D672二重积分的计算PPT学习教案

1、会计学1D672二重积分的计算二重积分的计算ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱体的底为DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 二重积分二次积分(累次积分)曲顶柱体体积也可按如下计算第1页/共42页在D上连续, ),(yxf设被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd则O)(1xy)(2xyxbyDaxD称为 X - 型区域： 过D内部且平行于y轴的直线与D的边界最多交于两点。 O)(1xy)(2xyxbyaD积分区域D为

2、第2页/共42页Oy)(1yx)(2yxxdc在D上连续, ),(yxf当被积函数积分区域D为dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则D为 Y - 型区域： 过D内部且平行于x轴的直线与D的边界最多交于两点。 yOy)(2yxxdc)(1yx第3页/共42页xyDODyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y -

3、型区域 ,(1) 二重积分要根据积分区域的特点，来计算。化为两次积分第4页/共42页xyO(3) 若积分域较复杂,2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD则 (4) 设如果 dygxfD)()(分别在 a, b 和 c, d 上可积，,| ),(dycbxayxD)()(ygxf和则 )()(ygxf在 D上可积，且badxxf)(dcdyyg)(可将它分成若干第5页/共42页,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 例例2. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy2所围成的闭区域. 2 xy及直线第6页/共42页21d y,dDyxI其中D 是直线 y

4、1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X - 型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy1212xy xyO第7页/共42页,dDyx其中D 是抛物线xy2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便,将D看作Y - 型区域:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214Oyxy22yx

5、y21y2y2y2 xy及直线则 第8页/共42页,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.解解:因此取D 为X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cos x20dsinxxxx说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.00dsindyxxxxxxxyydsind0因为取D 为Y - 型域 无法计算， OxyDxxy 第9页/共42页xy 1例例 1 1 改变积分改变积分 xdyyxfdx1010),(的次序的次序. 原式原式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图 例例4.第10页/共42页xy

6、 222xxy 例例 2 2 改变积分改变积分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序的次序. 解解积分区域如图积分区域如图 例例5.),(211102 yydxyxfdy原式原式第11页/共42页例例5 5 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积分时必须考虑次序积分时必须考虑次序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例6.第12页/共42页

7、 P266 31(3)(4)(6)(7)(8)；32(3)(4)(5)；第二节 第13页/共42页Ox以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。r用射线，及同心圆分划区域D。rr假设从极点O出发的直线与区域D的边界至多交于两点。rrrO221r221)(rrrr小区域的面积为221rrr三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分第14页/共42页rrrrf)sin,cos(lim0),(lim0yxfDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(drrddrdO即极坐标下的面积元素为.ddrrdsin,cosryrx对应有在),(r内取点于是根据二重积分的定义，有第15页/共42页当被积

8、函数用极坐标变量表示简单。, r考虑用极坐标计算二重积分：例如： 被积函数含有x2 +y2 项，积分区域D为 圆域，环域，扇形区域。圆域，环域，扇形区域。积分区域D 的边界用极坐标表示更方便；Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(第16页/共42页D)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d对)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf)(1r)(2rOxDdD)(rO2. 二重积分的极坐标计算二重积分的极坐标计算第17页/共42页)(rDOx对20)(0:rDDrr

9、rrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd)(020drrd与定积分计算面积一致.第18页/共42页例例1 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试解解: .0问 r, 的变化范围是什么?(1)(2)22)(rDyxO)(rDyxO)(0 r(1):D)(0 r:D(2)第19页/共42页cos2rx1O解解: 积分域如图rIxyx222围成，则Ddxdyyxf)(22在极坐标下的二次积分？22dcos20)(rdrrf第20页/共42页,1d22Dyx其中区域 D 是由, 122 yx解解: 在极坐标

