D89二元泰勒公式

1、*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第八章 一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数)(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记号记号 (设下面涉及的偏导数连续): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),

2、(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(c000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,),(00kyhx为此邻域内任 一点, 则有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn) 10(nr其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格

3、朗日型余项朗日型余项 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 令),10(),()(00tktyhtxft则 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(c)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(

4、00)(yxfkhmyxm由 )(t的麦克劳林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),()(001! ) 1(1kyhxfkhrnyxnn说明说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 m , ,22kh 令则有1)(! ) 1(nnkhnmrsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnm)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnm)(no2机动 目录 上页 下页 返

5、回 结束 (2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函数),(yxfz 在区域d 上的两个一阶偏导数恒为零, .),(常数yxf由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数)0 , 0()1ln(),(在点yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2,

6、1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(c333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31ryx其中),()(43khfkhryx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某

7、邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当a 0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx02 bac02 bac02 bac定理定理2 (充分条件)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfy

8、y,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以akyhxfxx),(00bkyhxfyx),(00ckyhxfyy),(00机动 目录 上页 下页 返回 结束 22221kckhbha其中其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是z),(21khq)(22kh ,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khqz(1) 当 acb2 0 时, 必有 a0 , 且 a 与c 同号, )()2(),(222221kbackbkhbahakhqa)()(2221kbackbhaa可见 ,0),(,0khqa时当从而z0 , 因此),(yxf;),(00有极小值在点yx机动

9、目录 上页 下页 返回 结束 )(2o22221kkhh,0),(,0khqa时当从而 z0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2) 当 acb2 0 时, 若a , c不全为零, 无妨设 a0, 则 )(),(221kkbhakhqa)(2bac ),(0)()(),(0000yxyybxxayx接近沿直线当时, 有,0kbhaakhq与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有akhq与故),(同号.可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo机动 目录 上页 下页 返回 结束 +xy),(00yxo若 ac 0 , 则必有 b0 ,不妨设 b0 , 此时 222),(kckhbhakhq),(00kyhx对点,同号时当kh,0),(khq,异号时当kh,0),(khq可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhb2,0z从而,0z从而(3) 当acb2 0 时, 若 a0, 则21)(),(kbhakhqa若 a0 ,