现代机械工程图学3.4

1、13.4 直线、平面、立体的相交23.4.1 立体的投影 3.4.1.1 平面立体的投影3 1 棱柱例：正六棱柱，其直观图和三面投影如下 4顶、底面是水平面，h投影反映实形，v、w投影各积聚；前后侧面是正平面，v投影反映实形，h、w积聚；左右侧面都是铅垂面。各棱线是：铅垂的棱线有六条，侧垂的棱线有四条，水平的棱线有八条。分析各棱线的投影特性。（1）投影分析5已知点m的v投影、点n的w投影，求两点的其它投影。图中示出了作图过程。显然，求作各点未知投影的过程利用了立体表面的积聚性投影。（2）表面取点6 2 棱锥例 正三棱锥，其直观图和三面投影如下 7（1）投影分析 其底面abc是水平面，侧面sac

2、是侧垂面（ac是侧垂线），另两个侧面sab、sbc是一般位置平面。 各棱线是：sb是侧平线，sa、sc是一般位置直线，ab、bc是水平线，ac是侧垂线。8（2）表面取点 已知三棱锥表面上点m、n的v投影，求其它投影。图中示出了作图过程。 由于点m所在平面无积聚性，所以求作过程用了“两点法”或“一点一方向法”通过在表面上作直线来确定其未知投影。93.4.1.2 曲面立体的投影 1 圆柱（1）形成 一矩形平面绕一条边为轴旋转一周形成圆柱体。平行于转轴的边，其轨迹形成圆柱面，该边称为母线，它的任意位置称为素线。10（2）投影分析 该圆柱h投影积聚为圆。v、w投影为矩形，其上下边是顶、底圆面的积聚投影

3、。素线aa、bb为前后半圆柱面的分界线，称为转向轮廓线，v投影为aa、bb，w投影与回转轴重影不画出；素线cc、dd是左右投影的转向轮廓线，w投影为cc、dd，v投影与回转轴重影亦不画出。11（3）表面取点 已知圆柱面上的点m、n的v投影m、n，则利用h投影的积聚性求出其它投影，注意可见性的判别。作图过程如图中所示。122 圆锥（1）形成 一三角形平面绕一条边为轴旋转一周形成。相交于转轴的边，其轨迹形成圆锥面，该边称为母线，它的任意位置称为素线。 圆锥面上可作经过锥顶的直线和垂直于轴的不同直径的圆。13（2）投影分析 圆锥轴线h，其底面h投影为圆，圆锥面与底面重影。v、w为三角形，素线sa、s

4、b是前后半圆锥面的转向轮廓线，v投影为sa、sb。h投影在sa、sb，w投影在sa、sb的位置（不画出）；素线sc、sd是左右转向轮廓线，w投影sc、sd。h投影在sc、sd，v投影在sc、sd的位置（不画出）。14（3）表面取点 已知圆锥面上点m的v投影，利用过锥顶的直线（辅助素线法）或利用垂直于轴的圆周（辅助圆法）来求出其它投影，作图过程如下图。153 圆球（1）形成 由一圆面的直径为轴线回转形成，如图所示。16（2）投影分析 圆球的投影分别是球面上三条不同方向的转向轮廓线（等于球直径的圆）的投影，分析如图所示。17（3）表面取点已知球面上点m、n的h投影m、n，利用球面上过已知点且平行于

5、投影面的圆周求出其它投影。作图过程如图所示。 应注意球面上可作出任意方向的圆但不能作直线。184 圆环（1）形成由一圆面绕与其共面但不通过该圆圆心的轴线回转而形成，如图所示。19（2）投影分析h投影画出内、外环面上转向轮廓线（两个实线圆）和母线圆的回转轨迹（点画线圆）；v投影画出内、外环面在v方向投影的转向轮廓线（虚与实的半圆）和内、外环面分界圆的投影（上下二直线）。20（3）表面取点 环面上取点应采用垂直于轴线的辅助圆，作图过程如图所示。21圆弧回转体的投影及表面取点 如图为局部的圆环面（亦称为圆弧回转体），其投影和表面取点如下图所示。223.4.2 直线与立体相交 直线与立体表面相交，其交

