自动控制原理第五章.

1、自动控制理论精品课程26/4/200950/电气学院电气学院第五章 频率特性法第五章 频率特性法 在工程实际中，人们常运用频率特性法来分析和设计控制系统的性能。 频率特性法是一种图解分析法，主要是通过系统的开环频率特性的图形来分析闭环系统的性能，因而可避免繁琐复杂的运算。来分析和设计控制系统的性能。第一节 频率特性的基本概念第二节 典型环节与系统的频率特性第三节 用实验法确定系统的传递函数第五节 频率特性与系统性能的关系第六节 频率特性法分析系统性能举例第四节 用频率特性法分析系统稳定性第七节 MATLAB用于频域分析第五章 频率特性法第一节 频率特性的基本概

2、念 频率分析法的数学模型是频率特性。通过对系统频率特性的分析来分析和设计控制系统的性能。一、频率特性的定义二、频率特性的几何表示法第五章 频率特性法G(S)R(s)C(s) 系统结构图如图系统结构图如图: 一 频率特性的定义设系统传递函数为设系统传递函数为 第一节 频率特性的基本概念 特征方程的根特征方程的根G(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)C(s)=G(s)R(s)R(s)=As2+ 2r(t)=Asin t=(s-s1)(s-s2)(s-sn)U(s)As2+ 2=A1s+jBissini=1+A2s-j+拉氏反拉氏反变换得变换得: c(t)=A1 e-j tej t+

3、A2 ni=1esit+Bi 系统的稳态响应为系统的稳态响应为 cs(t)=limc(t) te-j tej t+A2 =A1 求待定系数求待定系数: A1=G(s)(s+js=-jAs2+ 2)=G(-j-2jA)同理同理: -jG(j )G(-j )=|G(j )|e根据根据 -2j-jG(j )A|G(j )|e=2jA|G(j )|ejG(j )G(j2jA)A2= -2jcs(t)=A|G(jejG(j) t+e-jG(j) t+)|G(jt+cs(t)=A|G(j )|sin) 系统正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(j)|,稳态输出与输入

4、间的相位差为G(j)。 系统输入输出曲线系统输入输出曲线 r(t)t0c(t)AA G(j )r(t)=Asin tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)G(j)定义频率特性为定义频率特性为: )G(j jG(j )=|G(j )|e)e j()=A( 幅频特性：幅频特性： )=|G(j )|A( 相频特性：相频特性： G(j ) ( )= 频率频率特性表征了系统输入输出之间的特性表征了系统输入输出之间的关系，故可由频率特性来分析系统性能。关系，故可由频率特性来分析系统性能。第一节 频率特性的基本概念 频率特性可表示为：频率特性可表示为：)G(j )e j()=A( =P( )+jQ(

5、 )=tg-1 (Q(P( )+Q2()=A( P2( )第一节 频率特性的基本概念 例 求图所示RC电路的频率特性，并求该 电路正弦信号作用下的稳态输出响应。解解: 传递函数为传递函数为 G(s)=Ts+11T=RC频率特性频率特性 电路的稳态输出电路的稳态输出: +-ucur+-CiRur(t)=Asin tT+11)=G(j j =1+(T)2-j11+( T)2TT)t-tg-1 A sin( cs(t)= 1+( T)2幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性 )=|G(j )|A( =1+( T)21G(j ) ( )=T =-tg-1 第一节 频率特性的基本概念 0-80-60-40

6、-200()12345TTTTTRC电路的频率特性曲线 1A00.2A0.4A0.6A0.8AA()12345TTTTT第一节 频率特性的基本概念 0ReIm=0二 频率特性的几何表示法 频域分析法是一种图解分析法，常见的频率特性曲线有以下两种。 1幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线又幅相频率特性曲线又称奈魁斯特曲线称奈魁斯特曲线 幅相频率特性曲线 也称极坐标图也称极坐标图第一节 频率特性的基本概念 -20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-400-202040-1800-901100.11100.12对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称伯德图对数频率特性曲线又称伯德图. 对数