10、系下2010:rD原式=rrrd1110210212r) 12(220d故围成的。0, 0yxD第21页/共42页,dde22Dyxyx其中).0(:222aayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2erddrr20d由于故坐标计算.xaOy第22页/共42页利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式0de2xx222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxyxayxyxaddelim22222)e1 (lim2aa222Rddeyxyx又2yxayxyxdd

11、e22222)e1 (2a解一：解一： 第23页/共42页解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显然有显然有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2例例 8 8 求广义积分求广义积分 02dxex. 解二解二： 第24页/共42页又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(

12、422Re 1D2DSS1D2DRR2yxayxyxdde22222)e1 (2a第25页/共42页当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 1D2DSS1D2DRR2第26页/共42页1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所以圆方程为所以圆方程为 1 r, , 直线方程为直线方程为 cossin1 r, , Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd Drdrdrrf )

13、sin,cos(例例 2 2 写出积分写出积分 Ddxdyyxf),( 的极坐标二次积分形式，的极坐标二次积分形式， 其中其中 ,11| ),(2xyxyxD 10 x. . 例例5. 第27页/共42页(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O第28页/共4

14、2页)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrfddrrD)(1r)(2rOx第29页/共42页xyO),(yxf设),(),(yxfyxf),(),(yxfyxfd),(Dyxf, 01D,d),(21Dyxf在有界闭区域D上连续,(1) 域域D 关于x 轴对称,D二重积分关于对称性的应二重积分关于对称性的应用用的奇偶函数为yyxf),(),(),(yxfyxf),(),(yxfyxfd),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf(2) 域域D 关于y 轴对称,的奇偶函数为xyxf),(.0|),(1yDyxD.0|),(1

15、xDyxD第30页/共42页),(),(yxfyxf),(),(yxfyxfd),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf(3) 域域D 关于原点原点对称,的奇偶函数同时为yxyxf,),(.0|),(1yDyxD或,0|),(1xDyxD在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0D1D第31页/共42页D(4) 域域D 关于 y=x 对称，则),(),(xyfyxf),(),(xyfyxfd),(Dyxf, 0,d),(21Dyxf,),( | ),(1xyDyxyxD1D第32页/共42页,dd)1ln(2yx

16、yyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224第33页/共42页 P267 32(3)(4)(5)； 33(1)(3)(5)；第二节 下节课习题课，做课后习题下节课习题课，做课后习题(A)(B);复习第五、六章内容，复习第五、六章内容，5月月8日日(周周3)进行期中考试。进行期中考试。第34页/共42页xyzO其上下顶面分别是曲面),(1yxfz ),(2yx

17、fz ),(2yxfz ),(1yxfz 则该立方体的体积等于区域D上以曲面),(2yxfz 为顶的曲顶柱体积D上以曲面减去区域D),(1yxfz 为顶的曲顶柱体积。即12VVVDdyxf),(2Ddyxf),(1Ddyxfyxf),(),(12交线投影根据二重积分的几何意义，我们可以利用二重积分计算立体体积。 如图，空间内一立方体。第35页/共42页DdyxfyxfV),(),(12xyzO),(1yxfz ),(2yxfz D关键：关键： 分析得到积分区域分析得到积分区域 D 的表达式的表达式积分区域D是由两个曲面交线在xOy面上的投影曲线所围成。曲面交线：,),(),(21yxfzyxf

18、z在xOy面上的投影曲线：00),(),(12zyxfyxf第36页/共42页224yxz例例 求曲面和所围成的有界体的体积。解：解：两旋转抛物面的交线为,42222yxzyxz其在xOy面上的投影为,042222zyxyx22yxzxyz所以在xOy面上积分区域, 2:22 yxD用极坐标表示为,2020:rD222 yx即xOy面上的圆,222 yx第37页/共42页dyxfyxfVD),(),(12224yxz22yxz,2020:rDdyxyxD)(4222220202)24(rdrrd220324drrr2042)212(2rr 4xyz2第38页/共42页22224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2ar xyza2Ocos2ar 圆的极坐标