电动力学郭硕鸿第三版第9次课(22唯一性定理)

1、Uniqueness Theorem 学习学习“唯一性定理唯一性定理”的重要性的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要求空间所有的电荷分布必须已知. 现在的问题是现在的问题是, ,如果需要求解一个区域内的电场如果需要求解一个区域内的电场, ,区域区域内的电荷分布已经给定内的电荷分布已经给定, ,而区域边界上的电荷分布却是未而区域边界上的电荷分布却是未知的知的, , 此时就不能利用库仑定律此时就不能利用库仑定律例如 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中。 但具有一定的边界条件但具有一定的边界条件, , 利用给定的边界条件去解

2、静利用给定的边界条件去解静电场的泊松方程电场的泊松方程, ,这叫做静电场的边值问题这叫做静电场的边值问题. . 边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出明确的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因. 对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。静电势的

3、微分方程静电势的微分方程2边值关系边值关系复习上一节课的内容SS21SSnn1122导体表面上的边值关系导体表面上的边值关系常数s|sn唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论.1) 绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明绝缘介质静电问题的唯一性定理及证明 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、i (i = 1、2、3 ) ，V 中的自由电荷分布(或) 为已知，那么，当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。数学表述如下:ii2(在每个小区Vi)(在整个区域V 的边界面S上给定

4、,按约定,边界面法线 指向V 外)n(在两种绝缘介质的分界面上)j ijjiinn 分界面法向单位矢量 由 指向 )nijSSn或以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个区域V 的边界面上满足给定的边界条件SSn或下面是对唯一性定理的证明。为了说理清楚，将证明分解下面是对唯一性定理的证明。为了说理清楚，将证明分解成几步，首先证明区域成几步，首先证明区域V 中只有一种均匀介质的情况，然中只有一种均匀介质的情况，然后再

5、把它推广到多种介质分区分布的情形。后再把它推广到多种介质分区分布的情形。a)区域V 中只有一种均匀介质的情形利用反证法证明:假设区域V 中存在两个不同的解 和它们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明它们只能是同一个解.引入标量函数 ,令 = - 222 , , 0ii 在区域边界面S 上 0SSS, 0SSSnnn(给定第一类边界条件)(给定第二类边界条件)或下面需要证明的是,满足以上方程和边界条件的和顶多只能差一个常数.利用矢量的微分运算公式:222 等式两端对V 作体积分22VVVdV dVdV 22VVVdV dVdV 式中 20 VsdV dS 在边界面S 上,无论0S0S

6、n还是 ，都使0ssdSdSn 20VdV20VdV注意到 为非负数,欲使上式成立,只有 ,即= C ,或-=C，以上说明和顶多差一个常数,而电势的附加常数对电场没有影响,这就证明了和在物理上是同一个解,于是,唯一性定理得证.20b)区域V 中有两种各自均匀的介质1 和2 的情形令1 = 1- 12110 V则有，（在 区内）分别对应V1 区和V2 区下面将证明,每一个区域的解都是唯一的.对V1 区,设有两个解1、1 都满足V1 区的场方程和边界条件在V1区的外边界1上110外或1110n外给定第二类边界条件给定第一类边界条件约定, 为V1 区边界的法向单位矢量,指向V1 外部;1n令2 =

7、2- 22220 V则有，（在区内）同理对V2 区,设有两个解2、2 都满足V2 区的场方程和边界条件在V2区的外边界2上220外给定第一类边界条件或2220n外给定第二类边界条件约定, 为V2 区边界的法向单位矢量,指向V2外部;2n而在V1 和V2 区的公共界面(即内边界) 上,由电势的边值关系两式左右分别相减,得1 = 2 212121212121nnnn 2121nn又 两式左右相减，得： 为内边界上的法向单位矢,按约定由介质1 指向介质2n下面我们要证明, 1和1 , 2和2顶多都只能差一个常数先看V1 区,利用微分恒等式2211111111 等式两端对V1 作体积分11122111

8、1111111VVVdV dVdV 210 112111111sVdSdV1111111VsdV dS由高斯公式其中S1 为V1 的边界面,它由外边界1 和内边界两部分组成,即112111111sVdSdV 1111111111sdSdSdS 外边界1 内边界由前所述,外边界1 上的面积分为零同理,对区域V2 ,重复以上过程,可得到121111111VdSdVn内边界222222222VdSdVn 内边界nnnn21 ,121111111VdSdVn内边界222222222VdSdVn 内边界1111111dSdSnn 内边界2222222dSdSnn 内边界两式分别相加得1222121122

9、111222VVdSdVdVnn 内边界1222121122111222VVdSdVdVnn 内边界2121nn由电势的边值关系,在内边界上2112221112220VVdVdV欲使上式成立,只有 , ,即1和1, 2和2顶多差一个常数,这说明,在每一个均匀小区内的电场分布都是唯一的.1020c）以上证明自然推广到含有两种以上均匀介质的情况此时12n222111222nnn0VVVdVdVdV其中nVVVV11用类似的方法可以证明: ,从而区域V 中各处的电场分布一定是唯一的. 这样,关于绝缘介质静电问题的唯一性定理得到了证明.12n0,0,0 以上所讨论的是区域内只有绝缘介质的情形. 如果区

