一道课本习题变式的解法初探

1、一道课本习题的变式练习的解法初探著名特级教师孙维刚老师说过：“做题要一题多解、多题一解、多解归一。”根据这个要求，我对课本的一道习题的变式练习进行初步探究，将其解法展示如下，就教于同行。 （1） 其余条件不变，当点是BC边上任意一点时， AE=EF是否还成立？若成立请写出证明过程。解法1：如图，在AB上截取AH=CE，易证AHEECF。解法2：如图，AEF=ACF，A、E、C、F四点共圆，AFE=ACE=45，EAF=AEF-AFE =45，AFE=EAF， AE=EF。解法3：作FHBC延长线于点H，易证ABEEHF。=1,，AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。类比变式（1）的

2、解法可得下面各题的解法。（2） 如下图：当点是BC延长线上任意一点时，问AE=EF是否成立？解法1：如图，延长BA至AH，使得AH=CE，则BH=BE, BHE=BEH，又DAE=AEB，HAE=HAD+DAE， CEF=AEB +AEF，HAE=CEF, AHEECF。AE=EF。解法2：如图，AEF=ACF，A、E、C、F四点共圆，EAF=FCE=45，AFE =AEF-EAF =45，AFE=EAF， AE=EF。解法3：作FHBC延长线于点H，易证ABEEHF。= = =1,，AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。()如下图：当点是CB延长线上任意一点时，问AE=EF是否成

3、立？解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，BHE=BEH45ECF，又AEB+HAE=AEB+CEF,HAE=CEF, AHEECF。AE=EF。解法2：如图，AEF+ACF=180，A、E、C、F四点共圆，ACE=FCE，AE=EF。解法3：作FHBC于点H，易知FH=HC,易证ABEEHF。=1,AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。（）把正方形改成等边三角形看看。如上图所示，AEF=60，证明AE=EF。解法1略解法2：AEF=ACF，A、E、C、F四点共圆，AFE=ACE=60=AEF，AEF是等边三角形AE=EF。解法3：作FHAC交BC延长线于点

4、H，易证ABEEHF。=1,，AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。（）：如图所示，点E在BC延长线上，AEF=60，证明AE=EF。 解法1：如图，延长BA至AH，使得AH=CE，则BH=BE, AHE=BEH=B=60,AHE =ECF，HAE=B+AEB， CEF=AEB +AEF，HAE=CEF, AHEECF。AE=EF。解法2：如图，AEF=ACF，A、E、C、F四点共圆，EAF=FCE=60=AEF，AEF是等边三角形AE=EF。解法3：作FHAC交BC延长线于点H，易证ABEEHF。= = =1,，AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。（）：如图所示，点

5、E在CB延长线上，AEF=60，证明AE=EF。解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，BHE=BEH60ECF，又AEB+HAE=AEB+CEF，HAE=CEF， AHEECF。AE=EF。解法2：如图，AEF+ACF=180，A、E、C、F四点共圆，AFE=ACE=60=AEF，AEF是等边三角形，AE=EF。解法3：如图，过F作FHC交BC于点H，易知FH=HC, AEB+BAE=AEB+CEF，BAE=CEF，又ABE=EHF，ABEEHF。=1,AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。若把正方形改成正五边形呢？ （）：如上图，AEF=108，证明AE=

6、EF。解法1略解法2：易知ACE=BAC=DCF=36，可得AEF=ACF，A、E、C、F四点共圆，AFE=ACE=36，EAF=180-AEF-AFE=36=AFE，AE=EF。解法3：作FHDC交BC延长线于点H，易证ABEEHF。=1,，AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。（）：如下图，点E在BC延长线上，AEF=108，证明AE=EF。解法1略解法2：易知AEF=ACF，A、E、C、F四点共圆，FAE=FCE=36，AFE=180-AEF-AEF=36,FAE =AFE，AE=EF。解法3：作FHDC交BC延长线于点H，易证ABEEHF。=1,，AB=EH，BE=FH，A

7、BEEHF。AE=EF。（）：如下图所示，点E在CB延长线上，AEF=108，证明AE=EF。解法1：如图，延长AB至BH，使得BH=BE，则有AH=CE，BHE=BEH36,BHEECF，又AEB+HAE=AEB+CEF，HAE=CEF， AHEECF。AE=EF。解法2：如图，易知ACE=FCE=36，AEF+ACF=180，A、E、C、F四点共圆，ACE=FCE，AE=EF。解法3：如图，过F作FHDC交BC于点H，易知FH=HC, ABE=EHF， AEB+BAE=AEB+CEF，BAE=CEF，ABEEHF。=1,AB=EH，BE=FH，ABEEHF。AE=EF。以上解法体现了一题多解，多题一解，还体现了多解归一，解法1和解法3都是构造全等三角形，解法2是构造辅助圆，都是运用构造法，利用转化思想把证明线段相等转化为证明三角形全等或角相等。著名特级教