6、点是直线与立体表面的共有点。 求交点的方法一般可利用投影的积聚性、辅助平面法、辅投影法等。（该内容可视教学时间和需要情况取舍）现举例如下：23例1 求直线与圆柱面的交点 如图（a）所示，直线ab是一般位置，而圆柱面垂直于h面。 利用圆柱的积聚性，直线的h投影ab与圆柱的h投影圆交点m、n即是直线ab与圆柱交点的h投影，再求出v投影。 由于点m在前半圆柱面上，其v投影m可见，而n点在后半圆柱面上，其v投影n不可见，如图（b）所示。24例2 求直线与圆锥面的交点 如图（a）所示，直线ab一般位置，圆锥轴线垂直于h。现包含直线ab和锥顶s作辅助截平面：过s任作两直线s、s，与ab交于、，则s即是辅助

7、截平面。该截平面与圆锥的交线为s、s，它们的水平投影s3、s4分别与ab交于k1、k2即为交点的h投影。再作出v投影并判别可见性完成作图，如图（b）、（c）所示。 25例3 求直线与圆球面的交点 如图（b）所示，包含直线ab作铅垂面p，截球得到圆。p面上直线ab与该圆的交点即是直线与球的交点。 作一次辅投影，使ab成为投影面平行线，p面截球得到的圆反映真形从而得到交点的一次辅投影k1（两解）。 返回作其它投影，判别可见性完成作图。 如图（a）所示，一般位置直线与球相交，求它们的交点。263.4.3 平面与立体相交截交线27概述平面与立体相交在立体表面上的交线称为截交线，如图。该平面称为截平面。

8、截交线围成的平面图形称为截面形。立体被截后，剩余部分称为截余部分。截交线的形状取决于立体表面形状和截平面与立体的相对位置，它可以是直线或曲线。截交线具有如下性质：（1）是截平面与立体表面的公有线。（2）一般是封闭的。283.4.3.1 平面截平面立体 平面立体各表面都是平面。因此，平面截平面立体的截交线是一平面多边形，多边形的各顶点是截平面与立体的棱线的交点，或两截平面交线的顶点，且多边形的边数等于顶点数。29例1 求正三棱锥被平面截后的h、w投影。（1）分析 正三棱锥被一水平面和一正垂面所截。其中水平面与正三棱锥有四个交点，其截面形应是四边形；正垂面与三棱锥有三个交点，其截面形应是三角形。3

9、0（2）作图 截交点、三点在三棱锥的棱线上，、两点在表面上。具体作图如右所示。31例2 求正四棱柱开孔后的w投影。 （1）分析 该正四棱柱被两个水平面（上下对称）和左右侧平面所截。其中每个水平面与正四棱柱各自有六个截交点，因此其截面形应是六边形；而每个侧平面与正四棱柱各自有四个交点，其截面形应是矩形。各截交点的v、h投影均已知，如图所示。32（2）作图 如图所示，由已知二投影求出w投影，注意可见性的判别和前后棱线在、和、之间部分已被截除，其w投影33和66之间无线。33截交线的形状取决于立体表面的形状和截平面与立体轴线的相对位置。截交线为曲线时，其截交点分为特殊点和一般（中间）点。特殊点是指：

10、（1）确定曲线基本性质的点，如椭圆长短轴的端点；（2）确定极限位置的点，如最高、最低，最左、最右，最前、最后点；（3）确定某投射方向上可见与不可见的分界点即虚实分界点等。下面分别讨论平面截圆柱、圆锥、圆球和圆环的截交线及其求作方法。3.4.3.2 平面截回转曲面立体341 平面截圆柱截平面与圆柱轴线的相对位置有平行、垂直、倾斜三种情况，分别产生的截交线为矩形、圆、椭圆，如图（a）（b）（c）所示。35（1）截平面平行和垂直于圆柱轴线截圆柱 图（a）（b）为截平面（侧平面和水平面）平行和垂直于圆柱轴线截圆柱时的截交线的求作。其中、为矩形；、为圆弧加直线。注意（a）（b）的不同之处，分析其原因。3