7、幅频特性十倍频程十倍频程纵坐标表示为：横坐标表示为： dB L( )=20lgA( ) lg -101dec 为方便只表示L( )=20lgA()单位为单位为 dB 斜率斜率 对数相频特性对数相频特性) ( 第一节 频率特性的基本概念 第五章 频率特性法第二节 典型环节与系统频率特性 频率特性法是一种图解分析法，它是通频率特性法是一种图解分析法，它是通过系统的频率特性来分析系统的性能过系统的频率特性来分析系统的性能,因而可因而可避免繁杂的求解运算。与其他方法比较避免繁杂的求解运算。与其他方法比较,它具它具有一些明显的优点有一些明显的优点.一、典型环节的频率特性二、控制系统开环频率特性一 典型环

8、节的频率特性1比例环节0KReIm (1) 奈氏图 G(s)=K第二节 典型环节与系统的频率特性=K)G(j K)= A( 0o ( )= (2) 伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性：=20lgKL( )=20lgA()20lgK010.1dB L( )对数相频特性：对数相频特性：=0o)=tg-1 (Q(P( )010.1) ( 2积分环节 (1) 奈氏图奈氏图 ReIm0=0G(s)=1s1j)=G(j 1)= A( -90o ( )= (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性：对数幅频特性： =-20lgL( )=20lgA() 对数相频特性：对数相频特性：10.1100-9010.110-2

9、0dB/dec-90o ( )=1L( )=-20lg1=0dB=0.1 L( )=-20lg0.1=20dB) ( dB L( )020-20第二节 典型环节与系统的频率特性 3微分环节 (1) 奈氏图奈氏图 G(s)=s)= A( 90o ( )=j)=G(j ReIm0=0 (2) 伯德图伯德图 对数幅频特性对数幅频特性： L( )=20lgA() =20lg 对数相频特性：对数相频特性：10.11010.11020dB/dec90o ( )=1L( )=20lg1 =0dB=0.1 L( )=20lg0.1=-20dB) ( dB L( )020-20090第二节 典型环节与系统的频率

10、特性4惯性环节G(s)=1Ts+11T+1j)=G(j T)211+( )= A( T -tg-1 ( )=(1) 奈氏图奈氏图 根据根据幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性求出特殊求出特殊点，然后将它们平滑连接起来。点，然后将它们平滑连接起来。取特殊点：取特殊点： =0)=1 A( 0o ( )=-90o ( )=-0)= A( 1=T)=0.707 A( -45o ( )=绘制奈氏图近似方法绘制奈氏图近似方法: ReIm0=011=T-450.707可以证明：可以证明： 惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 伯德图对数幅频

11、特性：对数幅频特性： 转折频率转折频率-20dB/decT110TdB L( )T)211+( )=20lgL( 1T( T)21=0dB20lg1 L( ) ( T)2120lg T1L( )=-20lg T 1/T频段，可频段，可用用-20dB/dec渐近渐近线近似代替线近似代替两渐近线相交点的为两渐近线相交点的为转折频率转折频率=1/T。 渐近线渐近线渐近线渐近线渐近线产生的渐近线产生的最最 大误差值为：大误差值为：21L=20lg =-3.03dB 精确曲线为精确曲线为精确曲线精确曲线相频特性曲线：相频特性曲线：T -tg-1 ( )=0-45-90) ( =00o ( )=1=T-9

12、0o ( )=-45o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 5一阶微分环节G(s)=1+Ts(1) 奈氏图奈氏图 1=0=1)= A( 0o ( )=)= A( 90o ( )=T)21+( )= A( T tg-1 ( )=T+1j)=G(j ReIm0=0第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 伯德图伯德图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴。20dB/decT110TdB L( )-20020) ( 对数幅频特性：对数幅频特性： T)21+( )=20lg L(渐近线渐近线相频特性曲线：相频特性曲线：T tg-1 ( )= 450 90=00o

13、( )=1=T45o ( )=90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 6振荡环节 n=(1- 21 )222n )2+( G(s)=nn s2+2 s+n22nn n22)=G(j - 2+j2 )2(nn n22)=A( - 2)2+(2 (1) 奈氏图奈氏图1=01)= A( 0o ( )=ReIm0-90o ( )=21)= A( =n=0)= A( -180o ( )= =0=0 =n 将特殊点平滑连接起来，可得近似幅相频率特性曲线。=0.4 幅相频率特性曲线因值的不同而异。=0.6=0.8n n22 - 2 ( )=-tg-1第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 伯德图伯

