2021版高中数学课时分层作业二十四用二分法求方程的近似解含解析新人教A版必修1

1、课时分层作业二十四用二分法求方程的近似解(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】选c.在a和d中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点.在b中，函数无零点.在c中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以c中的函数能用二分法求其零点.2.对任意实数a，b，定义运算“”：ab=b,a-b1,a,a-b1,设f(x)=(x2-1)(4+x)，若函数y=f(x)+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是()a.(-2，1)b.0，1c.-2，0)d.-2，1)【解析】选d.由新定义可得f(x

2、)=4+x,(x2-1)-(4+x)1,x2-1,(x2-1)-(4+x)1,即f(x)=4+x,x-2或x3,x2-1,-2x3.其图象如图所示，所以由y=f(x)+k恰有三个零点可得，-1-k2，所以-2k1.3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()a.0.64b.0.74c.0.7d.0.6【解析】选c.已知f(0.64)0，则函数f(x)的零点的初始区间为0.64，0.72，又0.68=0.64+0.722，且f(0.68)0，所以零点在区间0.68，0.72上，因为|0.68-0.7

3、2|=0.040.1，因此函数的一个正实数零点的近似值约为0.7.4.用二分法研究函数f(x)=x3-2x-1的零点时，若零点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有根区间为()a.(1，2)b.(1.75，2)c.(1.5，2)d.(1，1.5)【解析】选c.函数f(x)=x3-2x-1，满足f(1)=1-2-1=-20，取区间(1，2)的中点32，有f32=278-3-1=-580，f32f(2)0.所以零点所在区间为(1.5，2).5.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是()a.(2，3)b.(0，2)c.(1，2)d.(0，+)【解析】选a

4、.令函数f(x)=ln x+2x-6，可判断在(0，+)上单调递增，所以f(1)=-4，f(2)=ln 2-20，所以根据函数的零点判断方法可得：零点在(2，3)内，所以利用二分法求方程ln x+2x-6=0的近似解的初始区间是(2，3).二、填空题(每小题5分，共15分)6.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是1.4，1.5，则达到精确度要求至少需要计算_次.【解析】设至少需要计算n次，则n满足0.12n100，因为nn*，且27=128，故要达到精确度要求至少需要计算7次.答案：77.某方程有一无理根在区间d=(1，3)内，若用二分法求此根的近

5、似值，将d等分n次后，所得近似值可精确到0.1，则n的值为_.【解析】由3-12n10，所以n-14，即n5.答案：58.已知函数f(x)是定义在(-，0)(0，+)上的偶函数，当x0时，f(x)=2|x-1|,02,则函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为_.【解析】函数g(x)=4f(x)-1有零点即4f(x)-1=0有解，即f(x)=14，由题意可知，当02时，f(x)=12f(x-2)，所以当2x4时，f(x)=122|x-3|，此时f(x)的取值范围为12,1；当4x6时，f(x)=142|x-5|，此时f(x)的取值范围为14,12，x=5时，f(5)=14；当6x8时，f(x)

6、=182|x-7|，此时f(x)的取值范围为18,14，x=8时，f(8)=14；当80时，f(x)=14有两解，即当x0时函数g(x)=4f(x)-1有两个零点，因为函数f(x)是定义在(-，0)(0，+)上的偶函数，所以当x0时，f(x)=14也有两解，所以函数g(x)=4f(x)-1共有四个零点.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9.函数f(x)=x2+ax+a2-a-154有零点，但不能用二分法求出，求a的值.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+a2-a-154有零点，但不能用二分法求出，所以=a2-4a2-a-154=0，解得a=3，或a=-53.10. 已知函数f(x)

7、=3x+x-2x+1在(-1，+)上为增函数，求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).【解析】由于函数f(x)=3x+x-2x+1在(-1，+)上为增函数，故在(0，+)上也单调递增，因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-10，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点的值中点函数近似值(0，1)0.50.732(0，0.5)0.25-0.084(0.25，0.5)0.3750.328(0.25，0.375)0.312 50.124(0.25，0.312 5)0.281 250.021(0.25，0.281 25)0.265 62

8、5-0.032(0.265 625，0.281 25)0.273 437 5-0.005 43(0.273 437 5，0.281 25)因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 50.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)=0的正根约为0.273 437 5.(35分钟65分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知定义在r上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x0123f(x)3.10.1-0.9-3那么函数f(x)一定存在零点的区间是()a.(0，1)b.(1，2)c.(2，3)d.(3，+)【解析】选b.因为f(1)

9、f(2)a,若存在实数m，使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数a的取值范围为()a.(1，+)b.(0，1)c.(-，0)d.(0，1【解析】选b.画出幂函数x2，x3的图象，作直线x=a，当a1时，如图，此时存在实数0mf(a)，使得函数g(x)=f(x)-m有两个零点，此时不存在实数m，使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点.当0a1时，如图，此时存在实数a3ma2，使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点，合乎题意.当a0时，不存在实数m，使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点.综上所述，所求的实数a的取值范围为(0，1).4.已知函数f(x)=ax3-3x+1，用二分法

