工程数学形成性考核册答案

1、工程数学作业（一）答案（满分100 分）第 2 章矩阵（一）单项选择题（每小题2 分，共 20 分）a1a2a3a1a2a3设 b1b2b32 ，则 2a13b12a23b22a33b3（D）c1c2c3c1c2c3A. 4B. 4C. 6D. 6000100a01，则 a（A ）若2000100aA.1B. 1C.1D. 12211103乘积矩阵中元素 c23（ C）24521A. 1B. 7C. 10D. 8设 A , B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ）A.AB11B1B. (AB) 11ABAC.(A B)1A 1B 1D. (AB) 1A1B1设 A , B 均为

2、 n 阶方阵， k0且 k1 ，则下列等式正确的是（D）A.ABA BB.ABn A BC.kAk AD.kA( k) n A下列结论正确的是（A ）A. 若 A 是正交矩阵，则A 1 也是正交矩阵B. 若 A , B 均为 n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵C. 若 A , B 均为 n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵D. 若 A , B 均为 n 阶非零矩阵，则AB0矩阵13的伴随矩阵为（C）25A.13B.132525C.53D.532121方阵 A 可逆的充分必要条件是（B）A.A 0B. A0C.A*0D.A *0设 A , B , C 均为 n阶可逆矩阵，则 ( ACB )1（

3、 D）A. (B) 1A1C 1B. BC1A1C. A 1C 1(B 1)D.(B1)C1A1设 A , B , C 均为 n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）A. (A B)2A22AB B2B. (A B)B BA B2C. (2ABC) 12C1B1A1D. ( 2ABC )2CBA（二）填空题（每小题2 分，共20 分）210 1407001111 11x是关于 x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2111若 A为34矩阵， B为25 矩阵，切乘积AC B有意义，则C54矩阵为1515A1二阶矩阵010112120063设 A4 0,B1，则(A B)5183434设 A

4、, B 均为 3阶矩阵，且AB3，则 2AB72设 A, B 均为 3 阶矩阵，且A1, B3，则 3(A B 1)2 3若 A1a00为正交矩阵，则 a1212矩阵 402的秩为2033A1O11OA设 A1 , A2 是两个可逆矩阵，则1OA2OA21（三）解答题（每小题8 分，共48 分）设 A121154B； AC； 2A3C； A5B ； AB ；35, B, C3，求 A431(AB) C 答案： A03662A3C1716BAC437180A262277(AB) C56215BAB121518012023121103114设 A, B, C321，求 AC BC012211002

5、0241146410解： AC BC (A B)C3212012210002310102已知 A121, B111 ，求满足方程3A2X B中的 X342211解： 3A2 XB1 (3A B)1832X252227115写出 4 阶行列式中元素 a41 , a42 的代数余子式，并求其值020答案 ： a41 ( 1) 4 1 4360 a422534312151271152221020143602533110120(1) 4213645053用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：121234100023121100 2122 ； 111； 1122110102611111解：（ 1）122 10

6、0122 10022 r1r23 r2r1A | I212 0 102 r1r3036 2 102r 2r32210010632011r212012230233100 999112 r3r1r32121291202 r3r2010330990011009221 22199999910212033036021009221122999A 121299922199922626171000（2）A11752013(过程略 ) (3) A 11100102101104153001110110111101100求矩阵01210的秩1121132011011011r1r2101101110110111101

7、100r1r30 1 10111r2 r401 101112r1 r4101210100011100001110211320101112210001110解：01101R(A) 311r3 r40 1 1011100011100000000（四）证明题（每小题4 分，共 12 分）对任意方阵A，试证AA是对称矩阵证明：( AA)A (A)A AAAA A 是对称矩阵若 A 是 n 阶方阵，且AAI，试证 A1或 1证明 ：A 是 n 阶方阵，且 AAIAAA AA2I 1A1 或 A1若 A 是正交矩阵，试证A 也是正交矩阵证明：A 是正交矩阵A 1A(A) 1(A1)1A (A)即 A 是正

