第五章_1 虚拟变量模型

1、5.1 5.1 虚拟变量模型虚拟变量模型5.2 5.2 滞后变量模型滞后变量模型5.1 5.1 虚拟变量模型虚拟变量模型一、虚拟变量的含义一、虚拟变量的含义二、虚拟变量的设置二、虚拟变量的设置三、虚拟变量的引入三、虚拟变量的引入一、虚拟变量的含义一、虚拟变量的含义一种人为构造的、取值仅为一种人为构造的、取值仅为“1”1”或或“0”0”的变量的变量1. 1. 定量变量和定性变量定量变量和定性变量定量变量定量变量：测度等级为间距（：测度等级为间距（intervalinterval）或比率（）或比率（ratioratio）尺度的变量，）尺度的变量，如需求量、价格、收入、产量等如需求量、价格、收入、产

2、量等 其取值为具有实际含义的数据其取值为具有实际含义的数据 可以在建模过程中直接使用这些变量及其数据可以在建模过程中直接使用这些变量及其数据定性变量定性变量：测度等级名义（：测度等级名义（nominalnominal）或顺序（）或顺序（ordinalordinal）尺度的变量，）尺度的变量，如性别、教育程度等如性别、教育程度等 其取值为类别或顺序，可用数值表示，但数值不具有实际含义，仅是表示其取值为类别或顺序，可用数值表示，但数值不具有实际含义，仅是表示类别或序次的代码类别或序次的代码 性别（性别（1 1男；男；0 0女）、教育程度（女）、教育程度（1 1小学、小学、2 2初中、初中、3 3高

3、中、高中、4 4大学）大学） 实际建模中，考虑定性变量的影响是必要的，但实际建模中，考虑定性变量的影响是必要的，但直接使用定性变量的取值直接使用定性变量的取值则具有不合理性则具有不合理性2. 2. 直接使用定性变量的不合理性直接使用定性变量的不合理性【例例】：考虑教育程度（考虑教育程度（E E）、工龄（）、工龄（X X）和收入（）和收入（Y Y）的关系。）的关系。012iiiiYXE 模型中系数模型中系数 2 2 的经济意义是什么？的经济意义是什么？ 注意到注意到 2 2 是一个是一个常数，常数，这意味着什么？这意味着什么？ 教育程度的变化对收入的影响是固定不变的，教育程度的变化对收入的影响是

4、固定不变的，即：教育程度每提升一个即：教育程度每提升一个 等级，所带来的收入的变动均为等级，所带来的收入的变动均为 2 2 显然，对于大多数实际情况而言，这种假定存在明显的不合理性显然，对于大多数实际情况而言，这种假定存在明显的不合理性问题：建模过程中如何使用定性变量？问题：建模过程中如何使用定性变量？其中：其中：E E：1 1本科；本科；2 2硕士；硕士；3 3博士博士【例例】：对于上例，设置如下两个变量：对于上例，设置如下两个变量：3. 3. 正确应用定性变量的方式正确应用定性变量的方式110E 硕士硕士 其它其它120E 博士博士 其它其它这意味着：对于某个硕士生：这意味着：对于某个硕士

5、生：E1=1 E2=0E1=1 E2=0 对于某个博士生：对于某个博士生：E1=0 E2=1E1=0 E2=1 对于某个本科生：对于某个本科生：E1=0 E2=0E1=0 E2=0建立如下模型：建立如下模型：012132iiiiiYXEE 于是：对于本科生，其收入为：于是：对于本科生，其收入为： 对于硕士生，其收入为：对于硕士生，其收入为： 对于博士生，其收入为：对于博士生，其收入为：01iiE YX （ | |E E1 1= =0 0, , E E2 2= =0 0）012iiE YX （ | |E E1 1= =1 1, , E E2 2= =0 0）013iiE YX （ | |E E1