11、6（2）截平面倾斜于圆柱轴线截圆柱 图（a）、（b）为截平面（v）倾斜于圆柱轴线截圆柱。其中i、ii、iii、iv为椭圆长短轴的端点；是最高（最左）、最低（最右）、最前、最后点；iii、iv亦为w投射方向的转向轮廓线上的点，是虚实分界点。v、vi、vii、viii是中间点。注意（a）、（b）的不同之处。37（3）截平面倾斜于圆柱轴线截圆柱的特殊情况 截平面对w投影面的倾角大于45或小于45时，空间椭圆的长轴投影到w面上成了椭圆的短轴或长轴，而空间椭圆的短轴始终是正垂线，其w投影保持不变。因此，当截平面与w面成45时，则空间椭圆的长轴投影到w面上与短轴相等，即椭圆投影成了圆。这时的投影如图（c）

12、所示。38 2 平面截圆锥 由截平面与圆锥的不同位置，可得到不同的截交线：（a）等腰三角形；（b）圆；（c）椭圆；（d）抛物线加直线；（e）双曲线加直线。39例 正垂面截圆锥，截交线是椭圆投影的求作 （1）分析 右图为正垂面截圆锥，截交线是椭圆。 其中i、ii、iii、iv为椭圆长短轴的端点，是最高（最左）、最低（最右）、最前、最后点；v、vi为w投射方向的转向轮廓线上，是虚实分界点，这些点都是特殊点。v40（2）作图特殊点的求作如图，图中未求中间点。413 平面截圆球 平面与圆球的截交线总是圆。投影则取决于截面形对投影面的位置，其投影可能是积聚的直线、圆和椭圆。42 （1）分析 如图所示，水

13、平面截出的截交线分别在v、w投影中积聚，而h投影反映实形；正垂面截出的截交线在v投影中积聚，而h、w投影均为椭圆加直线。例 水平面和正垂面截球的求作v43（2）作图椭圆的求作可按图示进行分析。444 平面截圆弧回转体（环面） （1）分析 圆弧绕和其共面的轴回转形成圆弧回转体。 如图所示，其被铅垂面所截，求作中应利用回转体面上与轴线垂直的素线是圆的特性，并由积聚的投影进行求作。例 铅垂面截圆弧回转体的求作45（2）作图 如图所示，在v投影的求作中利用了回转体面上与轴线垂直的素线是圆的特性，并由积聚的h投影分别求出曲线上若干点的v投影，然后光滑连接得到曲线的v投影。其中i、ii是最低点（分别为最左

14、、最右），而iii是最高点（是曲线上与圆弧回转体轴线距离最短的点）。463.4.4 立体与立体相交相贯线473.4.4.1 概述两立体相交称为相贯，其表面交线称为相贯线。相贯线一般是封闭的空间曲线，如图（a）（f）所示。特殊时可蜕化成平面曲线、直线等，如图（g）（h）所示。 确定相贯线的三大因素是：两立体的形状、大小和它们的相互位置。48相贯线是两立体表面的公有线，相贯线上的点称为相贯点，是两立体表面的公有点。相贯线的求作过程是先求出两立体表面的一系列公有点，然后依次光滑连接成曲线。相贯点有特殊点和一般（中间）点。如曲面立体的转向轮廓线与另一曲面立体的交点（称为转向点）；相贯线上的最高、最低、

15、最左、最右、最前、最后点以及相贯线与曲面上素线的切点（称为极限位置点）等是特殊点。作图时，应求出特殊点，这有助于确定相贯线的投影范围和变化趋势，使相贯线的投影更准确。一般点则按需要求出。具体求作方法：（1）表面取点法。条件是必须至少已知相贯线的一个投影（2）辅助截面法。没有投影条件限制，但辅助截面的选择应使所截得的截交线是直线或平行于投影面的圆。辅助截面法在相贯线的求作中应用较多。3.4.4.2 相贯线的求作方法49辅助截面法 如图（a）所示，圆柱与圆锥相贯，过锥顶并平行于圆柱轴线作辅助截面p，截圆锥面为两相交直线；截圆柱面为两平行直线。交点、，即为相贯线上的点。 图（b）所示，圆柱与圆锥相贯

