随机事件的概念

1、下下回回停停第一节第一节 随机事件的概念随机事件的概念一、概率论的诞生及应用一、概率论的诞生及应用三、三、随机试验随机试验五、五、随机事件的概念随机事件的概念二、二、随机现象随机现象 四、四、样本空间样本空间 样本点样本点一、概率论一、概率论( Probability)的诞生及应用的诞生及应用1. 概率论的诞生和发展历史概率论的诞生和发展历史“现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢现有两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 s 局就算局就算概率论是一门研究随机现象规律的数学分支概率论是一门研究随机现象规律的数学分支.其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保

2、险等范畴中，需要整理和研究大量的随机人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料数据资料, 这就孕育出一种专门研究大量随机现这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学象的规律性的数学. 但当时刺激数学家们首先思但当时刺激数学家们首先思法国数学家帕斯卡向数学家费马提出下列的问题：法国数学家帕斯卡向数学家费马提出下列的问题：考概率论的问题考概率论的问题,却是来自赌博者的问题却是来自赌博者的问题. 1654年年,并由此奠定了古典概率论的基础并由此奠定了古典概率论的基础. 赢了赢了, 当赌徒当赌徒A赢赢a局局(a s), 而赌徒而赌徒B赢赢b局局(b s)时时, 赌博中止赌博中止, 那赌本

3、应怎样分才合理呢那赌本应怎样分才合理呢?”两人一起对此进行了深入探讨两人一起对此进行了深入探讨, 最后他们从不同最后他们从不同后后, 即即1657年年, 荷兰数学家惠根斯亦用自己的荷兰数学家惠根斯亦用自己的方法解决了这一问题方法解决了这一问题, 更写成了更写成了论赌博中的论赌博中的计算计算一书一书, 这就是概率论最早的论著这就是概率论最早的论著, 他们三他们三人提出的解法中人提出的解法中,都首先涉及了都首先涉及了数学期望数学期望(mathematical expectation)这一概念，这一概念，的理由出发的理由出发, 各自给出了正确的解法。而在三年各自给出了正确的解法。而在三年在他们之后，

4、对概率论这一学科做出贡献的是在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族瑞士数学家族贝努利家族。贝努利家族。 雅可布雅可布贝努贝努利花了利花了20年的时光年的时光,将全部心血倾注到数学研将全部心血倾注到数学研究之中，终于将究之中，终于将“大数定律大数定律”这个定理证实。这个定理证实。19世纪，法国数学家拉普拉斯将古典概率论向世纪，法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他于近代概率论进行推进，他于1812年出版了著作年出版了著作分析的概率理论分析的概率理论，这是一部继往开来的作，这是一部继往开来的作品，使得概率论在品，使得概率论在20世纪迅速发展起来。世纪迅速发展起来。20

5、世纪初世纪初,苏联数学家柯尔莫哥洛夫苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他年在他的的概率论基础概率论基础一书中首次给出了概率的一一书中首次给出了概率的一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。2. 概率论的应用概率论的应用现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。或缺

6、的作用。 比如，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙比如，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视不开概率论与数理统计；电子技术发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。理统计也是密不可分的。根据概率论中用投针试验估计根据概率论中用投针试验估计值的思想产生值的思想产生的蒙特卡罗方法，是一种建立在概率论与数理的蒙特卡罗方法，是一种建立在概

7、率论与数理统计基础上的计算方法。借助于计算机，使这统计基础上的计算方法。借助于计算机，使这种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、种方法在核物理、表面物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。 概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展。展而得到发展。 在一定条件下可以准确预言结果的现象称为在一定条件下可以准确预言结果的现象称为确定性现象确定性现象. .又称必然现象又称必然现象. . “在一个标准大气压下

8、在一个标准大气压下100度的水必定沸腾度的水必定沸腾 ”;1.确定性现象确定性现象 “恒定外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然恒定外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然作匀速直线运动作匀速直线运动”;“没有外力作用下，没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落向上抛一颗石子必然下落 ”;实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: : 确定性现象确定性现象, , 随机现象随机现象.二、随机现象二、随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等. 在基本条件完全相同的情况下，可能发生也在基本条件完全相同的情况下，可能发生也可能不发生的可能不发生的现象现象称为称为随机现象随机

9、现象.2. 随机现象随机现象 确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.结果有可能结果有可能出现正面（数字面）出现正面（数字面）也可能也可能出现反面出现反面.通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律把握它们之间的数量规律.结果有可能为结果有可能为:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”.

10、实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”. 实例实例2 “在相同条件下生产同一种零件，观察在相同条件下生产同一种零件，观察它们的尺寸它们的尺寸”.结果结果: “它们的尺寸总会有一点差异它们的尺寸总会有一点差异 ”.实例实例4 “从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品”.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 “过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯”.实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命” 可长可短可长可短.个别随机现象：个别随机现象：

11、原则上不能在相同条件下重原则上不能在相同条件下重 复出现（例复出现（例6）.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.3. 随机现象的分类随机现象的分类大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现 （例（例1-5）.2随机现象从表面上看，似乎杂乱无章随机现象从表面上看，似乎杂乱无章, 没有没有规律规律. 但实践证明但实践证明, 如果同类的随机现象大量如果同类的随机现象大量重重复出现复出现, 它的结果就呈现出一定的规律性它的结果就呈现出一定的规律性. 注注 1随机现象随机现象揭示了条件和结果之间的揭示了条件和结果之间的非非确定性确定

