2021届高考数学一轮复习第9章解析几何第7节抛物线课时跟踪检测理含解析

1、第九章第九章解析几何解析几何第七节第七节抛物线抛物线a 级基础过关|固根基|1.(2019 届沈阳质检)抛物线 x24y 的焦点到准线的距离为()a1b2c4d8解析： 选 b由 x22px 的焦点到准线的距离为 p， 得 x24y 中的焦点到准线的距离为 2，故选 b2(2019 届广东七校第二次联考)已知抛物线 y224ax(a0)上的点 m(3， y0)到其焦点的距离是 5，则该抛物线的方程为()ay28xby212xcy216xdy220 x解析：选 a抛物线 y224ax(a0)的准线方程为 x6a，点 m(3，y0)到其焦点的距离是 5，根据抛物线的定义可知，点 m(3，y0)到准

2、线的距离也为 5，即 36a5，a13，y28x，故选 a3(2019 届石家庄市质检)已知抛物线 y24x 的焦点为 f，过点 f 和抛物线上一点 m(2，2 2)的直线 l 交抛物线于另一点 n，则|nf|fm|等于()a12b13c1 2d1 3解析：选 a解法一：由题意知抛物线 y24x 的焦点 f 的坐标为(1，0)，m(2，2 2)，直线 l 的方程为 y2 2(x1)由y24x，y2 2（x1） ，得 2x25x20，解得 x2 或 x12，点 n 的横坐标为12.抛物线 y24x 的准线方程为 x1，|nf|32，|mf|3，|nf|mf|12，故选 a解法二：由题意知抛物线

3、y24x 的焦点 f 的坐标为(1，0)，m(2，2 2)，直线 l 的方程为 y2 2(x1)由y24x，y2 2（x1） ，得 y2 2y40，解得 y22或 y 2，点 n的纵坐标为 2.过点 m 作 mmx 轴，垂足为 m，过点 n 作 nnx 轴，垂足为 n，则mmfnnf，|nf|mf|nn|mm| 2|2 212，故选 a解法三：m(2，2 2)是抛物线上的点，且抛物线 y24x 的准线方程为 x1，|mf|3.又1|mf|1|nf|2p1，|nf|32，|nf|mf|12，故选 a解法四：设直线 l 的倾斜角为，则|mf|p1cos ，|nf|p1cos ，|nf|mf|(1c

4、os )(1cos )，又 m(2，2 2)，f(1，0)，tan 2 2，cos 13，|nf|mf|12，故选 a4(2019 届江西五校联考)过抛物线 c：y22px(p0)的焦点 f 且倾斜角为锐角的直线 l与抛物线 c 交于 a，b 两点，过线段 ab 的中点 n 且垂直于 l 的直线与抛物线 c 的准线相交于点 m，若|mn|ab|，则直线 l 的倾斜角为()a15b30c45d60解析：选 b分别过 a，b，n 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 a，b，n，由抛物线的定义知|af|aa|，|bf|bb|，所以|nn|12(|aa|bb|)12|ab|.因为|mn|ab|，所以|nn

5、|12|mn|， 即在mnn中， cosmnn12， 所以mnn60， 即直线 mn 的倾斜角为 120.又直线 mn 与直线 l 垂直且直线 l 的倾斜角为锐角，所以直线 l 的倾斜角为 30，故选 b5(2019 届郑州市第二次质量预测)已知抛物线 c：y22x，过原点 o 作两条互相垂直的直线分别交抛物线 c 于 a，b 两点(a，b 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点 f 到直线 ab距离的最大值为()a2b3c32d4解析：选 c设直线 ab 的方程为 xmyt，a(x1，y1)，b(x2，y2)，把直线 ab 的方程代入抛物线的方程得 y22my2t0，4m28t0，所以 y1y

