(预测题)中考数学专题37动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(含解析)

1、专题37动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况-以动

2、态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题，模拟题。在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。11.如图，在平面直角坐标系xOy中，A （2,0）,B（4,0）,动点C在直线l：y x上，若以A、B、C三点2为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】A .

3、 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】Ao【考点】 单动点问题L,坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。1【解析】如图，AB的垂直，平分线与直线l：y 1x相交于点C,则以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三 2角形。?A (3 03 B (4, 0),，点C的横坐标为3。丁点C在说知:于-一，点C的横坐标丸1O311二51n乙BOC= M 2AB=BC=C A点C的个数是1 。故选A。2.如图，已知直角梯形 ABCM, AD/ BC, ABBC, AA2, AB= 8, CD= 10.(1)求梯形ABCD勺面积；(2)动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿

4、B-ZDfC方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2 个单位/s的速度沿C-DfA方向向点A运动；过点Q作QE，BC于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一 点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.问：当点P在B-A上运动时，是否存在这样的 t ,使得直线PQ将梯形ABCD勺周长平分2若存在，请求出 t 的值，并判断此时 PQ是否平分梯形 ABC而面积；若不存在，请说明理由.在运动过程中，是否存在这样的t,使得以P、D Q为顶点的三角形恰好是以 DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.13 、34【答案】(1) 40; (2)不存在；【解析】试

5、题分析:(1)求面积要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出底边后即可求出梯形 的面积.(2)(DFQ平分梯形的周长，那么M+DQ十AP=BCY/BF已知了时的长，可以用t光声示出 APBP, CQQD的长,那么可根据上面的等量关系求出+的值，再求出梯形面积即可 拈答案s分三种情况进行讨论：一当P在期上时，即0WtW4,等腰&FDQ以DQ为明 因此PQ=DF或DQ=FQj 可以通过构建直角三角形来表示出DF, PQ的长，然后根据得出的等量关系来京1的值.二、当P在AD上时，即dt5,由于EHUXDFO,因此DP=M=107t?因此叫DQ恒相等.三、当P在CD上时，即l5Q=PF

6、f 10-2r - Ji二一3*十 6* j 解得 t =4秒.II : OQ=PQ； 10-2f =-告2+ 64 ?比简得：3t -26；+ 45 = 0 ,解得:t13年t 43（不合题意舍去）13扃3，第二种情况：4t 5 时.DP=DQ=10 2t.当445时，以DQ为腰的等腰 DPQ亘成.立.第三种情况：5vtW6时.DP=DQ=2匕10.当5t6时，以DQ为腰的等腰 DPQ值成立.t 13 734综上所述，3或4Wt5或5vtW6时，以DM腰的等腰 DPQ立.考点：1.直角梯形；2.等腰直角三角形；3.动点型.3.如图，在直角梯形ABC邛,AD/CB, C 90o，BC 16,

7、DC 12, AD 21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B运动，点P,Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为 t （秒）.(1)设 BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；(2)当t为何值时,四边形ABQ呢平行四.边形.(3)当t为何值时，以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形16【答案】(1) S=96-6t (0wtvl6). (2) 5; (3) t= 2 或 t= 3【解析】试题分析MD若过点P作PI1BC于距则四边形PDCM为矩形/得出PI=DO12

8、,由QB-10-t,可知:s-PKXQB=96-6t|7Jap 当四边形研亚为平行四边形时,AP=EQ,即21-2t=l的匕可将上求出；(3)本题应分三种情况进行讨论，FQ=EQj在Rt&QJI中，由起用41* PQFA将各数据代入, 聘时间上求出5若BP=BQj在RtZkPMB卬，由瞪：力那的寸Q将数据代入，可将时间L求出j若PmPQ, Pr-PM:+BI!:, PB=PQ,将数据代入，可将后间上求出.试题解析：(1)过点尸作PMLBC于M,则四边形PDCM!矩形.PM=DC=12,.QB=16-t,11. . s= 2 qb?pm=2 (16-t ) x 12=96-6t (0wtv16)

9、.(2)当四边形ABQ混平行四边形时，AP=BQ 即 2.1-2t=16-t ,解得：t=5 ,当t=5时，四边形 ABQ混平行四边形.由图可知,像3的三七，若以B. P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,邛八分三种情况：0PQ=BQ,在 RtZkmj 中,Ptf=ta+12J,由 PQJ 师得 tJ+12= (16-t) 解得 t= - BiP=EQ,在 R-tAPMB 中，PE、(l-2t) +12T,由 PE-峻得(15-2t) :+12:= T&七) 即 S-321+144=0 此时A= (-32);-4X3X144=TO4OJ 所以此方程无解，16,t2=16 (不合题意，舍去)若 PB

10、=PQ 由 PB2=PQ得 t2+122= (16-2t ) 2+122得 t 产 3716综上所述，当t= 2或t= 3时，以B,巳Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.考点：1.直角梯形；2.等腰三角形的判定；3.勾股定理；:4.平行四边形的判定.4.如图，已知抛物线 y x2 4与x轴交于点A,与y轴交于点B,动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段 OA上运动，过点 Q作x轴的垂线交线段 AB于点N,交抛物线于点 P,设运动的时间 为t秒。问： AONt归否为等腰三角形？若能，求出 t的值；若不能，请说明理.由。，A(2, 0),B(0 , 4),即 OA=2,OB=4 .tan

11、/ OAB=2若 AON为等腰三角形，有三种情况:(11) g ON=OA ,如图？货示,过点N作NQ1OA于点Q,设 AQ=x,贝ij NQ=AQ*tanOAB=2xj OQ=OA-AQ -2 -Xj在ReNOQ中由勾股定理得；.4 M八 八-6x= - f 口0=0 A AQ =x= 一 &(I )若ON=AN如图1所示,过点N作NQL OA于点Q,1则Q为OA中点，OQ：OA=1, t= O2t=3。5【考点】股定理,过点N作NQL OA于点Q,设 AQ=K 贝U AQ?tan/ OAB=2x,在RtAAND,由勾股定理得：NQ+AQ=AN,即 x2 2x 2 22 ,解得 xi=43 , X2=5x= 25 , OD=2- x=2 - 25。浮舍去）55.t=1 - - o5综上所述，当t为1秒、3秒，1 - 15秒时， AONK