gs多元复合函数的导数PPT课件

1、则复合函数 z = f ( u(x), v(x)在点 x 处可导. 且xvvzxuuzxzdddddd(公式也称为 链式法则)证:设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微.,limlimlim000 xvvzxuuzxzxxx只要证.)(0 即可从而只要证xvvzuuzz第1页/共68页又因 z 是 u, v 的函数, 进而得到z.因 z = f (u, v)在 (u, v)可微.给 x 以改变量x, 因u, v 是x的函数, 可得u, v 的改变量u, v.第2页/共68页同除以 x 0, 得xvuxvvzxu

2、uzxz)(022令 x 0, 得xvuxvvzxuuzxzx)(0limdddddd220)(022vuvvzuuzz第3页/共68页从而xvux)(0lim220 xvuvuvux2222220)(0lim2222220)(0limxvxuvuvux= 0 xvvzxuuzxzdddddd故注意到当 x 0时, u , v 趋于0.无穷小乘有界量第4页/共68页用同样的方法, 可将该公式推广到中间变量为3个, 4个, 等情形.比如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 满足定理条件. 则xwwzxvvzxuuzxzddddddd

3、d第5页/共68页例1. 设 z = tg(u + v), u = x2, v = lnx, .ddxz求解: (1) z = tg (x2 +lnx)(2),(sec2vuuz.2ddxxu),(sec2vuvz.1ddxxvz = sec2(x2+lnx) )12(xx第6页/共68页xvvzxuuzxzdddddd 故)(sec1)(sec222vuxvux)ln(sec1)ln(sec22222xxxxxx若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y)是x, y的二元函

4、数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?第7页/共68页.),(),(, 函数求导作为一元把固定就是将注意到求yxvyxufzyxz第8页/共68页由上述公式. 有1,若 z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y)满足定理条件. 则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y)的偏导数为xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz(只须将定理1中导数符号改为偏导符号)第9页/共68页2, 公式 1可推广到中间变量多于2个的情形.如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y), 则x

5、wwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyz3 若在 2中,u = u(x, y, t), v = v(x, y, t), w = w(x, y, t). 问 ? ? ?tzyzxz第10页/共68页例2. , , , ,sinyzxzyxvxyuvzu求设解: (1)可将u, v代入后直接求偏导.(2)用链式法则 (两个中间变量) ,lncos vvvuzuu, yxu ,cos 1uuuvvvz. 1xu第11页/共68页故xzuuuuvuvyvvvcoscosln1xyxyxyxyyxyxxyyxyxyxy)cos()( )cos()ln()(1yzxyxyxyxyyxyxxy

6、yxyxyxx)cos()()cos()ln()(1第12页/共68页例3. , ,),(122yzxzCfxyyxfz求其中设解:此例与上两例有区别. 这里函数 f 的表达式未给出, 只能用链式法则求偏导.引进中间变量( 引进几个中间变量? )记 u = x2 y2, v = xy. 从而 z = f (u, v), 由链式法则, 得第13页/共68页xvvzxuuzxzyvvzyuuzyzyvzxuz2vzyuzx 2vzxuzy2z = f (u, v), u = x2 y2, v = xy. 第14页/共68页),(),(11vufuzvuffu记. ),(),(22对第二个变量的偏导

7、数表示 fvufvzvuffv. 对第一个变量的偏导数表示 f等等.引进记号, 设 z = f (u, v), 第15页/共68页例4. , ,),(1yzxzCfyxxyxfz求设解:引进3个中间变量. 记 u = x, v = xy, w = x+y. 则 z = f (u, v, w). 有xwfxvfxufxz 321321fyffywfyvfyufyz32110321 fxff32 ffx第16页/共68页1. 在这一类问题中为何引进中间变量?).sin,( 23xyxyyxf如注第17页/共68页., . 2wzyvzuzxz有本例中.,xzuzxu写成故常可将右边的因从而wzyv

8、zxzxz.,xz则似可抵消移项这是否对? 为什么?第18页/共68页.在概念上是不同的与右边的左边的xzxz.,求偏导而对看作常数表示在表达式中将左边的xyxz,都看作常数是将而右边的wyxvxyuzxz对 u (也就是 x)求偏导. 两者不同.wzyvzuzxzwzyvzxz第19页/共68页例. 设 z = f (x, xy) = x + xy,记 u = x, v = xy,有 z = u + v .1yxz则.0dd1xyxFxF第20页/共68页3. 若 z = f (u, v) ,u = u (x, y), v = v (x, y), 则 z 通过 u, v 成为 x, y 的二

9、元复合函数.,),(),(21的函数还是vuvuffvuffvu从而是 x, y 的二元复合函数.第21页/共68页例5. ),(22xyzx xzyyxFyz验证设证:,)(0 22xyxFxz,)(1 22yyxFyz.,)( 22的偏导对下求yxyxF.,)()(22的复合函数是则yxuFyxF,22yxu记,2 xuFxF).2( yuFyF第22页/共68页yzxxzy 从而)21 ()2(uFyxuFxyuFxyxuFxy22= x,2 ,uFxxz故.21 uFyyz第23页/共68页例6. 若f (x, y, z) 恒满足关系式 f (tx, ty, tz) = tk f (x