14、德图 对数幅频特性：对数幅频特性： )2(nn n22 - 2)2+(2 )=20lg L(nn=0dBL( )20lg1dB L( )n(2L( )20lg) n=-40lgn-20020-40n10 精确曲线与渐近线精确曲线与渐近线之间存在的误差与之间存在的误差与值有关，值有关，较小，幅值出现了峰值。较小，幅值出现了峰值。d=0) dA( 可求得可求得Mr=11- 2 2 r =1-2 2 n谐振频率谐振频率谐振峰值谐振峰值精确曲线精确曲线=0.1=0.3=0.5相频特性曲线：相频特性曲线：0-90-180) ( n n22 - 2 ( )=-tg-1=00o ( )=-90o ( )=

15、n=-180o ( )=不同，相频特性曲线不同，相频特性曲线的形状有所不同：的形状有所不同：=0.1=0.=0.-40dB/dec=0.7第二节 典型环节与系统的频率特性7时滞环节奈氏图是一奈氏图是一 单位圆单位圆(1) 奈氏图奈氏图1=0G(s)=e- sjG(j )=e- ( )=-1)= A( ReIm0=01)= A( 0o ( )=1)= A( - ( )= (2) 伯德图伯德图L( )=20lg1=0dBdB L( )020 ( )=-) ( 0-100-200-300第二节 典型环节与系统的频率特性 8非最小相位环节最小相位环节最小相位环节: 最小相位环节对数幅频特性与对数相频特

16、性之间存在着唯一的对应关系。对非最小相位环节来说，不存在这种关系。 开环传递函数中没有开环传递函数中没有s右半平面上右半平面上的极点和零点。的极点和零点。 开环传递函数中含有开环传递函数中含有s右半平面上右半平面上的极点或零点的极点或零点。非最小相位环节非最小相位环节:第二节 典型环节与系统的频率特性以一阶不稳定环节为例说明：以一阶不稳定环节为例说明：=0-1=0(1) 奈氏图奈氏图 G(s)=1Ts-11T-1j)=G(j T)211+( )= A( -1T -tg-1 ( )=ReIm01)= A( -180o ( )=)=0 A( -90o ( )=(2) 伯德图伯德图 T)211+(

17、)=20lgL( -20dB/decT1dB L( )-200200-90-180) ( 第二节 典型环节与系统的频率特性环节环节传递函数传递函数 斜率斜率dB/dec 特殊点特殊点()0o1s1Ts+11s2KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=转折转折频率频率转折转折频率频率1 =转折转折频率频率=n-90o-180o0o-90o0o90o0o-180o比例比例积分积分重积分重积分惯性惯性比例微分比例微分振荡振荡常用典型环节伯德图特征表 00, -20-20-400, 200, -40L( )=0=1,s2+2nns+22n1+ s第二节 典型环节与系统的频率特性二、控制系统开环频

18、率特性 频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能 , 这样可以简化分析过程。所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要。下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制。第二节 典型环节与系统的频率特性1系统开环幅相频率特性曲线 系统开环传递函数一般是由典型环系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：节串联而成的： 积分环节积分环节 的个数的个数时间常数时间常数系统的阶次系统的阶次开环增益开环增益nm幅频特性幅频特性: 相频特性相频特性: 近似绘制系统的奈氏图近似绘制系统的奈氏图: :先把特殊点找先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。出来，然后

19、用平滑曲线将它们连接起来。 Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n- 90o+mn-j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 imG(s)=sj=1(Tjs+1)n- K(i=1is+1)第二节 典型环节与系统的频率特性(1) 0型系统型系统= 0特殊点特殊点: 系统起点和终点系统起点和终点K=0n-m=2n-m=1n-m=3Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1nmnj =1i =1 ( )= tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0)=K A( 0o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=0=幅频和相频特性幅频和

