2010考研数学基础讲义—线性代数：第五章　特征值与特征向量

1、-线性代数-第五章特征值与特征向量本章主要包括特征值与特征向量的计算及证明，特别是相似矩阵及矩阵对角化.前面学习的矩阵的秩的概念，就是矩阵的一个特征，我们已经用“秩”刻画了矩阵的很多性质，诸如矩阵的可逆性，行向量组的线性相关性等.而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵的又一特征. 一、考研知识结构网络图二、相应知识点精讲向量组的正交规范化定义5.1 内积：设n维列向量和，则称为向量和的内积。定义5.2 向量的长度：向量的长度为，记为：.若=1，则称向量为单位向量.为单位向量正交：若，则与是正交的。定义5.3 向量的夹角：向量和的夹角=向量和正交（垂直）定义5.4 规范（标准）正交的向量组：若向量组满

2、足（1）向量组的每一个向量是单位向量，（2）向量组是正交的向量组.规范正交向量组：向量组里每个向量长度都是1，内积都为0。定义5.5 正交矩阵：若n阶方阵A满足（即：），则称A为正交矩阵.正交矩阵：正交矩阵都是可逆矩阵，都是正方形矩阵，并且性质5.1 内积的性质：（1）对称性：（2）线性性：，性质5.2 向量长度的性质：（1）非负性：当时，当时，（2）齐次性：（3）三角不等式：（4）施瓦茨不等式：性质5.3 正交向量的性质：正交的向量组（两两正交的非零向量）一定线性无关.性质5.4 n阶方阵A为正交矩阵，性质5.5 规范（标准）正交的过程（1）施密特正交化过程： 令：.（2） 规范（单位）化过

3、程：最后得到规范（标准）正交向量组.施密特正交化过程：设线性无关（1）（2）（3）（4）单位化：令，则两两正交，并且都是单位向量。特征值和特征向量定义5.6 设A为n阶矩阵，若存在数和非零的n维列向量，使，则称为A的特征值，为A的对应于特征值特征向量.特别要强调的是，特征向量必须是非零向量.若，定义5.7 为n阶方阵A的特征多项式，其值计算出来是形如的关于的n次多项式.为n阶方阵A的特征方程.事实上，及均称为方阵A的特征多项式，而方程及均称为A的特征方程。性质5.6 n阶方阵A的特征值和特征向量一定存在.n阶方阵A的特征方程一定有根（特别地，在复数范围内，它一定有n个根）.假设是特征方程的一个

4、根，那么，齐次方程组的系数矩阵的行列式，因此，根据克拉默法则，齐次方程组一定有非零解x，即：成立.此时，特征方程的根就是n阶方阵A的特征值（因此，特征值也叫特征根），非零列向量x就是n阶方阵A的对应于特征值的特征向量.因此，n阶方阵A的特征值和特征向量一定存在.矩阵的特征值和特征向量的求法1.求具体方阵的特征值的方法：用解方程的方法解之.先算出特征多项式，再令，求出其根，即得A的特征值.因为 关于的n次多项式，所以在复数范围内，A有n个特征值，A的特征值中可能有复特征值. 若已知，则就是A的一个特征值.2.求抽象方阵的特征值的方法：求抽象方阵的特征值，常利用特征值的定义求之.求时为利用已知条件

5、，常在等式两端左乘或右乘适当的矩阵，且多次用到定义，最终化为，由于，得到，求出特征值.3.求具体方阵的特征向量的方法：设是n阶矩阵，则求A的特征值和特征向量可按下述步骤进行：（1）计算A的特征多项式（或)；（2）求出特征方程的全部根，这些就是A的全部特征值；（3）对每个求出的特征值，求出齐次线性方程组的基础解系，则是A的对应于特征值的线性无关的特征向量，且A的对应于特征值的任一特征向量都是的非零线性组合。A的对应于特征值的全部特征向量为.4.求抽象方阵的特征向量的方法：求抽象方阵的特征向量，常利用特征值和特征向量的定义求之.矩阵的特征值和特征向量的性质1.一些特殊形式矩阵的特征值和特征向量：（