6、22m，y1y22t.由题意得oaob，所以 x1x2y1y20，即y212y222y1y20，得 y1y24，所以2t4，即 t2，故直线 ab 恒过定点(2，0)，则抛物线的焦点 f12，0到直线 ab 的距离的最大值为 21232，故选 c6 (2019 届湖南岳阳二模)过抛物线 x24y 的焦点 f 作直线， 交抛物线于 p1(x1， y1)， p2(x2，y2)两点，若 y1y26，则|p1p2|()a5b6c8d10解析：选 c过 p1作 p1m准线 l，垂足为 m，过 p2作 p2n准线 l，垂足为 n，由抛物线定义知|p1f|p1m|y11，|p2f|p2n|y21，|p1p2

7、|p1f|p2f|y1y228，故选 c7(2019 届江西五校协作体 2 月联考)已知点 a(0，2)，抛物线 c：y22px(p0)的焦点为f，射线 fa 与抛物线 c 相交于点 m，与其准线相交于点 n，若|fm|mn|55，则 p 的值等于()a18b14c2d4解析：选 c过点 m 向准线作垂线，垂足为 p，由抛物线的定义可知，|mf|mp|，因为|fm|mn|55，所以|mp|mn|55，所以 sinmnp55，则 tanmnp12.又ofamnp90(o 为坐标原点)，所以 tanofa2212p，则 p2，故选 c8(2019 届沈阳市第一次质量监测)抛物线 y26x 上一点

8、m(x1，y1)到其焦点的距离为92，则点 m 到坐标原点的距离为_解析：由 y26x，知 p3，由抛物线定义得，x1p292，即 x13，代入 y26x 中，得y2118，则|mo| x21y213 3(o 为坐标原点)答案：3 39(2020 届成都摸底)已知抛物线 c：y22px(p0)的焦点为 f，准线为 l，若位于 x 轴上方的动点 a 在准线 l 上，线段 af 与抛物线 c 相交于点 b，|af|bf|af|1，则抛物线 c 的标准方程为_解析： 如图， 设直线 l 与 x 轴交于点 d， 过点 b 作 bel 于点 e，则|df|p.由抛物线的定义知|be|bf|.设|be|b

9、f|m，因为aebadf， 所以|af|ab|df|be|， 即|af|af|bf|df|bf|， 所以|af|af|mpm，所以|af|pmpm.由|af|bf|af|1，得pmpmmpmpm1，解得 p1，所以抛物线 c 的标准方程为 y22x.答案：y22x10(2019 届河北省“五个一名校”高三考试)如果点 p1，p2，p3，p10是抛物线 y22x 上的点，它们的横坐标依次为 x1，x2，x3，x10，f 是抛物线的焦点，若 x1x2x3x105，则|p1f|p2f|p3f|p10f|_解析：由抛物线的定义可知，抛物线 y22px(p0)上的点 p(x0，y0)到焦点 f 的距离|

10、pf|x0p2，在 y22x 中，p1，所以|p1f|p2f|p10f|x1x2x105p10.答案：1011(2019 届昆明市高三诊断测试)过点 e(1，0)的直线 l 与抛物线 c：y24x 交于 a，b两点，f 是抛物线 c 的焦点(1)若线段 ab 中点的横坐标为 3，求|af|bf|的值；(2)求|af|bf|的取值范围解：(1)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1x26.由抛物线的定义知|af|x11，|bf|x21，则|af|bf|x1x228.(2)设直线 l 的方程为 xmy1，由xmy1，y24x得 y24my40.由16m2160，得 m21，则 y1y24

11、m，y1y24.由抛物线的定义知|af|x11，|bf|x21，则|af|bf|(x11)(x21)m2y1y24m2.因为 m21，所以|af|bf|4.故|af|bf|的取值范围是(4，)12(2019 届郑州市第一次质量预测)已知抛物线 c：y24x 的焦点为 f，过点 f 的直线 l与抛物线 c 交于 a，b 两点，过 a，b 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 m，n.r 为准线上一点(1)若 arfn，求|mr|mn|的值；(2)若点 r 为线段 mn 的中点，设以线段 ab 为直径的圆为圆 e，判断点 r 与圆 e 的位置关系解： 由已知， 得 f(1， 0)， 设直线 l 的