20、相频特性: 第二节 典型环节与系统的频率特性(2) 型系统型系统=1系统起点和终点系统起点和终点n-m=2n-m=1n-m=3=Tj )21+( )= A( i )21+( mj=1Ki=1n-190o+mn-1j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 iReIm0=0=幅频和相频特性幅频和相频特性: =1特殊点特殊点: =0)= A( -90o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性(3) II型系统型系统=2n-m=2n-m=1n-m=3系统起点和终点系统起点和终点=0=mTj )21+( )= A( i )21+( j=12Ki=

21、1n-2180o+mn-2j =1i =1 ( )=- tg-1 Tj tg-1 i幅频和相频特性幅频和相频特性: ReIm0=0=2特殊点特殊点: )= A( -180o ( )=0)= A( -(n-m)90o ( )=第二节 典型环节与系统的频率特性 开环系统奈氏曲线起点和终点的综合情况如图:=1=0=3=2奈氏曲线的起点奈氏曲线的起点 奈氏曲线的终点奈氏曲线的终点n-m=2n-m=1n-m=3ReIm0ReIm0=第二节 典型环节与系统的频率特性 例例 试绘制系统的奈氏图。试绘制系统的奈氏图。 系统的奈氏图系统的奈氏图解：解：n-m=2I型系统型系统G(s)=Ks(Ts+1)特殊点特殊

22、点: =0=T)2K1+( )= A( T ( )=-90o-tg-1ReIm0=0=)= A( -90o ( )=-180o ( )=0)= A( 第二节 典型环节与系统的频率特性 例 已知系统的开环传递函数,试画出该系 统的开环幅相特性曲线。解：解： 1) T=00=K0型型，n=mG(s)=K(1+1+Ts s)T)21+( )= A( )21+( K ( )= tg-1 T tg-1 ReIm00o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )= A( K T K T 0o ( )=0= 1) 0=0o ( )=)=K A( )K A( 0o ( )1即即20lgKg 0：系统稳定。

23、：系统稳定。 2） Kg 1即即20lgKg 0即：系统稳定。即：系统稳定。 2）0 Kg 1即即20lgKg 0时系统是稳定的时系统是稳定的 其中：其中： 11.()()gggKG jH j)()(180. 20ccjHjG 结论：为了得到满意的性能：结论：为了得到满意的性能： ：300600 h：6dB第五节 频率特性与系统性能的关系一、开环频率特性与系统性能的关系二、闭环频率特性与时域指标的关系第五章 频率特性法 常将开环频率特性分成低、中、高三个频段。一 、开环频率特性与系统性能的关系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低频段低频段高频段高频段中频段中频段0第五节 频

24、率特性与系统性能的关系dB L( )c12 三个频段分别与系统性能有对应关系，下面具体讨论。1低频段低频段由积分环节和比例环节构成：低频段由积分环节和比例环节构成： G(s)=sK对数幅频特性为：对数幅频特性为：0KKK=0=1=2-20KG(j )= )(jL( )=20lgA( )K=20lg=20lgK-v20lg 根据分析可得如根据分析可得如图所示的结果：图所示的结果： 可知：可知： 曲线位置越高，K值越大；低频段斜率越负，积分环节数越多。系统稳态性能越好。dB L( )第四节 频率特性与系统性能的关系 2. 中频段 穿越穿越频率频率c附近的区段为中频段。附近的区段为中频段。它它反映了

25、系统动态响应的平稳性和快速性。反映了系统动态响应的平稳性和快速性。 (1) 穿越频率穿越频率c与动态性能的关系与动态性能的关系 可近似认为整个曲线是一条可近似认为整个曲线是一条斜率为斜率为 -20dB/dec的直线。的直线。设系统如图设系统如图:-20dB/dec0+20-20开环传递开环传递 函数：函数：G(s) sK闭环传递函数为：闭环传递函数为： ts3T穿越频率穿越频率c 反映了系统响应的快速性。反映了系统响应的快速性。s= css1+c(s)=c1s+11= c=3cdB L( )c第四节 频率特性与系统性能的关系(2) 中频段的斜率与动态性能的关系设系统如图设系统如图:-40dB/

