高等数学大学课件91

1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、问题的提出实例实例1:1:密度为密度为 的的曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l.长度长度密度密度 m匀质之质量匀质之质量分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取极限取极限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精确值精确值),(yx 实例实例2:2:柱面的面积柱面的面积.),(),(alyxyxhlxoyz的面积的面积下面来求下面来求变量变量是是，度度的柱面的一部分，

2、其高的柱面的一部分，其高线线平面上曲平面上曲轴，准线为轴，准线为是母线平行于是母线平行于设设 分割分割,121insmmm ,),(1iiiimm 弧弧段段任任取取 .),(iiiisha 求和求和.),(1 niiiisha 取极限取极限.),(lim10 niiiisha 近似值近似值精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinlmmmllyxfxoyl并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分

3、成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l.),(lim),(,),(,),(,010 niiiillsfdsyxfdsyxflyxf 即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( ldsyxm 柱面的面积柱面的面积.),(

4、 ldsyxha2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 ldsyxflyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121llll 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 ldsyxflyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数4.性质性质 .),(),(),

5、(),()1( llldsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfll .),(),(),()3(21 llldsyxfdsyxfdsyxf).(21lll 5.几何与物理意义几何与物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当lyx ;),( ldsyxm ;,1),()2( ldslyxf弧长弧长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxlyxf.),( ldsyxfs柱面面积柱面面积)(:xyyl 准准线线oxyz),(yxfz ,)4(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对

6、曲线弧对yx.,22 lylxdsyidsxi 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., lllldsdsyydsdsxx 三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxllyxfl且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设证明证明上取一列点上取一列点在在至至依次由依次由上对应的点上对应的点时，时，变至变至由由假设参数假设参数lbayxmlt.),( ,1210bmmmmmann 加的参数值加的

7、参数值它们对应于一列单调增它们对应于一列单调增,1210 nnttttt), 2, 1()(),(nitytxiiii 既有既有. 00,max,max11 显然显然记记iniinits,)()()()(22221iiittitdtttsii 的定义，有的定义，有根据对弧长的曲线积分根据对弧长的曲线积分.),(lim),(10 niiiilsfdsyxf 分中值定理，有分中值定理，有由弧长的计算公式和积由弧长的计算公式和积.11iiiiiittttt ，其中其中不妨取不妨取的取法无关，所以，可的取法无关，所以，可上点上点值与值与存在，它的存在，它的连续，曲线积分连续，曲线积分由于由于),(),

8、(),(iiilsdsyxfyxf ), 2, 1()(),(niiiii .)()()(),(22dtttttf 于是于是 niiiilsfdsyxf10),(lim),( niiiiiitf1220)()()(),(lim 在公式中注意在公式中注意: :);(),(,),(. 1ttyxyxf 换成换成中的中的被积函数被积函数;)()(. 222dtttds 换成换成;. 3 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限特殊情形：特殊情形：.)(:)1(bxaxyl .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbal )(ba .)(:)2(dycyxl .)(1),(),(2dy

9、yyyfdsyxfdcl )(dc )().(),(),(:)3( ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf例例1 1计算计算,lixyds sin ,txat 其中其中l的方程是的方程是cos ,(0).sin ,2xattyat cos ,tyat 22()()ttdsxydt22(sin )( cos )atatdt.adt 解解axyollixyds 22()().ttdsxydtadt20cossinat at adt 320sin(sin )atdt 23(sin)220ta 3.2a (0)2t 例例2.)2, 1()2 , 1(

10、,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xylydsilxy42 解解dyydyyxds22)2(1)(1 0)2(1222 dyyyi例例3 3 计算计算其中其中l是以是以 (0,0),1,0 ,1,1oab为顶点的为顶点的.loaabba三角形边界三角形边界. .l是分段光滑是分段光滑弧段弧段,解解yx (1,1)b(0,0)(1,0)aoxy ldsyx)( boaboalds在在oa上，上， 0, 01yx 22dsdxdydx 1012oaxy dsxdx 故故在在ab上，上， 1, 01xydsdy 10312abxy dsy dy故故yx (1,1)b(0,0)(1,0)aoxy

11、 10222oaxy dsxdx故故在在bo上，上， , 01yxx2dsdx 因此因此yx (1,1)b(0,0)(1,0)aoxy.2222321)( ldsyx例例4 4计算计算222,dsxyz 其中其中是螺线是螺线的第一圈的第一圈222()()()tttdsxyzdt cos ,xat sin ,yat zbt (02 ).t 222(sin )( cos )( )atatb dt22.ab dt解解22.dsab dt222dsxyz 22222 20dtabab t 2222220( cos )( sin )()ab dtatatbt 22222 20( )abd btbab t

12、 2221arctan()0abbtbaa 222arctan.abbaba 22(1arctan)dxaxxcaa 以圆弧的圆心为坐标原点以圆弧的圆心为坐标原点, ,l例例5 5 有一段铁丝成半圆形有一段铁丝成半圆形l， 半径为半径为r，其上任一点的线密度的大小等于该点其上任一点的线密度的大小等于该点到其到其两端点连线的距离，两端点连线的距离，求其质量求其质量. .l的对称轴为的对称轴为y 轴轴, ,则则建立坐标系建立坐标系( (如图如图).). ,.llmx y dsyds yxo解解r ,x y l 的参数方程为的参数方程为lmyds cos ,sin ,xryr (0). 20cosr 20sinrd 22.r 22()().dsxydtrd d d s例例6 6. . 计算计算 ,d)(222szyxi 其中其中 为球面为球面 22yx 解解: : , 11)(:24122121 zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920id2cos221z. 1的交线的交线与平面与平面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2x sin2y则则五、小结1 1、对弧