10、求函数f(x)的一个零点时，第一次取的区间为0,1，第二次取的区间为0,12，第三次取的区间为14,12，则实数a的取值范围为()a.-16a2b.-4a4c.-16a4d.-16a2【解析】选d.因为f(0)=1，所以由二分法求零点的依据可得f(1)0，即a-3+10，所以a2， 因为第二次取的区间为0,12，所以f120，即a8-32+10，所以a0，即a64-34+10，所以a-16，所以实数a的取值范围为-16a2.5.定义在r上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0时，当fa+b2=0时，则函数f(

11、x)的零点是()a.(a，b)外的点b.a+b2c.区间a,a+b2或a+b2,b内的任意一个实数d.a或b【解析】选b.由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值.二、填空题(每小题5分，共20分)6.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)-0.984f(1.375)-0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.1)为_.【解析】由于精确度是0.1，而|1.437 5-1.3

12、75|=0.062 50.1，故可得方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为1.437 5.答案：1.437 5(答案不唯一)【延伸探究】用二分法求函数零点应注意的两个问题(1)求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.(2)求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的.7. 关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有_.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在a，b内的所有零点得到“二分法”求方程的近似解有可能得到f(x)=0在a，b内的重根“二分法”求方程的近似解有可能y=f(x)在a，b内没有零点“二

13、分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在a，b内的精确解【解析】利用二分法求函数y=f(x)在a，b内的零点，那么在区间a，b内肯定有零点存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是a，b内的精确解.答案：8.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)=lg x+x-2，算得f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出方程的近似解.那么他所取的x的4个值中最后一个值是_.【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是(1，2)，故后4个区间分别是(1.5，2)，(1.75，2)，(1.75，1.875)，

14、(1.75，1.812 5)，故他取的4个值分别为 1.5，1.75，1.875，1.812 5，最后一个值是1.812 5.答案：1.812 59.定义在r上的奇函数f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x)，当x0，1时，f(x)=x，若函数g(x)=|f(x)|-ae-|x|在区间-2 020，2 020上有4 036 个零点，则实数a的取值范围是_.【解析】因为f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x=1对称，且f(x)=f(2-x)，f(x)=-f(-x)，所以-f(-x)=f(2-x)，即-f(x)=f(2+x)，所以f(x+4)=f(x)，令m

15、(x)=|f(x)|，n(x)=ae-|x|，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a0，画出m(x)、n(x)的图象如图，当a=0时，g(x)在-2 020，2 020上有2 021个零点，不合题意，由题意知要满足g(x)在区间-2 020，2 020上有4 036个零点，只需m(x)与n(x)的图象在0，4上有两个交点，则ae-11ae-31，解得eae3.答案：(e，e3)三、解答题(每小题10分，共20分)10. 如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.(1)求出盒子的体积y以x为自

16、变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域.(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)？【解析】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式是y=(15-2x)2x，其定义域为x|0x7.5.(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15-2x)2x=150.下面用二分法来求方程在(0，7.5)内的近似解.令f(x)=(15-2x)2x-150，函数图象如图所示.由图象可以看到，函数f(x)在定义域内分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15-2x)2x=150分别在区间(0，1)和(4，5)

17、内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=-52.因为f(0.5)f(1)0，所以x0(0.5，1).再取(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)-13.31.因为f(0.75)f(1)0，所以x0(0.75，1).同理可得x0(0.75，0.875)，x0(0.812 5，0.875)，此时区间的长度小于0.1，所以方程在区间(0，1)内精确度为0.1 cm的近似解可取为0.85.同理可得方程在区间(4，5)内精确度为0.1 cm的近似解为4.7.所以如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去

18、的小正方形的边长大约是0.85 cm或4.7 cm.【补偿训练】 已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点.(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确度0.1).f(1)=-1f(1.5)=1f(1.25)=-0.406 25f(1.375)0.183 59f(1.312 5)-0.138 18f(1.343 75)0.015 81【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1，所以f(1)=-10，所以f(1)f(2)=-70，且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内连续，所以f(x)在区间(1，2)上存在零点.(2)由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内存在零点，由表知，f(1)=-1，f(1.5)=1，所以f(1)f(1.5)0，所以f(x)的零点在(1，1.5)上，因为f(1.25)=-0.406 25，所以f(1.25)f(1.5)0，所以f(x)的零点在(1.25，1.5)上，因为f(1.375)0.183 59，所以f(1.25)f(1.375)0，所以f(x)的零点在(1.25，1.375)上，因为f(1.312 5)-0.138 18，所以f(1.312 5)f(1.375)0，所以f(x)的