26、dec0+20-20开环传递开环传递 函数：函数：G(s) s2K闭环传递闭环传递 函数为：函数为： 处于临界处于临界稳定状态稳定状态 中频段斜率为-40dB/dec ，系统平稳性难以满足要求。通常，中频段斜率为-20dB/dec 。 可近似认为整个曲线是一条可近似认为整个曲线是一条斜率为斜率为 -40dB/dec的直线。的直线。s2= 2c1+(s)=s22cs22cs2+ = c2c2dB L( )c第四节 频率特性与系统性能的关系3 高频段 高频段反映了系统对高频干扰信号的抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时间常数，对系统动态性能影响不大。一般一般 即

27、即 L( )=20lg|G(j )|0|G(j )|1|G(j )|)|=(j |1+G(j )|G(j )|第四节 频率特性与系统性能的关系4二阶系统开环频率特性与动态性 能的关系开环传递函数：开环传递函数： dB L( )020-20-20dB/decn2-40dB/dec0-90-180) ( 平稳性平稳性: :%快速性快速性: ts G(s)=2s(s+2)nn)=(jj n2G(j+2)n)=2A(2+(2)nn2)=-90o- tg-12n( cc第四节 频率特性与系统性能的关系(1) 相位裕量相位裕量和超调量和超调量% % 之间的关系之间的关系得得 0 0.707近似为近似为0.

28、2 0.4 0.6 0.8 1.010203040506070800204060801001201400 % %)=2A(2+(2)nn2cc=1c42n2c2n4+4-=0 =tg-1-22+14 42cn-2=+14 422=tg-1 nc=180o-90o-tg-12 nc=180o+) ( c%=100%e-1-2=100 ) ( c越大，越大，% % 越小；越小； 反之亦然。反之亦然。与与、%之之 间的间的 关系曲线关系曲线 第四节 频率特性与系统性能的关系根据：根据： 调节时间 ts 与c以及有关。不变时，穿越频率c 越大，调节时间越短。得得得得 (2) c 、与与ts 之间的关系

29、之间的关系ts=3ncn-2=+14 42ts3=c-2+14 42tstg6c = =tg-12-2+14 42再根据：再根据： 第四节 频率特性与系统性能的关系第五章总 结 开环传递开环传递 函数函数开环系统开环系统频率特性频率特性绘制频率绘制频率特性曲线特性曲线幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线确定频率指标确定频率指标 频率特性法是通过系统的开环频率特性的频域性能指标间接地表征系统瞬态响应的性能。系统性能的分析过程：对数频率特性曲线对数频率特性曲线判别系统稳定性判别系统稳定性c第四节 频率特性与系统性能的关系主要内容主要内容 一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念 r(t)=Asin

30、 tG(jt+cs(t)=A|G(j )|sin)频率特性频率特性: )G(j 幅频特性：幅频特性： )=|G(j )|A( 相频特性：相频特性： G(j ) ( )=二、典型环节的频率特性二、典型环节的频率特性 1. 奈氏图奈氏图 先把特殊点找出来，然后用先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。平滑曲线将它们连接起来。 2. 伯德图伯德图0o1s1Ts+1KL( )=0=1,L( )=20lgKT1=1 =n-90o0o-90o0o90o0o-180o00, -20-200, 200, -40s2+2nns+22n1+ s二、开环系统的频率特性二、开环系统的频率特性 1. 奈氏图奈氏

31、图 把特殊点找出来，然后用平滑曲把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。线将它们连接起来。 2. 伯德图伯德图 将各环节的对数频率特性曲线相加，将各环节的对数频率特性曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线即为开环系统的对数频率特性曲线。3. 根据根据伯德图确定传递函数伯德图确定传递函数三、三、奈奎斯特稳定判椐奈奎斯特稳定判椐 设有设有p 个不稳定极点个不稳定极点 当当=0 =0 p/2圈圈 闭环系统稳定闭环系统稳定 否则不稳定否则不稳定 曲线曲线逆时针方向绕逆时针方向绕(-1,j0)点点 )G(j )H(j 若系统开环传递函数中包含有若系统开环传递函数中包含有个积个积分环节分环节，将曲线逆时针方向修正，将曲线逆时针方向修正90o后，后，再使用奈氏判据。再使用