6、 1= =1 1, , E E2 2= =0 0） 教育程度的变动带来的影响分别是教育程度的变动带来的影响分别是22（本硕）和（本硕）和（3322）（硕）（硕博），模型合理性得到改进！博），模型合理性得到改进！ 虚拟变量（虚拟变量（dummy variabledummy variable）：一种人为构造的、取值：一种人为构造的、取值仅为仅为“1”1”或或“0”0”的变量，又称示性变量（的变量，又称示性变量（indicator variableindicator variable）。）。 “1”1”表示属于某个类别或具备某种属性表示属于某个类别或具备某种属性 “ “0”0”表示不属于该类别或不具

7、备该属性表示不属于该类别或不具备该属性 实质上，虚拟变量是定性变量的一种实质上，虚拟变量是定性变量的一种“量化量化”工具，用以反映观测在定工具，用以反映观测在定性变量上所属的类别或所具有的属性。性变量上所属的类别或所具有的属性。 虚拟变量可以类似于定量变量一样直接引入模型，而不丧失模型的合理虚拟变量可以类似于定量变量一样直接引入模型，而不丧失模型的合理性，因此：性，因此：正确应用定性变量的一种方式是通过设置正确应用定性变量的一种方式是通过设置“虚拟变量虚拟变量”引入定引入定性变量。性变量。 由此，包含虚拟变量的模型称之为由此，包含虚拟变量的模型称之为虚拟变量模型虚拟变量模型4. 4. 虚拟变量

8、的含义虚拟变量的含义 问题：如何正确地设置虚拟变量？问题：如何正确地设置虚拟变量？二、虚拟变量的设置二、虚拟变量的设置 虚拟变量的个数为定性变量类别数虚拟变量的个数为定性变量类别数1 1 注意参照类的设置注意参照类的设置 注意虚拟变量陷阱注意虚拟变量陷阱【思考思考】：上例中，为什么不用：上例中，为什么不用三个三个虚拟变量表示三种教育程度？虚拟变量表示三种教育程度？ 对例题的思考对例题的思考110E 硕士硕士 其它其它120E 博士博士 其它其它130E 本科本科 其它其它这意味着：这意味着：对于某个硕士生：对于某个硕士生：E1=1 E2=0 E3=0E1=1 E2=0 E3=0对于某个博士生：

9、对于某个博士生：E1=0 E2=1 E3=0E1=0 E2=1 E3=0对于某个本科生：对于某个本科生：E1=0 E2=0 E3=1E1=0 E2=0 E3=1相应的模型：相应的模型：01213243iiiiiiYXEEE 【分析分析】：假定我们有假定我们有6 6个观测值，其中个观测值，其中2 2个硕士、个硕士、1 1个博士、个博士、3 3个本科生个本科生考虑模型的考虑模型的设计矩阵设计矩阵X：123456110011001010100110011001XXXXXXX 显然，矩阵显然，矩阵X X是不满秩的，产生了是不满秩的，产生了“完全的多重共线性完全的多重共线性”！此即所谓的此即所谓的“虚拟

10、变量陷阱虚拟变量陷阱”！对每个定性变量而言，所引入的虚拟变量的个数应该比该变量的类别数对每个定性变量而言，所引入的虚拟变量的个数应该比该变量的类别数少少1 1，即：如果某个定性变量具有，即：如果某个定性变量具有mm个类别，则只需在模型中引入个类别，则只需在模型中引入（m-m-1 1）个虚拟变量。个虚拟变量。1. 1. 虚拟变量的设置原则虚拟变量的设置原则定性变量定性变量： 性别性别男男女女虚拟变量虚拟变量：10S 男男女女例例1 1：定性变量定性变量：教育程度：教育程度E E：1 1本科；本科；2 2硕士；硕士；3 3博士博士110E 硕士硕士 其它其它120E 博士博士 其它其它E1=1 E