8、交矩阵工程数学作业（第二次）(满分 100 分 )第 3 章线性方程组（一）单项选择题(每小题2 分，共16 分)x12x24 x31x1用消元法得x2x30的解x2为（ C）x32x3A. 1, 0, 2B. 7, 2,2C. 11, 2,2D. 11 ,2 ,2x12x23x32线性方程组x1x36 （ B）3x23x34A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解10013向量组 0 ,1, 0,2,0的秩为（A ）00114A. 3B. 2C. 4D. 510111,0, 30,1设向量组为102114，则（ B）是极大无关组10101A.1 ,2B.1 ,2 ,3C.1 ,

9、2 ,4D.1 A 与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）A. 秩 (A)秩(A)B. 秩( A)秩(A)C. 秩 (A)秩 (A)D. 秩(A)秩(A)1若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解以下结论正确的是（D）A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解若向量组1 ,2 , s 线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出A

10、. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量9设 A ，为 n 阶矩阵，既是又是的特征值，x 既是又是的属于的特征向量，则结论（）成立是 AB 的特征值是 A+B 的特征值是 A B 的特征值 x 是 A+B 的属于的特征向量10设，为n 阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似 ABBA (AB)AB PAP1B PAPB（二）填空题 (每小题2 分，共16 分)当时，齐次线性方程组x1x20x1x2有非零解0向量组10,0,0 ,21,1,1线性 相关向量组1,2,3 , 1,2,0 ,1,0,0 ,0,0,0的秩是设齐次线性方程组1 x12 x23 x30的系数行

11、列式1230 ，则这个方程组有无穷多解，且系数列向量1 ,2 , 3是线性相关的向量组11,0 ,20,1 ,30, 0的极大线性无关组是1, 2向量组1 ,2 ,s 的秩与矩阵1 ,2 ,s的秩相同设线性方程组AX0 中有 5 个未知量，且秩( A)3，则其基础解系中线性无关的解向量有个设线性方程组AXb 有解， X 0 是它的一个特解，且AX0 的基础解系为 X1 , X 2 ，则 AXb 的通解为X 0 k1 X1k2 X 2 9若是的特征值，则是方程IA0的根10若矩阵满足A 1A，则称为正交矩阵（三）解答题 (第 1 小题 9 分，其余每小题11分)1用消元法解线性方程组x13x22

12、x3x463x18x2x35x402x1x24x3x412x14 x2x33x42解：132163r1r 2132163r2r11019234838 1502r1r30 1 78185r2r30 1 7818Ar1 r4r1 r421411205810002739901413201348001012263r4r3101923481019234819r3r10042124117r31r4017818r3017818r20101546235r3 r4003312001140011400561300561300011331004212442r4r110002x121010154615r4r20 1

13、001r4r 4 r3方程组解为x 21110 0 1140 0 10 1x 31000130 0 013x 43设有线性方程组11x111y11z2为何值时，方程组有唯一解或有无穷多解111112r1r2A11r1 r311r1r31121111120112011213解：112r2 r 3011(1)00(2)(1) (1)(1) 2当1且2 时， R(A)R( A)3 ，方程组有唯一解当1时， R(A)R(A)1 ，方程组有无穷多解判断向量能否由向量组1 ,2 ,3 线性表出，若能，写出一种表出方式其中82353, 17567, 2,331010321解：向量能否由向量组1, 2 , 3

14、 线性表出，当且仅当方程组1 x12 x23 x3有解23581037这里A1, 2,3 ,7563013411037001011732110000571R(A)R( A)方程组无解不能由向量1,2, 3 线性表出计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关113111739解：1,2,3,42806393341336该向量组线性相关求齐次线性方程组13172,28,39413113930,463336131101120001800000000x13x2x32 x405x1x22x33x40x111x22x35x403x15x24x40的一个基础解系解：13125r1r25123r1

15、r33r1r4A11251350410511 r 21421140 1313 r3r3 r 4001420300001312014370143701431010511420131142000100003rr10511421142r2r3r2r401437000000031 r3 r1105014123r3r210201400100000x15x351414方程组的一般解为x23 x3令 x313，得基础解系1414x4001求下列线性方程组的全部解x15x22x33x4113x1x24x32x45x19x24 x4175x13x26x3x41解904171536111