10、, y, z). 则称它为 k 次 齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足),(),(),(),(321zyxkfzyxf zzyxf yzyxf x证: 等式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z). 两边对 t 求偏导.右边对 t 求偏导),(zyxfttk).,(1zyxfktk第24页/共68页zfyfxf 321),(),(),(321wvuf zwvuf ywvuf x),(),(),(),(1321zyxfktwvuf zwvuf ywvuf xk即记 u = tx, v = ty, w = tz, 则 f (tx, ty, tz) = f (u, v, w

11、). ),(tztytxft而第25页/共68页),(),(),(),(321wvukfwvufwwvuf vwvuf u即),(),(),(),(321zyxkfzyxf zzyxf yzyxf x同乘以 t, 得),(),()(),()(),()(321zyxftkwvuftzwvuftywvuftxk得及由条件,),(),(tzwtyvtxuzyxfttztytxfk第26页/共68页例7. 设 z =f (u, v), f C1, 而 u = xcosy, v = x siny. 0.,.sin,cosxvzuzyxyzyxz其中求且已知解: 这是关于链式公式的逆问题.链式公式xvxu

12、xz uzvzyvyuyz uzvz第27页/共68页.cos ,sin .sin ,cos yxyvyxvyxyuyxu由于.sin,cosyxyzyxz且已知代入链式公式, 得,yyvzyuzcossincosyxyxvzyxuzsin)cos()sin(第28页/共68页系数行列式yxyxyyDcossinsincos= x 011xxDDuz从而DDvz2xyxyxyysinsincoscos00D第29页/共68页为未知量的二元一次方程组. 常可通过解线性方程组的方法求1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以vzuz,.,vzuz注第30页/共68页2.对本例而言, 若还要求出 z

13、 的函数表达式, 如何求? .,zyzxz如何求若已知更一般的3.设 z =f (x, y), 则在区域 D 内0yzxz z = C (常数). (自证)第31页/共68页4.若 z = f (u, v), u = u (x, y), v = v (x, y), x = x (r, ), y = y (r, ) .?,的公式如何问zrz易见z 是 r, 的复合函数.因此rvvzruuzrz又因u, v 都是 r, 的复合函数.第32页/共68页因此ryyvrxxvvzryyurxxuuzrzryyvvzrxxvvzryyuuzrxxuuz第33页/共68页设 z = f (u, v)可微,

14、当 u, v 为自变量时, 有vvzuuzzddd若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是否仍有这一形式?设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则z = f (u (x, y), v (x, y), yyzxxzzddd二、全微分的形式不变性第34页/共68页由链式法则,xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz代入,得中,dddyyzxxzzz = f (u (x, y), v (x, y)第35页/共68页yyvvzyuuzxxvvzxuuzzdddyyvxxvvzyyuxxuuzddddvvzuuzdd即, 不论u, v是自变量还是中间变量, z = f

15、 (u, v)的全微分的形式不变.第36页/共68页例8. 用全微分形式不变性求解: 记 u = xy ,d),(zxyxyfz的全微分.,yzxz并求偏导,xyv 从而 z = f (u, v).vfufzddd21xyfxyfd)(d21221dd)dd(xxyyxfxyyxfyfxf xxfxyf yd1d21221第37页/共68页从而,221fxyf yxz211fxf xyz第38页/共68页16隐函数的导数第39页/共68页上期已讨论了求隐函数的导数问题.即, 设方程 F(x, y) = 0. 求由该方程所确定的函数 y = f (x)的导数.方法是: 方程两边对 x 求导. 注

16、意 y 是 x 的函数, 然后解出 y .第40页/共68页(1)是否任何一个二元方程 F(x, y) = 0. 都确定了y 是 x 的函数(单值)?如 x2 + y2 = 1.什么条件下确定 y = f (x)?(2)若方程确定y = f (x). 它是否可导? 给出一般的求导公式.(3)三元(以上)方程F(x, y, z) = 0. 的情形怎样?留下了问题.第41页/共68页设函数F(x, y) 在点 X0 = (x0, y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数.考虑方程F(x, y) = 0.且F (x0, y0) = 0,. 0,()00yxFy则方程 F(x, y) = 0在点 X0 =

17、 (x0, y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数 y = f (x),它满足 y0 = f (x0). 且.ddyxFFxy证略一、一个方程的情形(隐函数存在定理). 定理1第42页/共68页对公式的推导作些说明.设方程 F(x, y) = 0中F(x, y)满足定理条件. 从而方程在 X0 的某邻域内确定函数 y = f (x). 代入方程, 得 F(x, f (x) 0.上式两边对 x 求导(左端是 x 的复合函数).得.dd yxFFxy解得)0, 0),(000yyyFXFyxF的某邻域内从而在连续且因第43页/共68页例1. 验证方程 x2 + y2 1= 0在点 X