11、2=0 E1=1 E2=0 ：硕士：硕士E2=0 E2=1 E2=0 E2=1 ：博士：博士E1=0 E2=0 E1=0 E2=0 ：本科：本科虚拟变量虚拟变量：例例2 2：（1 1）这一规则适用于模型中包含一个或多个定性变量的情形。即如果模）这一规则适用于模型中包含一个或多个定性变量的情形。即如果模型存在型存在多个定性变量多个定性变量，则需要设置，则需要设置多组虚拟变量多组虚拟变量，每组虚拟变量的，每组虚拟变量的个数取决于对应的定性变量所具有的类别数。个数取决于对应的定性变量所具有的类别数。（2 2）定性变量的分类中，不指定其虚拟变量的类别（组）称为）定性变量的分类中，不指定其虚拟变量的类别

12、（组）称为基准组基准组（basebase）或参照组（）或参照组（referencereference）。）。 如上例：本科教育程度组即为基准组或参照组如上例：本科教育程度组即为基准组或参照组 在基准组上，所有对应的虚拟变量的取值均为在基准组上，所有对应的虚拟变量的取值均为0 0 实际问题中，基准组或参照组的选择完全取决于研究者。实际问题中，基准组或参照组的选择完全取决于研究者。 一旦选定基准组，分析中，所有其它组都将与基准组进行比较。一旦选定基准组，分析中，所有其它组都将与基准组进行比较。2. 2. 虚拟变量的设置说明虚拟变量的设置说明（3 3）这一设置原则仅指对于）这一设置原则仅指对于包含截

13、距项包含截距项的回归模型而言，此时如果违的回归模型而言，此时如果违背这一原则则将陷入所谓的背这一原则则将陷入所谓的“虚拟变量陷阱虚拟变量陷阱”。 如果模型不包含截距项，那么即使引入与类别数相同数量的虚如果模型不包含截距项，那么即使引入与类别数相同数量的虚拟变量也不会造成多重共线性。拟变量也不会造成多重共线性。110E 硕士硕士 其它其它120E 博士博士 其它其它130E 本科本科 其它其它1213243iiiiiiYXEEE 大多数研究者认为大多数研究者认为 ，在一个含有截距的方程中，他们能更容易地处，在一个含有截距的方程中，他们能更容易地处理他们通常感兴趣的问题，是否有某个组与基准组有所不

14、同以及有理他们通常感兴趣的问题，是否有某个组与基准组有所不同以及有多大不同，所以在方程中包括截距更方便。多大不同，所以在方程中包括截距更方便。 肯尼迪（肯尼迪（KennedyKennedy）三、虚拟变量的引入三、虚拟变量的引入虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式：虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方式：加法方式和乘法方式。加法方式和乘法方式。注意不同方式下应用的目的注意不同方式下应用的目的（一）加法方式（一）加法方式【例例1 1】考虑性别（男、女）、工龄（考虑性别（男、女）、工龄（X X）和薪金）和薪金(Y)(Y)的关系。的关系。 模型中将虚拟变量以相加的方式引入模型模型中将虚拟变量

15、以相加的方式引入模型 可以直接考察定性变量不同类别的变化对模型因变量的影响可以直接考察定性变量不同类别的变化对模型因变量的影响 本质上，可以考察本质上，可以考察不同回归模型的截距项是否存在差异不同回归模型的截距项是否存在差异012iiiiYXD设置虚拟变量：设置虚拟变量：(1D 男男，00女女）建立如下模型：建立如下模型：注意：参照组是什么？注意：参照组是什么？假定假定E(E( i) i)=0=0，则：，则： 对于对于女职工（女职工（D=0D=0），其平均薪金），其平均薪金为：为：iiiiXDXYE10)0,|(iiiiXDXYE120)() 1,|( 对于对于男职工（男职工（D=1D=1），

16、其平均薪金），其平均薪金为：为：2()()EE 男男 女女 可以看出，可以看出，虚拟变量对应的回归系数虚拟变量对应的回归系数 2 2表示：虚拟变量取值为表示：虚拟变量取值为1 1所代表所代表的类别（男）相对于参照类别（取值为的类别（男）相对于参照类别（取值为0 0，女）在因变量上的平均差异，女）在因变量上的平均差异，反映出定性变量取值的变化对因变量的影响反映出定性变量取值的变化对因变量的影响 从回归模型上看，两个组上的回归模型的差异主要在于截距的不同从回归模型上看，两个组上的回归模型的差异主要在于截距的不同 其其差异差异为：为： 011D 其他高中 012D 其他大学及其以上 回归模型为：回归

