2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件新人教B版

1、第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式内容索引内容索引必备知识自主学习核心考点精准研析核心素养微专题核心素养测评【教材教材知识梳理知识梳理】1.1.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)(1)平方平方关系：关系：_._.(2)(2)商数关系：商数关系：_._.tan x= (tan x= (其中其中xk+ ,kz)xk+ ,kz)sin xcos x2sinsin2 2x+cosx+cos2 2x=1x=12.2.三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式组数组数一一二二三三四四五五六六角角2k+2k+(kz)(kz)+- - - + +正弦正弦sin sin _余弦余弦cos c

2、os _正切正切tan tan _22-sin -sin -sin -sin sin sin cos cos cos cos -cos -cos cos cos -cos -cos sin sin -sin -sin tan tan -tan -tan -tan -tan cot cot -cot -cot 【常用结论常用结论】1.1.同角三角函数关系式的常用变形同角三角函数关系式的常用变形(sin (sin cos )cos )2 2=1=12sin cos 2sin cos ；sin =tan cos .sin =tan cos .2.2.诱导公式的记忆口诀诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，

3、符号看象限奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化与不变指函数名称的变化. .3.3.给角求值的基本原则给角求值的基本原则负化正，大化小，化到锐角为终了负化正，大化小，化到锐角为终了. .2【知识点辨析知识点辨析】( (正确的打正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)若若,为锐角为锐角, ,则则sin sin 2 2+cos+cos2 2=1.=1.( () )(2)(2)若若r,r,则则tan = tan = 恒成立恒成立. .( () )(3)sin(+)=-sin (3)sin(+)=

4、-sin 成立的条件是成立的条件是为锐角为锐角. .( () )(4)(4)若若sin(k-)= (kz),sin(k-)= (kz),则则sin = .sin = .( () )sincos1313提示提示: :(1)(1). .根据同角三角函数的基本关系式知当根据同角三角函数的基本关系式知当,为同角时才正确为同角时才正确. .(2)(2). .当当cos 0cos 0时才成立时才成立. .(3)(3). .根据诱导公式知根据诱导公式知为任意角为任意角. .(4)(4). .当当k k为奇数和偶数时为奇数和偶数时,sin ,sin 的值不同的值不同. .【易错点索引易错点索引】序号序号易错警

5、示易错警示典题索引典题索引1 1求三角函数值时，忽视符号求三角函数值时，忽视符号考点一、考点一、t1t12 2无法选择恰当的诱导公式无法选择恰当的诱导公式考点二、考点二、t2t23 3不能熟练应用同角三角函数关系不能熟练应用同角三角函数关系考点三、角度考点三、角度1 14 4不熟悉不熟悉sin sin cos cos 与与sin sin cos cos 之间的关系之间的关系考点三、角度考点三、角度2 2【教材教材基础自测基础自测】1.(1.(必修必修4p254p25练习练习at1at1改编改编) )已知已知sin = , ,sin = , ,则则tan =tan = ( () )a.-2a.-

6、2b.2b.2c. c. d.- d.- 【解析解析】选选d.d.因为因为cos =- cos =- , ,所以所以tan = tan = 552121221 sin252 51 ()55 sin1.cos2 2.(2.(必修必修4p254p25练习练习bt2(3)bt2(3)改编改编) )已知已知tan =-3,tan =-3,则则coscos2 2-sin-sin2 2=(=() )a. a. b.- b.- c. c. d.- d.- 【解析解析】选选b.b.由同角三角函数关系得由同角三角函数关系得coscos2 2-sin-sin2 2= = 45453535222222cossin1

7、tan194.cossin1tan1953.(3.(必修必修4p354p35习题习题1-2bt81-2bt8改编改编) )已知已知为锐角为锐角, ,且且sin = ,sin = ,则则cos(+)=cos(+)=( () )a.- a.- b. b. c.- c.- d. d. 【解析解析】选选a.a.因为因为为锐角为锐角, ,所以所以cos = ,cos = ,所以所以cos(+)=-cos =- .cos(+)=-cos =- .4535354545231sin5354.(4.(必修必修4p254p25练习练习bt3(1)bt3(1)改编改编) )化简化简 =_.=_.【解析解析】 =si

8、n 2. =sin 2.答案答案: :sin 2sin 221 cos 2cos 2 tan 2221 cos 2sin 2sin 2cos 2 tan 2cos 2cos 25.(5.(必修必修4p284p28公式公式( (三三) )推导改编推导改编) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoyxoy中中, ,角角与角与角均以均以oxox为为始边始边, ,它们的终边关于它们的终边关于y y轴对称轴对称. .若若sin = ,sin = ,则则sin =_.sin =_.【解析解析】因为角因为角与角与角的终边关于的终边关于y y轴对称轴对称, ,所以所以=2k+-,kz,=2k+-,kz,所以所