16、0917211114 r2017200000000令 x3k1 ， x4k 2 ，这里x711k1k2192x 21k11k 22x372x 4k1k 2试证：任一维向量3r1 r215 23 115r2 r11 09111472r1 r301427 28r2r30 145 r1 r42r2 r427 2801427280000002841456000001x17 x31 x412方程组一般解为92110x 22x3x4072k1 ， k2 为任意常数，得方程组通解711922k11k2172010001a1, a2 , a3 , a4都可由向量组111101111，2，3， 40011000

17、1线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式1000证明：0100102103214300001任一维向量可唯一表示为a11000a2a10a21a30a40a1 1a2 ( 21 )a3 ( 32 ) a4 ( 43 )a30010a40001(a1 a 2 ) 1( a 2a3 ) 2( a3 a 4 ) 3a4 4试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明： 设 AXB 为含 n 个未知量的线性方程组该方程组有解，即 R( A) R( A) n从而 AXB 有唯一解当且仅当R( A)n而相应齐次线性方程组AX0只有零解的充分必要条件是R( A)n

18、AXB 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX0 只有零解9设是可逆矩阵的特征值，且0，试证：1是矩阵 A1 的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使 AI(A 1A)A1(A) A1( )A 1A 11即 1 是矩阵 A 1的特征值10用配方法将二次型fx2x 2x2x 22x1x22x2x42x2x32x3x化为标准型12344解：f (x1 x2)2x32x42 2x2x4 2x2 x3 2x3x4( x1 x2) 2 x32 2x3 ( x2x4) x422x2x4( xx) 2( x3x2x) 2x21242令 y1x1x2 ， y2x3x2x4 ， y3x2 ， x

19、4y4x1y1y3x2y3即y 2y3y 4x3x4y4则将二次型化为标准型fy12y 22y32工程数学作业（第三次）(满分 100 分 )第 4 章随机事件与概率（一）单项选择题为两个事件，则（B ）成立A. (AB)BAB. (AB)BAC. (AB)BAD. (AB)BA如果（C）成立，则事件 A 与 B 互为对立事件A. ABB.AB UC. AB且 ABUD. A 与 B 互为对立事件10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买1 张，则前3 个购买者中恰有1 人中奖的概率为（ D）A. C1030.720.3B. 0.3C. 07.20.3D. 307.20.34. 对于事件

20、A , B ，命题（ C ）是正确的 A. 如果 A , B 互不相容，则 A , B 互不相容B.如果 AB，则 ABC. 如果 A, B 对立，则A,B对立D. 如果 A, B 相容，则A,B相容某随机试验的成功率为p(0 p 1) ,则在 3 次重复试验中至少失败1 次的概率为（ D）A. (1 p) 3B. 1 p 3C. 3(1 p)D. (1p)3p(1 p) 2p 2 (1p)6.设随机变量X B(n , p) ，且 E ( X )4.8, D( X)096.，则参数 n 与 p分别是（ A）A. 6,B. 8,C. 12,D. 14,7.f (x)为连续型随机变量X 的密度函数

21、，则对任意的a , b (a b)，E( X)（A）设A.xf ( x)dxB.bxf ( x)dxabf ( x)d xC.f ( x)dxD.a8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）sin x ,3sin x , 0 xA.f ( x)2xB.f ( x)220 ,其它0 ,其它sin x , 0x3sin x , 0xC.f ( x)2D.f ( x)其它0 ,其它0 ,9.设连续型随机变量X 的密度函数为f ( x) ，分布函数为 F ( x) ，则对任意的区间(a , b) ，则 P(aX b) （D ）F (a)F (b)bA.B.F ( x)dxaf ( a)f (b)bC.D.f ( x)dxa10.设 X 为随机变量， E(X), D( X)2，当（ C）时，有 E(Y)0, D(Y)1 A.YXB.YXC. YXD. YX2（二）填空题从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2 52.已知 P( A)0.3, P( B)05. ，则当事件A , B 互不相容时，P( AB)， P(AB)3. A , B 为两个事件，且BA，则 P(AB)P A 4.