17、模型为：iiiDDXY231210 教育程度需要引入两个虚拟变量：教育程度需要引入两个虚拟变量：注意：参照组是哪一类？注意：参照组是哪一类？【例例2 2】：在横截面数据基础上，考虑个人收入和教育水平对个人保健：在横截面数据基础上，考虑个人收入和教育水平对个人保健支出的影响，其中教育水平考虑三个层次：高中以下、高中、支出的影响，其中教育水平考虑三个层次：高中以下、高中、大学及其以上大学及其以上 在在E(E( i i) )=0=0 的初始假定下，不同教育层次的个人保健支出的函数：的初始假定下，不同教育层次的个人保健支出的函数：高中以下：高中以下：iiiXDDXYE1021)0, 0,|(高中：高中

18、：iiiXDDXYE12021)()0, 1,|(大学及其以上：大学及其以上：iiiXDDXYE13021)() 1, 0,|( 2 2表示表示：高中组与高中以下组在平均支出上的差异；：高中组与高中以下组在平均支出上的差异； 3 3表示表示：大学组与高中以下组在平均支出上的差异；：大学组与高中以下组在平均支出上的差异； 大学教育 保健 高中教育 支出 低于中学教育 收入【例例3 3】：在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟变量在上述职工薪金的例中，再引入代表学历的虚拟变量D D2 2iiiDDXY231210 职工薪金的回归模型可设计为：职工薪金的回归模型可设计为： 多个定性变量的例子多个

19、定性变量的例子 模型中的虚拟变量模型中的虚拟变量110D 男男女女本科及以上学历本科及以上学历本科以下学历本科以下学历210D 注意：参照组是哪一类？注意：参照组是哪一类？女职工、本科以下学历（女职工、本科以下学历（D1=0，D2=0）的平均薪金：）的平均薪金：iiiXDDXYE13021)() 1, 0,|( 女职工、本科以上学历（女职工、本科以上学历（D1=0D1=0，D2=1D2=1）的平均薪金：）的平均薪金：iiiXDDXYE132021)() 1, 1,|(iiiXDDXYE1021)0, 0,|(iiiXDDXYE12021)()0, 1,|( 不同性别、不同学历不同性别、不同学历

20、职工的平均薪金分别为：职工的平均薪金分别为：男职工、本科以下学历（男职工、本科以下学历（D1=1，D2=0）的平均薪金：）的平均薪金：男职工、本科以上学历（男职工、本科以上学历（D1=1D1=1，D2=1D2=1）的平均薪金：）的平均薪金：22表示：在教育水平相同的情况下，性别差异的影响表示：在教育水平相同的情况下，性别差异的影响 33表示：在性别属性相同的情况下，教育水平差异的影响表示：在性别属性相同的情况下，教育水平差异的影响 22、33、（、（2233）表示了其他组与基准组的差异）表示了其他组与基准组的差异工龄工龄薪金薪金D1=0，D2=0D1=1，D2=0D1=0D1=0，D2=1D2

21、=1D1=1D1=1，D2=1D2=1例：例：根据消费理论，消费水平根据消费理论，消费水平C C主要取决于收入水平主要取决于收入水平Y Y，但在一个较长的，但在一个较长的时期，人们的消费倾向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年时期，人们的消费倾向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常年份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在收入的系数份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的变化可通过在收入的系数中引入虚拟变量来考察。中引入虚拟变量来考察。（二）乘法方式（二）乘法方式 模型中将虚拟变量以与其它解释变量相乘构成一个新的变量的方模型中将虚拟变量以与其它解释变量相乘构成一个新的变量

