专题17二次函数的面积问题（原卷版）

1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】如图,抛物线yax2+bx+c经过A（1,0）、B（4,0）、C（0,3）三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DEBC于点E（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值【变式1-1】已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1,且m0（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T（t,0）,且-1t1,过点T作x轴的垂线,与抛物线交于点P,与直线交于点Q,当0m3时,求线段PQ长的最大值【变式1-2】如图1,已知抛物线y=x2+mx+m

2、2的顶点为A,且经过点B（3,3）（1）求顶点A的坐标（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点,求OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；（3）如图2,将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线,新抛物线与射线OA交于C,D两点,请问：在抛物线平移的过程中,线段CD的长度是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数（1）图象经过点时,则_；（2）当时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围；（3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M,N两点在抛物线上）,请问：的面积是与m无关的定值吗？若是,请求出这个定值

3、；若不是,请说明理由【变式2-1】如图,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点坐标为（1,0）,OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点,以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得M1BC、M2BC、M3BC的面积均为定值S,求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标【变式2-2】如图：已知抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧）,与交于点C,抛物线对称轴与轴交于点D,为轴上一点（1）写出点A、B、C的坐标（用表示）；（2）若以DE为直径的圆经过点C且与抛物线交于另一点F,

4、求抛物线解析式；P为线段DE上一动（不与D、E重合）,过P作作,判断是否为定值,若是,请求出定值,若不是,请说明理由；（3）如图,将线段绕点顺时针旋转30,与相交于点,连接.点是线段的中点,连接.若点是线段上一个动点,连接,将绕点逆时针旋转得到,延长交于点若的面积等于的面积的,求线段的长【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】已知抛物线（1）求证：抛物线与轴必定有大众点；（2）若P（,y1）,Q（2,y2）是抛物线上的两点,且y1y2,求的取值范围；（3）设抛物线与x轴交于点、,点A在点B的左侧,与y轴负半轴交于点C,且,若点D是直线BC下方抛物线上一点,连接AD交BC于点E,记ACE的面积为

5、S1,DCE的面积为S2,求是否有最值？若有,求出该最值；若没有,请说明理由【变式3-1】如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过、两点.求点的坐标；求抛物线的解析式；如图,点是直线上方抛物线上的一动点,当面积最大时,请求出点的坐标和面积的最大值.【变式3-2】如图,抛物线交轴于点和点,交轴于点.(1)求这个抛物线的函数表达式；(2)若点的坐标为,点为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形面积的最大值.【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】如图,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于两点,抛物线经过两点,与轴交于另一点.（1）求抛物线解析式及点坐标；（2）连接,求的面积；（3）若点为抛

6、物线上一动点,连接,当点运动到某一位置时,面积为的面积的倍,求此时点的坐标.【变式4-1】如图,抛物线yax2bxc经过原点O,与x轴交于另一点N,直线ykx4与两坐标轴分别交于A、D两点,与抛物线交于点B(1,m)、C(2,2)1. 求直线与抛物线的解析式2.若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x,y),设PON,求当PON的面积最大时tan的值3. 若动点P保持（2）中的运动线路,问是否存在点P,使得POA的面积等于PON的面积的？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由【变式4-2】如图,抛物线与直线交于、两点,过作轴交抛物线于点,直线交轴于点求、三点的坐标；若点是线段上的一个动点

7、,过作轴交抛物线于点,连接、,当时,求的值；如图,连接,及,设点是的中点,点是线段上任意一点,将沿边翻折得到,求当为何值时,与重叠部分的面积是面积的一、解答题1如图,抛物线交轴于、两点,其中点坐标为,与轴交于点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图,连接,点在抛物线上,且满足求点的坐标；（3）如图,点为轴下方抛物线上任意一点,点是抛物线对称轴与轴的交点,直线、分别交抛物线的对称轴于点、请问是否为定值？如果是,请求出这个定值；如果不是,请说明理由2如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点）,过点P作PFBC于点F,

8、点D、E的坐标分别为（0,6）,（4,0）,连接PD,PE,DE（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想：对于任意一点P,PD与PF的差为定值,请你判定该猜想是否正确,并说明理由；（3）请直接写出PDE周长的最大值和最小值3如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=16 cm,OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用含t的式子表示OPQ的面积S；（2）判断四

9、边形OPBQ的面积是否是一个定值,如果是,请求出这个定值；如果不是,请说明理由；（3）当OPQABP时,抛物线yx2+bx+c经过B、P两点,求抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下,过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N,求线段MN的最大值4如图1所示,抛物线交x轴于点和点,交y轴于点 求抛物线的函数表达式；如图2所示,若点M是抛物线上一动点,且,求点M的坐标；如图3所示,设点N是线段AC上的一动点,作轴,交抛物线于点P,求线段PN长度的最大值5如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A（0,4）,B（1,0）,C（5,0）（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点

