注册电气公共基础-第9讲-高等数学(九)(2010新版)

1、（五）例题【解】属 0 型， 运用罗必塔法则，得0【 解 】 属型，运用罗必塔法则，得【 解 】属 0型，通过变形化为，然后运用罗必塔法则，得。【 解 】属 00 型，先取对数，求lim sin x ln x ：x0于是1 页【 例 1 - 2 -37 】已知函数y = f （ x ）对一切x 满足 xf （ x ） + 3x f （ x ） 2 = 1 - lx，若f （ x 0 ） = 0 （x00 ） ，则（ A ）f （ xo ）是 f （ x ）的极大值（ B ） f（ xo ）是 f （x ）的极小值（ C ） （ xo , f （ x0 ）是曲线 y= f （ x ）的拐点（ D

2、 ） f （x 0）不是f （ x ）的极值，（x 0 , f （ xo ） ）也不是曲线y f （ x ）的拐点【 解 】x x 0 是 f （ x ）的驻点，又f （ x 0） =1 (1 l x0 ) 0, 故 f （ x0）是 f （ x ）x0的极小值，应选（B ）。【 例 l-2-38】求函数 y = 2 x 3 + 3 x2 - 12x + 14在-3,4上的最大值与最小值。【解】 f （ x）=2x 3 + 3x 2 12x +14 , f （ x ） = 6x 2+6x12 = 6 （ x + 2 ）（ x -1）。令 f （x） = 0, 得x 1= -2, x 2= 1.

3、算出 f （ -3） = 23, f （ - 2 ） = 34 , f （ 1） = 7 , f（4） = 142, 故最大值为f （4 ） = 142 , 最小值为f （ 1） = 7 。【例l -2- 39 】函数f （x） = asin x +1sin3 x 在 x =处取得极值 , a 的值应为33（ A ）-2（ B ） 2（ C）23 3（D）-23.3【解】按可导函数取得极值的必要条件：f（ x 0）= acosxo + cos3x 0 = 0 , 代人x0 =，便得 a = 2 ，3故选（B ）。【例1 -2 - 40 】若 f （ x）在（a , b ）内满足f （ x ）

4、0 ，则曲线y = f（x ）在（a , b ）内是2 页（ A ）单调上升且是凹的（ B ）单调下降且是凹的（ C ）单调上升且是凹的（ D ）单调下降且是凸的【 解 】 由 f （ x ） 0 及函数单调性的判定法，知曲线是单调下降的。又由f （ x） 0 及曲线凹凸性的判定法，知曲线是凹的，故选（B ）。六、偏导数全微分（一）偏导数与全微分1 偏导数概念函数 z = f（ x,y ）对 x、y ,的偏导数依次记作z （或 fx（ x ,y ） ， z （或 fy , （ x, y ） ） ，xy它们的定义如下：类似地，可 以定义三元函数f （ x , y , z ）的偏导数 f x（x

5、， y , z ）、fy（ x , y ，z）、fz（ x , y ，z）等 .按定义，偏导数的求法仍属一元函数微分法的问题。2 多元复合函数的求导法则设 u =（ x ，y）、 v （ x ，y）均具有偏导数，而z f（ u ， v ）具有连续偏导数，则复3 页合函数z f （ x ，y），（ x ， y）的偏导数存在，且上面这一求导法则，简称为2 2 法则或标准法则。从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下：由于函数 z = f （ x ， y），（ x ， y）有两个自变量，所以法则中包含z 及z 的xy两个偏导数公式。 由于函数的复合结构中有两个中间变量，所以每一偏导数公式都是两项之和

6、， 这两项分别含有zu及z 。v 每一项的构成与一元复合函数的求导法则相类似，即“因变量对间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”。由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量。为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图（或称树形图）1-2 -1 来表示出因变量z 经过中间变量 u 、 v 再通向自变量x 、 y 的各条途径。按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广。如，特别当有一个自变量，u （x ） , v （ x ） , z = f （ u , v ）时，由于函数z = f （ x ）， ） ，（ x ）只有一个自变量，偏导数变成导数（这时称为全导数）；函数复合结构中有两个中间变量，所以全导数公式中是两项之和；每项构成与一元复合函数求导法则类似。于是，有全导数公式又如， u （ x ，y）， v （ y）， z = f （ u , v ） ，复合函数z =f （x ，y）,（ y） 的结构图如图1-2 - 2 所示