河海大学弹性力学徐芝纶版第七章

1、第七章空间问题的基本理论例题例题第五节第五节 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程第四节第四节 几何方程及物理方程几何方程及物理方程第三节第三节 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 第二节第二节 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态第一节第一节 平衡微分方程平衡微分方程第七章空间问题的基本理论第七章 空间问题的基本理论 在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。第七章空间问题的基本理论取出微小的平行六面体， ，

2、zyxvdddd 考虑其平衡条件平衡条件:, 0 xF,0yF; 0zF, 0 xM, 0yM. 0zM(a) (b)平衡条件7-1 7-1 平衡微分方程平衡微分方程第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论 由x 轴向投影的平衡微分方程平衡微分方程 , 0 , ( , ). (c)yxxzxxfx y zxyz平衡微分方程0 xF得 因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。第七章空间问题的基本理论 由3个力矩方程得到3个切应力互等定理切应力互

3、等定理， 0 xMzyyz，(x, y , z) 。 (d) 空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量。)dd(dzyx平衡微分方程第七章空间问题的基本理论思考题 在图中，若点o的x向正应力分量为 ，试表示点 A , B 的x向正应力分量。xxd zd xAd yoyBz第七章空间问题的基本理论 在空间问题中，同样需要解决：由直在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量角坐标的应力分量 ，来求出斜，来求出斜面面( (法线为法线为 ）上的应力。上的应力。xyz斜面应力n7-2 7-2 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态第七章空间问题的基本理论 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：(

4、,).xyzppppp沿坐标向分量: p沿法向和切向分量:斜面应力(,).nnp第七章空间问题的基本理论 取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds, 则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的平衡条件 ，得出坐标向的应力分量,1. 求),(0zyxFx , ( , , ).(a)xxyxzxplmnx y z),(zyxppppzyxppp第七章空间问题的基本理论2. 求),(nnp将),(zyxpppp向法向 投影，即得zyxnnpmplpnn222222 . (b)xyzyzzxxyl m n mnnllm,222222nnzyxpppp22222 . (c)

5、nxyznpppn得由第七章空间问题的基本理论 从式(b)、(c )可见, 当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。nn第七章空间问题的基本理论 设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出空间空间问题的应力边界条件问题的应力边界条件:3. 在 上的应力边界条件s,zyxfffs),(zyxppp),(zyxfff() , ( , , ) . () ( )xyxzx sxlmnfx y zSd在 上应力边界条件第七章空间问题的基本理论 式(d)只用于 边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的

6、应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。 式(b), (c) 用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系； 注意注意: s第七章空间问题的基本理论1.1.假设 面(l , m , n)为主面，则此斜面上n . , 0pnn斜面上沿坐标向的应力分量为： zyxppp,. , ,npmplpzyx斜面应力7-3 7-3 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力代入 , 得到：第七章空间问题的基本理论考虑方向余弦关系式，有. 1222nml 结论：式(a) , (b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b),(a ).xyxzxyzyxyzxzyzlmnlm nlm nlmn第七

7、章空间问题的基本理论2. 求主应力求主应力 将式(a)改写为：。0)(, 0)(, 0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx求主应力第七章空间问题的基本理论 上式是求解上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于的齐次代数方程。由于l , m , n不全为不全为0，所以其系数行列式必须为零，得，所以其系数行列式必须为零，得, 0zyzxzzyyxyzxyxx展开，即得求主应力的方程求主应力的方程,求主应力32222()()xyzy zz xx yyzzxxy . 0)2(222xyzxyzxyzzxyyzxzyx( c )第七章空间问题的基本理论3.3.应力主向 设主应力

8、 的主向为 。代入式(a)中的前两式，整理后得1111,nml1111111111()0, (d)()0.yxzxxyzyxymnllmnll应力主向第七章空间问题的基本理论由上两式解出 。然后由式(b)得出1111,lnlm12211111.(e)1()()lmnll应力主向再求出 及 。1m1n4. 4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力一点至少存在着三个互相垂直的主应力321,（证明见书上）。第七章空间问题的基本理论5.5.应力不变量应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 ，则式(c)也可以用根式方程表示为，123()()()0 . (f) 因式(c) 和( f )是等价的方程，故

9、的各幂次系数应相等，从而得出：应力不变量321,第七章空间问题的基本理论1123212233122231232222.xyzyzzxxyyzzxxyxyzxyzyzxzxyyzzxxy , , (g)应力不变量第七章空间问题的基本理论 所以分别称 为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。 式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。 321,第七章空间问题的基本理论6.6.关于一点应力状态的结论：关于一点应力状态的结论： 6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面

10、上的 应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。一点应力状态第七章空间问题的基本理论(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量.321,(5) 最大和最小切应力为 ，作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。13.2321 设第七章空间问题的基本理论思考题1.试考虑：对于平面问题若 则此点所有的正应力均为 ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。,212. 试考虑：对于空间问题若 则此点所有的正应力均为 ,切应力均 为0，即存在无数多的主应力。,321第七章空间问题的基本理论 空间问题的几何方程