18、0= (0, 1)的某邻域内满足定理1的三个条件. 从而在X0= (0, 1)的某邻域内唯一确定满足. 当x = 0时, y = 1的连续可导函数 y = f (x),.dd0 xxy并求解: 记 F (x, y) = x2 + y2 1(1) . ,2 ,2连续yFxFyx(2) F (0, 1) = 0, (3)02) 1 , 0(yF第44页/共68页由定理1知, 方程在X0= (0, 1)的某邻域内唯一确定满足当x = 0时, y = 1的连续可导函数 y = f (x),0 xyX0 x2 + y2 =111X1第45页/共68页.dd0 xxy下求法1. x2 + y2 = 1两边

19、对 x 求导, y 是 x 的函数, 2x+2y y = 0, yxy解得. 00 xy第46页/共68页法2. F (x, y) = x2 + y2 1 ,2 ,2yFxFyx,dd yxFFxyyx从而0dd0 xxy第47页/共68页定理1可推广到方程中有多个变量的情形.考虑方程 F(x, y, z) = 0设三元函数 F(x, y, z) 在 X0=(x0, y0, z0)的邻域 U(X0)内有连续编导，F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0, 则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z = f (x, y), 满足 z0=f (x0, y0),

20、且zyzxFFyzFFxz ,定理1第48页/共68页例2. , 2)3sin(yzxzz yzx-求设解：方法1. 记 F(x, y, z) = sin(x3z) 2y z有 Fx = cos(x 3z),故zxFFxz1)3cos(3)3cos(zxzxzyFFyz1)3cos(32zxFy = 2, Fz = 3cos(x 3z) 1第49页/共68页方法2： sin(x3z) =2y +z. ,yzxz求两边对 x 求偏导，z 是 x 的函数，y看作常数.xxzzzx)31 ()3cos()3cos()3cos(31 zxzxzx解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx类似得)3

21、cos(312zxzy第50页/共68页例3. 设方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求. ,yzxz解：方法1.(公式法): 方程左边是x, y, z的复合函数，用链式法则求Fx , Fy , Fz .Fx = F 12x+F 2 cosxy y = 2xF 1+ ycosxy F 2从而,2cos2121zFxyFyxFxzFy = F 12y+F 2 cosxy x = 2yF 1+ xcosxy F 2Fz = F 12z+F 2 0 = 2zF 11212cos2zFxyFxyFyz第51页/共68页方法2.方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0两边对

22、x 求偏导. 其中 z 是 x 的函数, y看作常量.F 1 (2x+2z zx ) + F2 cosxy y = 0,2cos2121zFxyFyxFzx解得:,2cos2121zFxyFxyFzy第52页/共68页例4. 设 z = z(x, y) 是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所确定的函数, 其中 C1，证明 z = z(x, y) 满足yxyzxzxzzy)()(证：记 F (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2),u = x2+y2+z2,有 F x = 1 u 2x = 1 2x uF y = 12y u , F z = 12z u第53页/共68页故

23、,1221uuzxzxFFxz1221uuzyzyFFyz从而yzxzxzzy)()()(21 ()(21(121xzyzyxzuuuyxzxyzuu)21)(121第54页/共68页设有方程组F(x, y, u, v) = 0G(x, y, u, v) = 0四个未知量，两个方程 若将 x, y 看作常数,则方程组成为两个未知量,两个方程情形. 如果能从中解出u, v,从而这个方程组确定了 两个二元函数 u = u(x, y), v = v(x, y)，称为由该方程组所确定的二元隐函数. 二、方组的情形第55页/共68页(1)当F, G满足什么条件时，方程组确定了隐函数 u, v?(2)为何

24、求隐函数u=u(x, y), v=v(x, y)的偏导？问题第56页/共68页记号：用. ),(),(vuvuGGFFvuGF表示二阶行列式即),(),(vuGF GGFFuuvv称为函数F, G关于 u, v的雅可比行列式.第57页/共68页方程组G(x, y, u, v)=0F(x, y, u, v)=0(1)设X0=(x0, y0, u0, v0)R4, 若1) F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)在U(X0)有连续偏导2) F(x0, y0, u0, v0)=G(x0, y0, u0, v0)=03) 雅可比行列式.0),(),(0XvuGF则方程组(1)唯一确定两个二元函数 u = u(x, y)，v = v(x, y)，满足 u0 = u(x0, y0)，v0= v(x0, y0). 且定理2第58页/共68页,),(),(),(),(vuGFvxGFxu,),(),(),(),(vuGFvyGFyu,),(),(),(),(vuGFxuGFxv,),(),(),(),(vuGFyuGFxv证：(略)第59页/共68页公 式 推 导 说 明 ：设F, G满足定理2条件，