2021高考数学二轮复习专题练二基础小题练透热点专练5数学文化含解析

1、热点专练热点专练 5 5数学文化数学文化一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020辽宁五校模拟)欧拉公式 ei10 因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然对数的底数 e，圆周率，虚数单位 i，自然数单位 1，以及 0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合 ae，i，1，0，则集合 a 中不含无理数的子集共有()a.8 个b.7 个c.4 个d.3 个解析欧拉公式中数值组成的集合 a 中不是无理数的元素一共有 3 个，故共有 238(个)子集.故选 a.答案a2.(2020全国卷)埃

2、及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()a.514b.512c.514d.512解析设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h，侧面三角形底边上的高(斜高)为 h.由已知得 h212ah.又h2h2a22，h212ah14a2，ha212ha140，解得ha514(负值舍去).故选 c.答案c3.(2020成都模拟)孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有 5 个人分

3、 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是()a.15b.16c.18d.21解析设得到橘子最少的人的橘子个数为 a1.由题意，得 5a1542360，解得 a16.所以得到橘子最多的人所得橘子的个数为 a1(51)361218.故选 c.答案c4.(2020广州一模)中国古代十进制的算筹计数法，在史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数的一种方法.例如：3 可表示为“”，26 可表示为“”.现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 19 这 9 数字表示

4、两位数的个数为()a.13b.14c.15d.16解析根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.数字组合 1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7 中，每组可以表示 2 个两位数，则可以表示 2714 个两位数.数字组合 3，3；7，7 中，每组可以表示 1个两位数.则可以表示 212 个两位数，则一共可以表示 14216 个两位数，故选 d.答案d5.(2020青岛调研)八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种

5、符号，按照大自然的阴阳变化平行组合， 组成八种不同的形式(如图所示).从图中的八卦中随机选取一卦， 则卦中恰有两个“”的概率为()a.12b.14c.38d.18解析由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为38.答案c6.(2020新高考山东、海南卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为 o)， 地球上一点 a 的纬度是指 oa 与地球赤道所在平面所成角，点 a 处的水平面是指过点 a 且与 oa 垂直的平面.在点 a 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 a 处的纬度为

6、北纬 40，则晷针与点 a 处的水平面所成角为()a.20b.40c.50d.90解析示意图如图所示，o 所在平面为地球赤道所在平面，o1所在平面为点 a 处的日晷的晷面所在的平面，由点 a 处的纬度为北纬 40可知oao140，又点 a 处的水平面与 oa垂直，晷针 ac 与o1所在的平面垂直，则caboao140，故晷针 ac 与点 a 处的水平面所成角为 40.故选 b.答案b7.(2019全国卷)古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5125120.618，称为黄金分割比例)， 著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外， 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚

7、脐的长度之比也是512.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是()a.165 cmb.175 cmc.185 cmd.190 cm解析依题意可知accd512，abbc512，(1)腿长为 105 cm，即 cd105，ac512cd64.890，adaccd64.890105169.890，所以 ad169.890.(2)头顶至脖子下端的长度为 26 cm，即 ab26，bc2ab5142.071，acabbc68.071，cd2ac51110.147，adaccd68.071110.147178.218，综上，169.89

8、0ad0，b0).由题意可得双曲线的渐近线方程为 y33x，即ba33，所以离心率 eca1ba22 33.答案a二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.9.(2020济宁模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数 f(x)，存在一个点 x0，使得 f(x0)x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()a.f(x)ln xb.

9、f(x)x22x3c.f(x)2x21，x1，|2x|，x1d.f(x)x1x解析对于 a，由于 xx1ln x，所以 ln xx 无解，因而该函数不是“不动点”函数；对于 b，令 x22x3x，得 x2x30，因为14(3)0，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于 c，当 x1 时，令 2x21x，得 x12或 x1，从而该函数为“不动点”函数；对于 d，令 x1xx，得1x0，无解，因而该函数不是“不动点”函数.故选 bc.答案bc10.(2020济南模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域有着显著成就，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数 f(x)1，x 为有理