9、以sin =sin(sin =sin(2k+-2k+-)=sin()=sin(-)=sin = .)=sin = .答案答案: : 131313考点一同角三角函数的基本关系式的应用考点一同角三角函数的基本关系式的应用 【题组练透题组练透】1.(20191.(2019西安模拟西安模拟) )若若sin =- ,sin =- ,且且为第四象限角为第四象限角, ,则则tan =tan =( () ) 【解析解析】选选d.d.因为因为sin =- ,sin =- ,为第四象限角为第四象限角, ,所以所以cos = ,cos = ,所以所以tan =tan = 513121255a. b. c. d.55

10、12125132121sin13sin5.cos122.2.已知已知cos =k,kr, ,cos =k,kr, ,则则sin =sin =世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () ) 【解析解析】选选b.b.因为因为 , ,所以所以cos 0,cos 0,所以所以sin = sin = (, )22222a.1 k b. 1 kc.1 k d. 1k(, )2221 cos1 k . 【巧思妙解巧思妙解】( (排除法排除法) )选选b.b.因为因为 , ,所以所以sin 0,sin 0,排除排除a,c,a,c,又又-1k0,-1k1,1,故排除故排除d.d.(, )221k【思维多变思维多变】若

11、将题中的若将题中的“cos =k,kr, ”cos =k,kr, ”换为换为“sin =k,kr, ”,sin =k,kr, ”,如何求如何求cos cos 呢呢? ?【解析解析】因为因为 , ,所以所以cos 0,cos 0,cos =3sin -1,3sin =1+cos 0,cos =3sin -1,coscos2 2=1-sin=1-sin2 2=(3sin -1)=(3sin -1)2 2,sin = ,sin = ,所以所以cos -2sin =3sin -1-2sin cos -2sin =3sin -1-2sin =sin -1=- .=sin -1=- .1 cossin25

12、2525354.4.已知已知tan = ,tan = ,则则: :(1) =_.(1) =_.(2)sin(2)sin2 2+sin cos +2=_.+sin cos +2=_.12sin3cossincos【解析解析】(1) (1) (2)sin(2)sin2 2+sin cos +2+sin cos +2=3sin=3sin2 2+sin cos +2cos+sin cos +2cos2 2答案答案: :(1)- (1)- (2) (2) 13sin3costan352.1sincostan1312222222223sinsin cos2cos3tantan2sincostan1113(

13、 )21322.15( )12 53135【规律方法规律方法】同角三角函数关系式的应用方法同角三角函数关系式的应用方法(1)(1)利用利用sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1可实现可实现的正弦、余弦的互化的正弦、余弦的互化, ,利用利用 =tan =tan 可以可以实现角实现角的弦切互化的弦切互化. .(2)(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值, ,因为因为利用利用“平方关系平方关系”公式公式, ,需求平方根需求平方根, ,会出现两解会出现两解, ,需根据角所在的象限判断符需根据角所在的象限判

14、断符号号, ,当角所在的象限不明确时当角所在的象限不明确时, ,要进行分类讨论要进行分类讨论. .(3)(3)分式中分子与分母是关于分式中分子与分母是关于sin ,cos sin ,cos 的齐次式的齐次式, ,往往转化为关于往往转化为关于tan tan 的式子求解的式子求解. . sincos【秒杀绝招秒杀绝招】1.1.勾股数解勾股数解t1,t1,看到看到sin =- ,sin =- ,想到勾股数想到勾股数5,12,13,5,12,13,所以所以cos =cos = , ,tan =tan = , ,因为因为为第四象限角为第四象限角, ,所以所以tan 0,tan =- .tan 0,cos

15、 0,cos 0,因为因为(sin -cos )(sin -cos )2 2=1-2sin cos = ,=1-2sin cos = ,所以所以sin -cos = ,sin -cos = ,由得由得sin = ,cos =- ,sin = ,cos =- ,所以所以tan =- .tan =- .答案答案: :- - 15125242549257545354343【解后反思解后反思】一般求值问题的步骤如何一般求值问题的步骤如何? ?提示提示: :(1)(1)将将已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简已知条件或所求式子利用诱导公式进行化简. .(2)(2)从已知条件中结合三角函数关系得出需要的

16、结论从已知条件中结合三角函数关系得出需要的结论. .(3)(3)代入化简后的所求式子代入化简后的所求式子, ,得出最后的结论得出最后的结论. .【命题角度命题角度3 3】 同角关系与诱导公式综合应用同角关系与诱导公式综合应用【典例典例】(2020(2020保定模拟保定模拟) )已知已知tan(3+)=3,tan(3+)=3,则则 = =世纪世纪金榜导学号金榜导学号( () ) 【解析解析】选选b.b.因为因为tan(3+)=3,tan(3+)=3,所以所以tan =3,tan =3,所以所以 3sincos2sin3cos182a. b. c. d.23933sincos2sin3cos3ta