12、性联系联系 , 其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.这种规律性随着我们观察次数的增多而愈加明这种规律性随着我们观察次数的增多而愈加明显显. 我们把这种由大量同类随机现象所呈现出我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性叫做来的集体规律性叫做统计规律性统计规律性. . 概率论和数概率论和数理统计就是研究这种统计规律性的数学学科理统计就是研究这种统计规律性的数学学科. 1. 允许在相同的条件下重复地进行允许在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的结果具有随机性，即结果每次试验的结果具有随机性，即结果不不2.定义定义 在概率论中在概率论中, 把具有以下把具有以下两个

13、特征两个特征的试验的试验称为称为随机试验随机试验.三、随机试验三、随机试验1.问题的提出问题的提出 如何来研究随机现象如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. .一定相同一定相同. 试验之前不能确定哪一个结果会试验之前不能确定哪一个结果会出现，出现，但能事先明确试验的所有可能结果但能事先明确试验的所有可能结果.注注 1 随机试验简称试验随机试验简称试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它它包括各种各样的科学实验包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物也包括对客观事物进行的进行的 “调查调查”、“观察观察”、或、或 “测量测量” 等等.实例实例 “

14、抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面, 反面出现的情况反面出现的情况”.分析分析 2随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1) 试验可以试验可以在相同的条件下重复地进行在相同的条件下重复地进行;(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果:正面，正面，反面反面; ;进行一次进行一次试验之前不能确定试验之前不能确定哪一个结果会出现哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.1.“抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数”. 2.“从一批产品中从一批产品中, 依次任选三件依次任选三件, 记录记录出现正品与次品的件数出现正品与次品的件数”.同理可知下列试验都为随机试

15、验同理可知下列试验都为随机试验3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人车人 数数.4. 考察某地区考察某地区 10 月月份的平均气温份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只, 测试其寿命测试其寿命. 1. 问题的提出问题的提出2. 定义定义 随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集的所有可能结果组成的集合称为合称为 E 的的样本空间样本空间, 记为记为 . 样本空间的元素样本空间的元素 , 即试验即试验E 的每一个的每一个(最简最简单的不能再分解的单的不能再分解的)可能结果可能结果, 称为称为样本点样本点， 记记作作 .四、样本空间

16、四、样本空间 样本点样本点怎么去表述随机试验的所有可能结果？怎么去表述随机试验的所有可能结果？现代集合论为表述随机试验的所有可能结果提供现代集合论为表述随机试验的所有可能结果提供了方便的工具了方便的工具. .例例11)观将一枚硬币连抛将一枚硬币连抛N次次, ,观察正面出现的次数观察正面出现的次数. .10,1, 2, 3,N 写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间.2) 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.6,5,4,3,2, 12 3) 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录记录 出现正品与次品的情况出现正品与次品的情况. , , , ,

17、 , , 3CCCCZCCCZZCCCZZZCZZZCZZZ 则则.,次品次品正品正品记记CZ4) 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数. ., 2, 1, 04 5) 考察某地区考察某地区 12月份的平均月份的平均 气温气温.215TtTt . 为平均温度为平均温度其中其中t6) 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.06 tt.t的寿命的寿命为灯为灯其中其中泡泡 2 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同, 则对应的则对应的 样本空样本空 间也不同间也不同.如：如： 对于同一试验对于同一试验: “将一枚

18、硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面若观察正面 H、反面、反面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间为则样本空间为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样本空间为0,1,2,3. ,.HHHHHTHTH THHHTT TTH THT TTT 注注 1 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.3建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现象的事实上就是建立随机现象的数学模型数学模型. 因此因此 , 一个样本空间可以概括许多一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题内容大不相同的实际问题.如：如： 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样

19、本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出现 正面正面 或出现或出现 反面反面的的模型模型 , 也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模型型 , 又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的的模型等模型等.,H T 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间. (1) 随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子的子集称为集称为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件.即随机事件即随机事件是是满足满足某些条

20、件某些条件的样本点所组成的集合的样本点所组成的集合.2. 基本概念基本概念五、随机事件的概念五、随机事件的概念 如何描述满足某些条件的样本点如何描述满足某些条件的样本点?在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现是否会出现. 这就是这就是随机事件随机事件.1. 问题的提出问题的提出试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.随机事件发生随机事件发生 组成随机事件的其

21、中一个样组成随机事件的其中一个样 点本出现点本出现如：如： 上述试验中上述试验中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件.(4) 必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.如：如：“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, , “出现出现6点点”.(2) 基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的单点集仅由一个样本点组成的单点集.它是随机试验的直接结果它是随机试验的直接结果, 每次试验必每次试验必定定发生发生且只可能发生一个基本事件且只可能发生一个基本事件.(3) 复合事件复合事件 由若干个样本点组成的点集由若干个样本点组成的点集.如：如： “点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” .3. 几点说明几点说明1随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母并以大写英文字母A, B, C, 来表示事件来表示事件.例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 可设可设 A = “点数不大于点数不大于4”,如：如： 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不可能事件.(5) 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果.B = “点数为奇数点数为奇数” 等等等等.必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对