6、1）上三角形矩阵、下三角形矩阵和对角形矩阵的特征值都是主对角线上的全部元素.（2）n阶数量矩阵的特征值全为，且任意非零n维列向量均为属于特征值的特征向量.数量矩阵：任意一个均为的特征向量。2.设n阶方阵A的特征值为，A的属于特征值的特征向量为，则（1）对任意常数k，矩阵的特征值为.（2）对任意自然数k，的特征值为.（3）设多项式，则矩阵多项式为，是矩阵多项式的一个特征值.（4）当A可逆时，则是的特征值.（5）若A可逆，则的特征值为.（6）的特征值为.（7）的特征值为.3.设是n阶方阵A的n个特征值（有可能有相同的），则 （1）（2）（特征值都不为零）（3）矩阵A的对应于不同的特征值的特征向量是

7、线性无关的，特别地，当矩阵A有n个不同的特征值时（没有重根时），A有n个线性无关的特征向量.4.设n阶方阵A的特征值为，A的属于特征值的特征向量为，则（1）对任意常数k，是矩阵kA的属于特征值k的特征向量. （2）对任意自然数k，是矩阵的属于特征值的特征向量.（3）设多项式，,是矩阵多项式的属于特征值的特征向量.（4）是矩阵的属于特征值的特征向量.（5）是矩阵的属于特征值的特征向量.（6）是矩阵的属于特征值的特征向量.5.设n阶方阵A的特征值为，A的属于特征值的线性无关的特征向量为，则A的属于特征值的全部特征向量为：，其中是不全为零的任意常数.三、典型例题剖析矩阵的特征值和特征向量【例题1综合

8、题】已知n阶矩阵A的特征值，且A可逆。（1）证明：的特征值为。【答疑编号911205101】（2）求的特征值。【答疑编号911205102】解：（1）0令，则的特征值是（2），A可逆的特征值是又的特征值是， 的特征值就是A*的特征值+2。【例题2计算题】设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵A的伴随矩阵。试求和的值。【答疑编号911205103】解：可逆，即令，则即，即；或【例题3计算题】设矩阵，求的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵。【答疑编号911205104】分析：先求解： 令的特征值是，,（不全为0）是属于特征值9的的所有的特征向量。令，得

9、基础解系是属于的特征向量。【例题4选择题】设A是n阶实对称矩阵，p是n阶可逆矩阵。已知n维向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（）（A）（B）（C）（D）【答疑编号911205105】分析：，存在相似矩阵【考点一】1.相似矩阵定义：设A和B为n阶方阵，若存在可逆矩阵p，使，则称A与B相似。2.相似矩阵性质：若n阶方阵A与B相似，则有：；秩A=秩B；与相似；A与B有相同的特征值；与相似。【例题5计算题】已知，且A与B相似，求的值。【答疑编号911205201】解：A与B相似A与B有相同的特征值A，B特征值是 1是A的特征值，又得【例题6填空题】若四阶矩阵A与B相似，矩阵A

10、的特征值为，则行列式_。【答疑编号911205202】A与B相似B的特征值为的特征值为特征值互不相同与对角矩阵相似存在可逆矩阵P，使将n阶方阵A化为相似对角矩阵【考点二】1.n阶方阵A与对角矩阵相似有n个线性无关的特征向量的每个特征值中线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数。对于特征方程的每个重根，秩。什么叫重根特征方程：若，则叫做特征方程的重根。2.若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对角矩阵相似。3.设A为n阶实对称矩阵，则有：（1）实对称矩阵必可对角化。（2）A的特征值全是实数，特征向量都是实向量。（3）属于不同特征值的特征向量必正交（也线性无关）。（4）k重特征值必有k个线

11、性无关的特征向量，即秩。（5）存在正交矩阵p，使。【例题7选择题】设A，B是n阶矩阵，且A相似于B，则必有（）（A）（B）A和B有相同的特征值和特征向量。（C）A与B都相似于一个对角阵。（D）对任意常数k，均相似于。【答疑编号911205203】分析：A与B相似存在可逆矩阵P，使,得，而两个矩阵相似无法得到两个矩阵相等，因此选项（A）错误。选项（B）错误。A与A相似，但A不一定与对角矩阵相似，所以（C）错误。选项（D）正确：存在可逆矩阵P，使与相似【例题8计算题】设有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件。【答疑编号911205204】解：3阶方阵A有3个线性无关的特征向量A与对角矩阵相似是A的二重特征值是A的一重特征值秩矩阵任意两行对应的元素成比例秩【例题9计算题】已知是矩阵的一个特征向量（1）试确定参数及特征向量所对应的特征值。【答疑编号9112052