11、，空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：,xux,yzwvyz),;,(wvuzyx(a)几何方程7-4 7-4 几何方程及物理方程几何方程及物理方程),;,(wvuzyx第七章空间问题的基本理论 从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系： 若位移确定，则形变完全确定。若位移确定，则形变完全确定。几何方程 从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。第七章空间问题的基本理论-沿x , y , z 向的刚体平移； 若形变确定，则位移不完全确定。若形变确定，则位移不完全确定。 由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若 ，还存在对应的位移分量，为：0yzx),(zyx 0,

12、yzuuzy( , , ; , , ).x y z u v w(b)000,wvu几何方程zyx,-绕x , y , z轴的刚体转动。第七章空间问题的基本理论 若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为：空间问题的位移边界条件为：uswvu,( ),suu( , , ).u v w( c )位移边界条件第七章空间问题的基本理论zyxzyxzzyyxxzyxdddddd)d)(dd)(dd(d1)1)(1)(1 (zyx.zyx(d) 其中由于小变形假定，略去了形变的其中由于小变形假定，略去了形变的2 2、3 3次幂。次幂。体积应变体积应变体积应变定义为：dvdvvd第七章空间

13、问题的基本理论空间问题的物理方程空间问题的物理方程 应变用应力表示，用于按应力求解方法：应变用应力表示，用于按应力求解方法：),(1zyxxE2(1),yzyzE( x ,y ,z ). (e)物理方程可表示为两种形式：第七章空间问题的基本理论 应力用应变表示，用于按位移求解方法：应力用应变表示，用于按位移求解方法：),21(1xxE,(1)yzyzE (x ,y , z). ( f )由物理方程可以导出,21E（g） 是第一应力不变量，又称为体积应力。21 E-称为体积模量。第七章空间问题的基本理论 空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数在区域

14、V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：结论第七章空间问题的基本理论思考题 若形变分量为零， 试导出对应的位移分量。, )( 0 x,y,zyzx第七章空间问题的基本理论 空间轴对称问题空间轴对称问题 采用柱坐标 表示。(,)z轴对称问题 如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。7-5 7-5 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程第七章空间问题的基本理论 对于对于空间轴对称问题：空间轴对称问题：应力中只有应力中只有,zz。0; 0; 0uzz(a)形变中只有形变中只有,zz位移中只

15、有位移中只有,zuu轴对称问题所有物理量仅为所有物理量仅为( (,z,z) )的函数。的函数。第七章空间问题的基本理论而由, 0F得出为 。 0, 0, (b)0, 0.zzzzZzFfzFfz平衡微分方程：平衡微分方程：第七章空间问题的基本理论 几何方程几何方程：其中, 00zu，几何方程为, , , (c)zzzzuuuzuuz。第七章空间问题的基本理论物理方程：物理方程：应变用应力表示：应变用应力表示：。，（zzZEzE)1 (2),)(1(d)第七章空间问题的基本理论 应力用应变表示：应力用应变表示：(), , ),112 (e).2(1)zzEzE ，（其中。zuuuzz第七章空间问

16、题的基本理论边界条件：边界条件： 一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。 在柱坐标中，坐标分量 的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。z ,第七章空间问题的基本理论思考题 试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。第七章空间问题的基本理论例题1例题2例题3例题例题第七章空间问题的基本理论例题 1设物体的边界面方程为 试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力 应力边界条件是什么形式？, 0),(zyxF),(zyxq第七章空间问题的基本理论,/ kFnxx（x, y, z)，其中1 / 2222,.xxy

17、zFFxkFFF 解：当物体的边界面方程为时，它的表面法线的方向余弦 为zyxnnn,0),(zyxF第七章空间问题的基本理论当面力为法向分布拉力q时，,xflq(x, y, z).因此，应力边界条件为 , ().xxyxyzzxxsFFFF qx,y,z代入应力边界条件，得 ,xxyyxzzxsxF F F kf(x, y, z).第七章空间问题的基本理论例题2 试求图示空间弹性体中的应力分量。 (a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。 (b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。qqooxxzz第七章空间问题的基本理论解：图示的(a),(b

18、)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。yx 0yx0yx对于(a)，有约束条件； 对于(b)，有对称条件。qqooxxzz第七章空间问题的基本理论则可解出：, 0)(1, 0)(1zxyyzyxxEE.11qzyx而两者的，因此，由物理方程：qzqqooxxzz第七章空间问题的基本理论例题 图示的弹性体为一长柱形体，在顶面 z=0 上有一集中力 F 作用于角点，试写出z=0 表面上的边界条件。xyobbaaz图7-5P第七章空间问题的基本理论解：本题是空间问题，z=0 的表面是小边 界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。 由于面力的主矢量和主矩是给定的， 因此，应力的主矢量和主矩的数值，