16、，辅助截面q垂直于圆锥轴线并平行于圆柱轴线，截圆锥为平行于h投影面的圆，截圆柱为两平行直线。交点、即为相贯线上的点。选择一系列的辅助面，求得一系列公有点，依次光滑连接相邻的点完成相贯线的投影。50举例51例1 求不等直径圆柱正交相贯线的投影。 （1）分析：如图所示，两圆柱轴线互相垂直相交。小圆柱垂直于h面、大圆柱垂直于w面，相贯线是一封闭的空间曲线，其前后、左右对称。相贯线的h、w投影分别有积聚性，v投影需要求作。 52（2）辅助截平面的选择 分析可知，投影面的平行面均能截出直线或平行于投影面的圆，因此可作为辅助平面。如图所示，本例选正平面p为辅助截平面。53（3）求特殊点 如图所示，i、ii

17、是最高点、又是最左、最右点，也是v投影方向上的虚实分界点，iii、iv是最低点、又是最前、最后点。各点的v投影1、2、3、4由已知的h、w投影求得。54（4）求一般点如图所示，v、vi两点选择辅助平面p求得。55（5）连线并判别可见性 相贯线前后对称，其v投影虚实重叠。56（6）不同表面相交情况的分析 上述两圆柱外表面相交的相贯线，同样可出现在圆柱上开圆柱孔的情况下，即圆柱与圆柱孔（外和内表面）、圆柱孔与圆柱孔（内和内表面）正交时。它们的求作方法是相同的，如图所示。57（7）二等直径圆柱正交 其相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如图所示，各椭圆所在平面均与v面垂直，因此它们的v投影都积聚成直线，

18、由两立体在v面上的转向轮廓线的交点所连成。58例2 求不等直径圆柱斜交相贯线的投影。（1）分析 两圆柱轴线倾斜相交，且平行于v面，因此相贯线是一封闭的空间曲线，其前后对称。由于水平大圆柱垂直于w面，所以相贯线的w投影有积聚性，h、v投影需要求作。59（2）辅助截平面的选择 正平面截两圆柱面的截交线均为直线，而其他平面截两圆柱面会出现椭圆。所以选正平面p为辅助平面，如图所示。60（3）求特殊点 如图所示，、是最高点、又是最左、最右点，也是v投射方向上的虚实分界点，、是最低点、又是最前、最后点。各点的v、h投影由已知的w投影求得。61（4）求一般点 如图所示，v、vi选择正平面p为辅助平面求得两点

19、、。其中，平面p截倾斜小圆柱面的二平行素线通过一次辅投影求出其准确位置。62（5）连线并判别可见性 因为相贯线前后对称，所以v投影虚实重叠。而h投影以iii、iv为虚实分界点，其左边部分为不可见，投影是虚线。倾斜小圆柱的上下转向轮廓线的h投影应补画到点3、4。63例3 求圆柱与圆锥偏交相贯线的投影（1）分析 如图所示，圆柱与圆锥轴线垂直但不相交。相贯线是一封闭的空间曲线，其左右对称。由于水平圆柱垂直于w面，所以相贯线的w投影有积聚性，h、v投影需要求作。64（2）辅助截平面的选择 选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅助平面（分析为什么？）65（3）求特殊点 如图所示，是最高点，、是最低点、是最前点，

20、是最后点。各点的v、h投影由已知的w投影和通过作水平辅助平面方法求得。而两点、，是相贯线与圆锥素线的切点。66（4）求一般点 选择水平面或过锥顶的侧垂面为辅助平面可求得，本例图中未作。67（5）连线并判别可见性 两立体公共可见部分的交线可见，由已知的w投影分析知：v投射方向，以点、和、为分界，相贯线的前面部分为可见；h投射方向，以点、为分界，相贯线的上面部分为可见。因此得到如图中的投影结果。圆柱前后转向轮廓线的v投影和上下转向轮廓线的h投影补画情况亦如图所示。68例4 求圆柱与圆球偏交相贯线的投影。（1）分析 如图所示，圆柱与球轴线平行但不相交。相贯线是一封闭的空间曲线。由于直立圆柱垂直于h面