17、n13 3 18.2tan32 339【解后反思解后反思】运用运用“切弦互化切弦互化”时有哪些注意事项时有哪些注意事项? ?提示提示: :(1)(1)弦化切弦化切: :把正弦、余弦化成切的结构形式把正弦、余弦化成切的结构形式, ,统一为统一为“切切”的表达式的表达式, ,进进行求值行求值. .常见的结构有常见的结构有: :sin ,cos sin ,cos 的二次齐次式的二次齐次式( (如如asinasin2 2+bsin cos +ccos+bsin cos +ccos2 2)的问题常的问题常采用采用“切切”代换法求解代换法求解; ;sin ,cos sin ,cos 的齐次分式的齐次分式

18、的问题常采用分式的基本性质的问题常采用分式的基本性质进行变形进行变形. .(2)(2)切化弦切化弦: :一般单独出现正切、余切的时候一般单独出现正切、余切的时候, ,运用公式运用公式tan = ,tan = ,把式子中把式子中的切化成弦的切化成弦. .asinbcos()csindcos如sincos【题组通关题组通关】【变式巩固变式巩固练练】1.1.已知已知- 0,sin +cos = ,- 0,sin +cos = ,则则 的值为的值为 ( () ) 【解析解析】选选b.b.因为因为- 0,- 0,sin 0,sin 0,cos -sin 0,因为因为(sin +cos )(sin +co

19、s )2 2+(cos -sin )+(cos -sin )2 2=2,=2,所以所以(cos -sin )(cos -sin )2 2=2-(sin =2-(sin +cos )+cos )2 2=2- = ,cos -sin = ,cos=2- = ,cos -sin = ,cos2 2 -sin -sin2 2= = 所以所以 的值为的值为 . .15221cossin725724a. b. c. d.5725252125492575177,5525221cossin25722.(20202.(2020唐山模拟唐山模拟) )已知已知 , ,所以所以tan tan 的值为的值为( () )

20、 【解析解析】选选c. c. 所以所以sin =sin = ,tan = ,tan = 53sin()254343a. b. c. d.343453sin()sin()cos225 ，45sin4.cos33.3.已知已知 ,tan(-)=- , ,tan(-)=- ,则则sin +cos sin +cos 的值是的值是_._.【解析解析】已知已知tan(-)=tan =- ,tan(-)=tan =- ,又又 , ,所以所以sin = ,cos =- ,sin = ,cos =- ,所以所以sin +cos =- .sin +cos =- .答案答案: :- - 3()22，34343()2

21、2，35451515【综合创新综合创新练练】1.(20191.(2019南充模拟南充模拟) )设设f(x)=asin(x+)+bcos(x+),f(x)=asin(x+)+bcos(x+),其中其中a,b,a,b,都是都是非零实数非零实数. .若若f(2 019)=-1,f(2 019)=-1,则则f(2 020)=f(2 020)= ( () )a.1a.1b.2b.2c.0c.0d.-1d.-1【解析解析】选选a.a.因为因为f(2 019)=asin(2 019+)+bcos(2 019+)=-asin -f(2 019)=asin(2 019+)+bcos(2 019+)=-asin

22、-bcos =-1,bcos =-1,所以所以asin +bcos =1,asin +bcos =1,所以所以f(2 020)=asin(2 020+)+bcos(2 020+)=asin +bcos =1.f(2 020)=asin(2 020+)+bcos(2 020+)=asin +bcos =1.2.(20202.(2020淮安模拟淮安模拟) )若若tan + , ,tan + , ,则则 的值为的值为_._.【解析解析】因为因为tan + , ,tan + , ,所以所以tan =2tan =2或或 ( (舍去舍去),),所以所以 答案答案: : 15tan2()4 2 ，22sin

23、(2sin ()2cos( 21sin） 15tan2()4 2 ，122222sin(2sin ()sin 2cos2cos( 21sincos 21sin） 222cos (2sincos2tan11.2cossin2tan2）123.(20193.(2019通州模拟通州模拟) )如图是由如图是由4 4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形一个大正方形, ,若直角三角形中较小的内角为若直角三角形中较小的内角为,大正方形的面积是大正方形的面积是1,1,小正方形小正方形的面积是的面积是 , ,则则sinsin2 2-cos-cos2 2的值

24、是的值是_._.125【解析解析】由题图知由题图知, ,每个直角三角形长直角边为每个直角三角形长直角边为cos ,cos ,短直角边为短直角边为sin ,sin ,小正方形边长为小正方形边长为cos -sin ,cos -sin ,因为小正方形的面积是因为小正方形的面积是 , ,所以所以(cos -sin )(cos -sin )2 2= ,= ,又又为直角三角形中较小的锐角为直角三角形中较小的锐角, ,所以所以cos cos sin sin ,cos ,cos -sin -sin = ,= ,又又(cos (cos -sin -sin ) )2 2=1-2sin =1-2sin cos cos = ,= ,所以所以2sin 2sin cos cos = ,= ,125125125152425(cos (cos +sin +sin ) )2 2=1+2sin =1+2sin cos cos = ,= ,cos cos +sin +sin = ,= ,所以所以sinsin2 2-cos-cos2 2=(sin =(sin -cos -cos )(cos )(cos +sin +sin ) )= = 答案答案: :