能带理论(3)(紧束缚近似)

1、 各种能带计算方法基本上可分为各种能带计算方法基本上可分为 * 对晶体势场对晶体势场V(r)的不同近似的不同近似 * 对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取 根据不同的研究对象、根据计算条件作取舍根据不同的研究对象、根据计算条件作取舍 能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可分成两大类：分成两大类： * 紧束缚近似紧束缚近似 * 近自由电子近似近自由电子近似 两类近似的物理思想不同两类近似的物理思想不同能带计算方法物理思想能带计算方法物理思想近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似近自由电子近似认为晶体电子仅受晶体

2、势场认为晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，只是微扰。因此其晶体电子行很弱的作用，只是微扰。因此其晶体电子行为与空晶格模型为与空晶格模型(自由电子自由电子)相差不大，可以用相差不大，可以用自由电子波函数自由电子波函数(平面波平面波)的线形组合来构成晶的线形组合来构成晶体电子波函数。体电子波函数。紧束缚近似紧束缚近似紧束缚近似紧束缚近似认为晶体电子好象孤立原子的电认为晶体电子好象孤立原子的电子一样紧紧束缚在该原子周围，与其周围的子一样紧紧束缚在该原子周围，与其周围的束缚在其他原子上的电子仅有很小的相互作束缚在其他原子上的电子仅有很小的相互作用，因此，可以用孤立原子的电子波函数构用，因此，可以用孤立原

3、子的电子波函数构成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的相成晶体波函数，并且只考虑与紧邻原子的相互作用互作用comments 晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾？共有化在晶体电子共有化与紧束缚思想矛盾？共有化在紧束缚态近似紧束缚态近似方法中如何体现？方法中如何体现？ 紧束缚态近似紧束缚态近似用局域波函数和周期性的相因子用局域波函数和周期性的相因子来构成满足来构成满足Bloch函数的基函数函数的基函数 近自由电子用平面波基函数是自然的，因为平近自由电子用平面波基函数是自然的，因为平面波本身就是非局域的，本身就是调幅为常数面波本身就是非局域的，本身就是调幅为常数的的Bloch函数！函数！紧束缚态近似紧束缚

4、态近似原子轨道线性组合法原子轨道线性组合法电子在一个原子附近运动时，将主要受到该原子场的作用，把其他原子场的作用看成微扰，这就是紧束缚态近似。如果完全不考虑原子之间的相互作用，设某格点如果完全不考虑原子之间的相互作用，设某格点332211amamamRm在该格点附近运动的电子以原子束缚态在该格点附近运动的电子以原子束缚态)(miRr 的形式环绕的形式环绕Rm运动。运动。 i 表示孤立原子的波动方程的本征态，表示孤立原子的波动方程的本征态，V(r-Rm)为Rm格点的原子势场，i 为原子能级。晶体中电子运动的波动方程为)()()(222rErrUmU(r)为周期势场，它是各格点原子势场之和。)()

5、()(222miimimRrRrRrVm（1）在紧束缚态近似中，方程（1）看成0级近似，把)()(mRrVrU看成微扰。把孤立原子的势场看成零级近似，而原子间相互作用看成微扰，这种微扰是N重简并微扰，微扰后的状态是N个简并态的线性组合。mmimRrar)()(代入晶体运动方程，得)()()(mimmimRrRrVrUammimRraE)(可以近似认为nmnimidrRrRr)()(*积分得到左乘， )(*miRr drRrRrVrURramimmini)()()()(*nEammimmimdrRrRrVrURra)()()()(*niaE)(引入变量mRr 考虑到U(r)为周期函数，即)()(

6、mRrUrU上面方程中的积分式变为)()()()()(*mnimniRRJdVURRmnimnmaERRJa)()(令mRikmCea.代入上面方程sRiksmRRikmnisnmeRJeRRJE.).()()(在紧束缚态近似下，在紧束缚态近似下，近邻ssRRiksieRJJkE.0)()( N个相同孤立个相同孤立原子的分裂能原子的分裂能级，级，N重简并重简并 原子靠近形成原子靠近形成晶体，简并能晶体，简并能级相互作用，级相互作用，分裂形成能带分裂形成能带 能带图上，能带图上，不同的不同的N个个k的能级形成的能级形成能带能带分裂的原子能级过渡成能带分裂的原子能级过渡成能带comments 带宽

7、取决于带宽取决于J，J积分取决于波函数交叠的多少积分取决于波函数交叠的多少 波函数交叠？波函数分布形状？波函数交叠？波函数分布形状？ 内层电子分布区域大还是小？组成晶体后，能带宽内层电子分布区域大还是小？组成晶体后，能带宽还是窄？相同原子层的相互作用大还是小？还是窄？相同原子层的相互作用大还是小？ 这种近似成立的条件是微扰的作用远小于能级差，这种近似成立的条件是微扰的作用远小于能级差，能带宽度可以大致反映原子态之间相互作用的强弱能带宽度可以大致反映原子态之间相互作用的强弱 例：简单立方例：简单立方s电子的紧束缚能带电子的紧束缚能带 对处于原点的原子，有六个最对处于原点的原子，有六个最近邻：近邻：) ,0 ,0( ), ,0 ,0( ),0 , ,0( ),0 , ,0( ),0 ,0 ,( ),0 ,0 ,(aaaaaaRaikaikaikaikaikaikRRikzzyyxxsseeeeeee最近 邻akakakJJkEzyxscoscoscos2)(10akakakzyxcoscoscos2 能带的最大值在能带的最大值在，1 , 1 , 1ak 能带宽度为能带宽