10、数，0，x 为无理数.关于 f(x)，下列说法正确的是()a.xr，f(f(x)1b.函数 f(x)是偶函数c.对于任意一个非零有理数 t，f(xt)f(x)对任意 xr 恒成立d.存在三个点 a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)，c(x3，f(x3)，使得abc 为等边三角形解析xr，f(x)0，1，f(f(x)1，a 正确；f(x)1，x 为有理数，0，x 为无理数1，x 为有理数，0，x 为无理数f(x)，则函数 f(x)是偶函数，b 正确；f(xt)1，xt 为有理数，0，xt 为无理数1，x 为有理数，0，x 为无理数f(x)，c 正确；易知 a33，0，b(0，1)，c33，

11、0三点所连线构成等边三角形，d 正确.故选 abcd.答案abcd11.(2020重庆质检)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线 c：yx2，直线 l 为曲线 c 在点(1，1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线 c、直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的几何体为.给出以下四个几何体：图 1 是底面直径和高均为 1 的圆锥；图 2 是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图 3 是底

12、面边长和高均为 1 的正四棱锥；图 4 是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高为 1 的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积不相等的是()a.图 1b.图 2c.图 3d.图 4解析由题意可知，几何体是由阴影部分旋转一周得到，其横截面为环形，设阴影部分等高处，抛物线对应的点的横坐标为 x1，切线对应的点的横坐标为 x2.由 f(x)x2，可得 f(x)2x，所以 f(1)2，所以曲线 c 在点(1，1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1，所以 x21y， x2y12， 所以几何体在等高处的横截面面积 sx22x21y

13、122.图 1 中的圆锥高为 1，底面半径为12，易知该圆锥可由直线 y2x1 绕 y 轴旋转得到，其横截面面积 sx2y122，所以几何体和图 1 中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以它们的体积相等，同理可知几何体和图 2，3，4 中的几何体的体积均不相等，故选 bcd.答案bcd12.(2020枣庄模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 a，b 的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 xoy 中，a(2，0)，b(4，0)，点 p 满足|pa|pb|12

14、.设点 p 的轨迹为 c，则下列结论正确的是()a.c 的方程为(x4)2y29b.在 x 轴上存在异于 a，b 的两定点 d，e，使得|pd|pe|12c.当 a，b，p 三点不共线时，射线 po 是apb 的平分线d.在 c 上存在点 m，使得|mo|2|ma|解析设点 p(x，y)，则|pa|pb|（x2）2y2（x4）2y212.化简、整理，得 x2y28x0，即(x4)2y216， a 错误.当 d(6， 0)， e(12， 0)时，|pd|pe|12， b 正确.cos apo|ap|2|po|2|ao|22|ap|po|，cos bpo|bp|2|po|2|bo|22|bp|po

15、|，要证射线 po 为apb 的平分线，只需证明 cos apocosbpo，即证|ap|2|po|2|ao|22|ap|po|bp|2|po|2|bo|22|bp|po|.又|pb|2|pa|，化简、整理，即证|po|22|ap|28.因为|po|2x2y2，2|ap|282x28x2y2(x28xy2)(x2y2)x2y2，所以 cos apocos bpo，c 正确.设 m(x0，y0)，由|mo|2|ma|可得 x20y202 （x02）2y20，整理，得 3x203y2016x0160，而点 m 在 c 上，所以满足 x20y208x00.联立方程解得 x02，y0无实数解，d 错误

16、.故选 bc.答案bc三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.我国古代数学名著九章算术在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是 8 步和 15步，则其内切圆的直径是_步.解析由于该直角三角形的两直角边长分别是 8 和 15，则得其斜边长为 17，设其内切圆半径为 r，则有12(81517)r12815(等积法).解得 r3，故其直径为 6 步.答案614.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座号分别为 1、2、3、4 的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座号为 1 和 2 的座位；乙

17、：我不坐座号为 1 和 4 的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座号为 2 的座位，我就不坐座号为 1 的座位.那么坐的座号为 3 的座位上的是_.解析根据题意，甲、乙、丙三人都不坐座号为 1 的座位，那么只有丁坐座号为 1 的座位，这样乙就坐座号为 2 的座位，易知丙只能坐座号为 3 的座位，则甲坐座号为 4 的座位.答案丙15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为 r(x)1p，当 xqp（p，q 为整数，qp为既约真分数） ，0，当 x0，1 或0，1上的无理数.若 f(x)是定义在 r 上且最小正周期为 1 的函数，当 x0，1时，f(x)r(x)，则 f173 f(lg 20)_.解析由函数的最小正周期为 1 可得 f173 f(lg 20)f