10、域内有导体存在,情况会有不同,因为导体表面的电荷分布与导体外的电场是相互制约的,因而无法预先得知. 在这种情况下,必须对导体附加一些条件,区域内的电场分布才能唯一被确定,这正是我们下面要讨论的.2）有导体存在的情况）有导体存在的情况 设区域V 中有若干导体，其余部分都是一种均匀介质,将扣除导体后的区域称为V，V的边界应包括两部分:V 的表面S(或V的外边界) ，每个导体的表面Si (或V的内边界) .此时，要唯一地确定V内的电场，除了前面提到的关于绝缘介质的边界条件外，还须对导体附加一定的条件。 附加的条件有两种类型,一种是给定每个导体的电势 i ,另一种是给定每个导体所带的总电量Qi两种类型

11、分别表述如下:a）区域V 内有若干导体，设除导体外的区域V内的自由电荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每个导体表面的电势 i 也已知，则区域V内的电场有唯一解。n 这种类型的唯一性定理和前面关于绝缘介质的唯一性定理的证明过程完全相同(只不过这里只有一种介质) ，区别仅在于这里V的边界面有两个(外表面S 和内表面Si ) ，只要导体表面的电势给定,则V的所有内、外表面上都有一定的值或 值，应用关于绝缘介质的唯一性定理，则V内的电场必有唯一解.nb）区域V 内有若干导体,假设除导体以外的区域V内的自由电荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每个导体所带的总电量Q

12、i 为已知，则区域V内的电场有唯一解。n数学表示为:2i (在V 内)(已知)(已知),1,2,3iSQi （待定）SSn或,iS常数满足以上定解问题的电场分布就是唯一解。为了证明类型( ) ，我们把导体上电量已知的条件用电势的法向导数来表示,即in上式中，约定每个导体表面的法向单位矢量 指向导体外部。), (iQdSniSii321证明证明设区域V中有两个解和同时满足以上方程和定解条件令 = - 222 +0 0iiiiiiiiSSSQQdSdSdS nnn 222 +0 0iiiiiiiiSSSQQdSdSdS nnn 0SSS0SSSnnn或0iiiSSS 或常数(说明:导体电势并未给定

13、, 和可以不为零)令V的边界面为S， S包括V的外表面S 和所有导体的表面Si式中 20 VsdV dS 2sVdSdV 同样利用矢量的微分运算公式同样利用矢量的微分运算公式: :22 等式两端对V 作体积分22VVVdV dVdV 考虑上式左端iiSSS iisssdSdSdS iisssdSdSdS 按约定,在S 面上, 为S 面上指向介质外部的单位法向量, 在Si 面上, 为Si 面上指向介质外的单位法向量(注意在这里 恰恰是指向导体内部）ndSnSd , iidSndS niniiisssdSdSdSnn 式中右端第一项0sdSn0iiiiiiisssdSdSdSnn 20VdV即 ,

14、 - =常数, 和 顶多差一常数，说明V中电场有唯一解。这样，有导体存在时静电问题的唯一性定理也得到证明。0最后需要强调一点最后需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程的具体方尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程的具体方法与步骤法与步骤,但它对于解决实际的边值问题有着重要的意义但它对于解决实际的边值问题有着重要的意义. 首先首先,它明它明确了在哪些条件下可以唯一地确定一个静电场确了在哪些条件下可以唯一地确定一个静电场,即给出了求解静电场即给出了求解静电场的依据的依据;其次其次,它使我们可以灵活地选用最简单、最合适的解题方法它使我们可以灵活地选用最简单、最合适的解题方法,甚至可以猜一个解甚

15、至可以猜一个解(即提出尝试解即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中只要这个解确实满足了问题中的场方程和全部定解条件的场方程和全部定解条件,那么那么,根据唯一性定理我们就可以肯根据唯一性定理我们就可以肯定地说定地说,它就是该问题中的唯一正确的解它就是该问题中的唯一正确的解.例题1(P62），两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为1，右半部电容率为 2，设内球壳半径为a，带总电荷Q，外球壳接地，半径为b。求电场和球壳上的电荷分布。baS1S221rn2121212120 (1,2) 0iinnSQS在交界面上 在 面上 , 已知在 面上 , 已知解解:设两介质内的电势、电场强度和电

16、位移分别为 和111,DE 222,DE (23, AErr右半部）13, AErr( 左半部）ttEE12 如果我们假设如果我们假设E仍保持球对称性，即仍保持球对称性，即此时边值关系得到满足。此时边值关系得到满足。21nnDD由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系考虑两介质分界面上的边值关系baS1S221rn内导体球面S1上的积分121122dddLRSSDSESESQ将电场值代入得QA )(221 解出解出)(221 QA则

17、则 (1312 (2312, 2 (), 2 ()QrErQrEr 左半部）右半部）此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解2121212120 (1,2) 0iinnSQS在交界面上 在 面上 , 已知在 面上 , 已知1131222312, 2 (),2 ()QrDrQrDr baS1S221rn 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保却保持球对称性。持球对称性。则则 (1312 (2312, 2 (), 2 ()QrErQrEr 左半部）右半部）右右半半部部）左左半半部部）( ,)(2( ,)(22212222222111111aQEDaQEDrrrr 则球面上则球面上的电荷面的电荷面密度为密度为 虽然虽然E仍保持球对称性，但是仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面和导体面上的电荷面密度密度不具有球对称性。不具有球对称性。总结本节课的内容总结本节课的内容1、绝缘介质静电问题的唯一性定理、绝缘介质静电问题的唯一性定理数学表述如下:ii2(在每个小区V