10、P,使PAB的周长最小？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）该抛物线有一点D（x,y）,使得SABCSDBC,求点D的坐标6如图,抛物线与轴相交于点（1,0）、（3,0）,与轴相交于点,点为线段上的动点（不与、重合）,过点垂直于轴的直线与抛物线及线段分别交于点、,点在轴正半轴上,=2,连接、（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形是平行四边形时,求点的坐标；（3）过点的直线将（2）中的平行四边形分成面积相等的两部分,求这条直线的解析式（不必说明平分平行四边形面积的理由）7平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(,0),将此平行四边形绕点0

11、顺时针旋转90,得到平行四边形(1)若抛物线过点C,A,求此抛物线的解析式；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分的周长；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,间：点M在何处时的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标8如图,已知抛物线经过点、.（1）求抛物线的解析式,并写出顶点的坐标；（2）若点在抛物线上,且点的横坐标为8,求四边形的面积（3）定点在轴上,若将抛物线的图象向左平移2各单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点在新的抛物线上运动,求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）9如图,抛物线交轴于点和点,交轴于点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在抛物

12、线上,且,求点的坐标；（3）如图,设点是线段上的一动点,作轴,交抛物线于点,求线段长度的最大值,并求出面积的最大值.10抛物线经过点A（-1,0）、B（4,0）,与y轴交于点C（0,4）.(1)求抛物线的表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线的一点,分别连接PB、PC,若直线BC恰好平分四边形COBP的面积,求P点坐标；(3)在（2）的条件下,是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N,使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出Q点坐标,若不存在,请说明理由.11如图,顶点为的抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,过点作轴交抛物线于另一点,作轴,垂足为点.双曲线经过点

13、,连接,.(1)求抛物线的表达式；(2)点,分别是轴,轴上的两点,当以,为顶点的四边形周长最小时,求出点,的坐标；12如图,抛物线交轴于、两点,交轴于点,顶点为,其对称轴交轴于点直线经过、两点,交抛物线的对称轴于点,其中点的横坐标为(1)求抛物线的表达式；(2)连接,求的周长；(3)若是抛物线位于直线的下方且在其对称轴左侧上的一点,当四边形的面积最大时,求点的坐标13如图,抛物线经过点A（1,0）,B（5,0）,C（0,）三点,设点E（x,y）是抛物线上一动点,且在x轴下方,四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x,y）运动时,试求平行四边形OEBF的

14、面积S与x之间的函数关系式,并求出面积S的最大值？（3）是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF为正方形？若存在,求E点,F点的坐标；若不存在,请说明理由14如图,在直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（1,0）,B（3,0）,交y轴与C（0,3）,D为抛物线上的顶点,直线y=x1与抛物线交于M、N两点,过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求线段PQ的最大值；（3）设E为线段OC的三等分点,连接EP、EQ,若EP=EQ,直接写出P的坐标15如图,抛物线yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A（3,0）与B（1,0）,

15、与直线ykx（k0）交于点C（2,3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1,点E是抛物线上（x轴下方）的一个动点,过点E作x轴的平行线与直线OC交于点F,试判断在点E运动过程中,以点O,B,E,F为顶点的四边形能否组成平行四边形,若能,请求出点E的坐标；若不能,请说明理由（3）如图2,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DM交x轴于点M,当点E在抛物线上B,D之间运动时,连接EA交DM于点N,连接BE并延长交DM于点P,猜想在点E的运动过程中,MN+MP的和是否为定值？若是,试求出该定值；若不是,请说明理由16如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与X轴的交点为A,与y轴的交点为点B,过点B作x

16、轴的平行线BC,交抛物线于点C,连接AC现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DEOA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F设动点P,Q移动的时间为t（单位：秒）（1）求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当时,PQF的面积是否总为定值？若是,求出此定值,若不是,请说明理由；（4）当t为何值时,PQF为等腰三角形？请写出解答过程17已知抛物线=（0）与轴交于AB两

17、点,与轴交于C点,其对称轴为=1,且A（-1,0）C（0,2）.（1）直接写出该抛物线的解析式;（2）P是对称轴上一点,PAC的周长存在最大值还是最小值?请求出取得最值（最大值或最小值）时点P的坐标;（3）设对称轴与轴交于点H,点D为线段CH上的一动点（不与点CH重合）.点P是（2）中所求的点.过点D作DEPC交轴于点E.连接PDPE.若CD的长为,PDE的面积为S,求S与之间的函数关系式,试说明S是否存在最值,若存在,请求出最值,并写出S取得的最值及此时的值;若不存在,请说明理由.18如图,已知直线与抛物线： 相交于和点两点.求抛物线的函数表达式；若点是位于直线上方抛物线上的一动点,以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时,求此时四边形的面积及点的坐标；在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离,若存在,求出定点的坐标；若不存在,请说明理由.19如图,在平面直角坐标系中,将矩形中的点沿AE对折,使点D落在上的F点,已知AO=8,AD=10,G(-1,7),已知抛物线过点O ,F,G.（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线的对称轴上一动点,当取得最大值时,求点M的坐标；（3）一条动直线过平面上一点B,