12、方程为 xmy1， 与抛物线 y24x 联立， 得y24x，xmy1，消去 x，得 y24my40.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24.由题知 m(1，y1)，n(1，y2)，设 r(1，yr)(1)arfn，即arfn，ar(1x1，yry1)，fn(2，y2)，0(1x1)y22(yry1)(2my1)y22(yry1)2(y1y2)my1y22yr4m2yr，yr2my1y22，r 是 mn 的中点，|mr|mn|12.(2)若 r 是 mn 的中点，则 r(1，2m)，rarb(x11，y12m)(x21，y22m)(my12，y12m)(my22，y

13、22m)(my12)(my22)(y12m)(y22m)(m21)y1y24m244(m21)4m240.rarb，即 rarb，点 r 在以 ab 为直径的圆 e 上.b 级素养提升|练能力|13.(2019 届湖南五市十校联考)在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 c：y24x 的焦点为 f，准线为 l，p 为抛物线 c 上一点，pq 垂直 l 于点 q，m，n 分别为 pq，pf 的中点，直线 mn与 x 轴交于点 r，若nfr60，则|fr|()a2b 3c2 3d3解析：选 a如图，连接 mf，qf，设准线 l 与 x 轴交于 h，y24x 的焦点为 f， 准线为 l， p 为 c

14、上一点， |fh|2， |pf|pq|.m，n 分别为 pq，pf 的中点，mnqf.pq 垂直 l 于点 q，pqor.|pq|pf|， nfr60， pqf 为等边三角形，mfpq.又 m 为 pq 的中点，f 为 hr 的中点，|fr|fh|2.故选 a14(2019 届郑州市第二次质量预测)已知抛物线 c：y24x 的焦点为 f，直线 l 过焦点 f与抛物线 c 交于 a， b 两点， 且直线 l 不与 x 轴垂直， 线段 ab 的垂直平分线与 x 轴交于点 t(5，0)，o 为坐标原点，则 saob()a2 2b 3c 6d3 6解析：选 a由题意知，抛物线的焦点为 f(1，0)，设

15、直线 l：yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，将直线 yk(x1)代入 y24x，化简整理得 k2x2(2k24)xk20，所以 x1x224k2，x1x21，y1y2k(x1x2)2k2k4k2k4k，所以 ab 的中点为12k2，2k ，ab的垂直平分线方程为 y2k1kx12k2.由于 ab 的垂直平分线与 x 轴交于点 t(5，0)，所以02k1k512k2，化简得 k1，即直线 ab 的方程为 y(x1)点 o 到直线 ab 的距离 d|1|1122，又|ab| 11|x1x2| 11 （x1x2）24x1x2 2 3648，所以 saob122282 2，故选

16、 a15(2019 届洛阳市第二次联考)如图，已知在平面直角坐标系 xoy 中，点 s(0，3)，sa，sb 与圆 c：x2y2my0(m0)和抛物线 x22py(p0)都相切，切点分别为 m，n 和 a，b，saon，则点 a 到抛物线准线的距离为()a4b2 3c3d3 3解析：选 a连接 om， sm， sn 是圆 c 的切线， |sm|sn|， |om|on|.又 saon，smon，四边形 smon 是菱形，msnmon.连接 mn，由切线的性质得smnmon，则smn 为正三角形，又 mn 平行于 x 轴，所以直线 sa 的斜率 ktan 60 3.设 a(x0，y0)，则y03x

17、0 3.又点 a 在抛物线上，x202py0.由 x22py，得 yx22p，y1px，则1px0 3，由得 y03，p2，所以点 a 到抛物线准线的距离为y0p24，故选 a16 (2020 届湖北部分重点中学联考)已知点 a(0， 1)， 抛物线 c： y2ax(a0)的焦点为 f，连接 fa，与抛物线 c 相交于点 m，延长 fa，与抛物线 c 的准线相交于点 n，若|fm|mn|12，则实数 a 的值为_解析：依题意得抛物线的焦点 f 的坐标为a4，0，过 m 作抛物线的准线的垂线，垂足为k， 由抛物线定义知|mf|mk|.因为|fm|mn|12， 所以|kn|km| 3 1.又 kfn01a404a，kfn|kn|km|