完这段文字，请你解答以下问题：(1) 填空：i 5=i_，i 6=- 1；(2) 计算:(2+i) 2;(3) 在复数范围内解方程：x2- x+仁0.【分析】(1)根据同底数幕的乘法法则、i2=- 1计算；(2) 利用完全平方公式把原式展开，根据i 2=- 1计算即可；(3) 利用公式法解出方程，根据i2=- 1得到方程的解.【解答】解：(1) i 5= (i2) 2?i=i ，i 6= (i2) 3= (- 1) 3=- 1，故答案为：i ;- 1;2 2(2) (2+i) =i +4i+4= - 1+4i+4=3+4i ;2(3) x - x+1=0,x=，X1=， X2=.【点评】本题考查的是虚数单位的定义、完全平方公式以及一元二次方程的解法， 掌握i 2=-1、公式法解一