22、的方式引入模型式引入模型加法方式引入虚拟变量，可以考察截距的不同，而在许多情况下往加法方式引入虚拟变量，可以考察截距的不同，而在许多情况下往往是斜率就有变化，或斜率、截距同时发生变化。往是斜率就有变化，或斜率、截距同时发生变化。斜率的变化可通过以乘法方式引入虚拟变量来测度。斜率的变化可通过以乘法方式引入虚拟变量来测度。tttttXDXC210这里，虚拟变量这里，虚拟变量D D以与以与X X相乘的方式引入了模型中，从而可用来考察相乘的方式引入了模型中，从而可用来考察消费倾向的变化。消费倾向的变化。假定假定E(E( i i) )= 0= 0，上述模型所表示的函数可化为：上述模型所表示的函数可化为：

23、正常年份：正常年份：ttttXDXCE)() 1,|(210反常年份：反常年份：ttttXDXCE10)0,|(设设01tD反常年份正常年份消费模型可建立如下：消费模型可建立如下：特别地，当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法特别地，当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法与乘法形式的虚拟变量。与乘法形式的虚拟变量。【例例5.1.15.1.1】考察考察19901990年前后的中国居民的总储蓄年前后的中国居民的总储蓄- -收入关系是否已发收入关系是否已发 生变化。生变化。表表5.1.15.1.1中给出了中国中给出了中国1979197920012001年以城乡储蓄存款余额代表的年以城乡储蓄存

24、款余额代表的居民储蓄以及以居民储蓄以及以GNPGNP代表的居民收入的数据。代表的居民收入的数据。表表5.1.1 19792001年年中中国国居居民民储储蓄蓄与与收收入入数数据据（亿亿元元）90年前储蓄GNP90年后储蓄GNP19792814038.21991910721662.51980399.54517.8199211545.426651.91981523.74860.3199314762.434560.51982675.45301.8199421518.846670.01983892.55957.4199529662.357494.919841214.77206.7199638520.86

25、6850.519851622.68989.1199746279.873142.719862237.610201.4199853407.576967.219873073.311954.5199959621.880579.419883801.514922.3200064332.488228.119895146.916917.8200173762.494346.419907034.218598.4以以Y Y为储蓄，为储蓄，X X为收入，可令：为收入，可令：19901990年前：年前： Y Yi i= = 1 1+ + 2 2X Xi i+ + 1i1i i=1,2,n i=1,2,n1 1 1990

26、1990年后：年后： Y Yi i= = 1 1+ + 2 2X Xi i+ + 2i2i i=1,2,n i=1,2,n2 2 则有可能出现下述四种情况中的一种：则有可能出现下述四种情况中的一种：(1) (1) 1 1= = 1 1 ，且，且 2 2= = 2 2 ，即两个回归相同，称为，即两个回归相同，称为重合回归（重合回归（Coincident Coincident RegressionsRegressions）；(2) (2) 1 11 1 , ,但但 2 2= = 2 2 ，即两个回归的差异仅在其截距，称为，即两个回归的差异仅在其截距，称为平行回归平行回归（Parallel Regr

27、essionsParallel Regressions）; ;(3) (3) 1 1= = 1 1 ，但，但 2 22 2 ，即两个回归的差异仅在其斜率，称为，即两个回归的差异仅在其斜率，称为汇合回归汇合回归(Concurrent Regressions)(Concurrent Regressions)；(4) (4) 1 11 1，且，且 2 22 2 ，即两个回归完全不同，称为，即两个回归完全不同，称为相异回归相异回归（Dissimilar RegressionsDissimilar Regressions）。）。这一问题通过同时以加法和乘法方式引入虚拟变量来解决。这一问题通过同时以加法和乘法方式引入虚拟变量来解决。将将n n1 1与与n n2 2次观察值合并，并用以估计以下回归：次观察值合并，并用以估计以下回归：iiiiiiXDDXY)(4310DD为引入的虚拟变量：为引入的虚拟变量：01i