21、，所以相贯线的h投影有积聚性，现仅求作v投影。69（2）辅助截平面的选择 选择投影面平行面为辅助平面，其与圆柱面的交线是直线或平行于投影面的圆，而与球面的交线是平行于投影面的圆。70（3）求特殊点 如图所示，i、ii是最左、最右点，iii、iv是最前点、最后点。而最高、最低点e、f的h投影应是在h投影中圆柱和球中心连线与圆周相交的点e、f。以上各点的v投影由它们已知的h投影和通过作正平面p为辅助平面的方法求得。71（4）求一般点 可同样选择正平面为辅助平面求得，本例图中未作。72（5）连线并判别可见性 两立体公共可见部分的交线可见，由已知的h投影分析知：v投影中，以点i、ii为虚实分界点，相贯

22、线的前面部分为可见。圆柱和球的前后转向轮廓线在v投影中补画情况亦如图所示。733.4.4.3 相贯线的特殊情况 1 两立体相交，它们公切于一个球面时 相贯线由空间曲线蜕化成两个椭圆。如图，各椭圆所在平面均与v面垂直，它们的v投影积聚成直线，由两立体在v面上的转向轮廓线的交点所连成。742 回转体与球相交，且回转体轴线过球心时 其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆。 753 球面法 利用回转体与球共轴相交，其相贯线为一垂直于回转体轴线的圆的原理。当圆柱和圆锥同时与球相交且轴线均过球心时，它们分别与球产生的交线都是垂直于相应轴线的圆。如果二圆相交，则交点是圆柱和圆锥的公有点，即是它们的相贯线上的点，如

23、图中的iii、iv、vii、viii点。因此，当不能采用辅助平面时，则可考虑选择辅助球面法 76例 圆柱和圆锥轴线斜交 （1）分析 如图，由于除过锥顶且平行于v面的对称平面，或过锥顶的垂直面为辅助平面，截交线都会出现曲线，不宜作图。 现选择辅助球面，以圆柱和圆锥轴线交点为球心，以适当长度为半径作球，球与圆柱、圆锥的交线为圆，两圆交点即是相贯线点。77 以圆柱和圆锥轴线交点为球心，以适当长度为半径作球，球与圆柱、圆锥的交线为圆，两圆交点即是相贯线点iii、iv、vii、viii。它们的v和h投影分别是3（4）、7（8）和3、4、7、8。 圆柱上下转向轮廓线上的点v（5、5）、vi（6、6）只能近

24、似求出。（2）作图78因为辅助球面不但必须与两回转体相交，且球与两回转体的交线也必须相交。图中，小于内切于圆锥的球与圆锥不相交，而大于球心到两回转体外形线交点中远的一点ii（2、2）的距离为半径的球与两回转体的交线不相交。因此，辅助球面半径的范围是：最大球半径rmax为球心到两回转体外形线交点中远的一点的距离；最小球半径rmin为内切于两回转体中大的一个球半径。辅助球面半径的选择79如果内切于两回转体中大的一个球与两回转体的交线不相交时，最小球半径rmin则取球心到两回转体外形线交点中近的一点的距离，如图所示。应当指出，辅助球面法对相贯线上某些特殊点还不能直接求得，如前例圆柱上下转向轮廓线上的

25、点v、vi只能近似求出。辅助球面半径的选择803.4.5 综合举例81概述 几个基本几何体相交组成一个复杂的组合体时，如何正确作出它们的交线。 1.必须很好掌握单一基本几何体被平面所截产生截交线和两个基本几何体相交产生相贯线的分析和求作方法； 2.必须分析清楚组合体由哪几个基本几何体组成、它们的相对位置以及何处存在交线。特别注意对形体的认识和分析； 3.必须分析清楚交线的形状和不同交线的分界点，以及它们的投影情况。 4.按逐一作图，注意衔接，综合完成进行正确求作。82例1 求立体交线的投影。（1）分析 该组合体是由三个直径不同的圆柱组成。 其中左右水平的小、大两圆柱共轴线并w面; 直立圆柱h面并与水平两圆柱垂直相交。 组合体前后对称。 直立圆柱与水平大、小圆柱的相贯线均为不等直径圆柱正交，各是前后对称的空间曲线。83（2）作图点、和、，分别在w、h中积聚