2021届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教学案含解析新人教A版

1、第第 3 3 节节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试要求1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知 识 梳 理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.3.全称命

2、题和特称命题名称全称命题特称命题结构对m中的任意一个x，有p(x)成立存在m中的一个x0，使p(x0)成立简记xm，p(x)x0m，p(x0)否定x0m，綈p(x0)xm，綈p(x)常用结论与微点提醒1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：pq见真即真，pq见假即假，p与綈p真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”，“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且” “非”对应集合运算中的“并” “交” “补” ，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)命题

3、“56 或 52”是假命题.()(2)命题綈(pq)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)x0m，p(x0)与xm，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题pq中，p，q有一真则真.(2)错误.pq是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材选修 21p18a1(3)改编)已知p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈p，綈q，pq，pq中真命题的个数为()a.1b.2c.3d.4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，pq，pq都是真命题.

4、答案b3.(新教材必修第一册 p29 习题 1.5t3(3)改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等4.(2020成都诊断)已知命题p：x0r r，x204x060c.xr r，x24x60d.xr r，x24x60解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案 a 是正确的.答案a5.(2020唐山模拟)已知命题p：f(x)x3ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)xcosx的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()a.綈pb.qc.pqd.p(綈q)解析根据题意，对于f(x)x3ax，有f(x)(x)3a(x)(x3ax)f(x)，为奇

5、函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)xcosx，有g(x)(x)cos(x)xcosx，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，pq为假命题，p(綈q)为真命题.答案d6.(2019豫南五校联考)若“x4，3 ，mtanx2”为真命题，则实数m的最大值为_.解析由x4，3 ，1tanx22 3.“x4，3 ，mtanx2”为真命题，则m1.实数m的最大值为 1.答案1考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例 1】 (1)设a a，b b，c c是非零向量.已知命题p:若a ab b0，b bc c0，则a ac c0；命题q：若a ab b，b bc

6、 c，则a ac c.则下列命题中真命题是()a.pqb.pqc.(綈p)(綈q)d.p(綈q)(2)(2020济南调研)已知命题p：若a|b|，则a2b2；命题q：m，n是直线，为平面，若m，n，则mn.下列命题为真命题的是()a.pqb.p(綈q)c.(綈p)qd.(綈p)(綈q)解析(1)取a ac c(1，0)，b b(0，1)，显然a ab b0，b bc c0，但a ac c10，p是假命题.又a a，b b，c c是非零向量，由a ab b知a axb b(xr r)，由b bc c知b byc c(yr r)，a axyc c，a ac c，q是真命题.综上知pq是真命题，pq

7、是假命题.綈p为真命题，綈q为假命题.(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题.(2)对于命题p， 由a|b|两边平方， 可得到a2b2， 故命题p为真命题.对于命题q， 直线m，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p(綈q)为真命题.答案(1)a(2)b规律方法1.“pq”、“pq”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且” “非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“pq”“pq”“綈p”形式命题的真假.2.pq形式是“一假必假， 全真才真”，pq形式是“一真必真， 全假才假”， 綈p则是“与p

8、的真假相反”.【训练 1】 (1)若命题“pq”与命题“綈p”都是真命题，则()a.命题p与命题q都是真命题b.命题p与命题q都是假命题c.命题p是真命题，命题q是假命题d.命题p是假命题，命题q是真命题(2)(2020衡水中学检测)命题p：若向量a ab b0，则a a与b b的夹角为钝角；命题q：若 coscos1，则 sin()0.下列命题为真命题的是()a.pb.綈qc.pqd.pq解析(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又pq为真命题，所以q为真命题.(2)当a a，b b方向相反时，a ab b0，但夹角是 180，不是钝角，命题p是假命题；若 coscos1，则 coscos

9、1 或 coscos1，所以 sinsin0，从而 sin()0，命题q是真命题，所以pq是真命题.答案(1)d(2)d考点二全称量词与存在量词多维探究角度 1含有量词命题的否定【例 21】(2020河南八所重点高中联考)已知集合a是奇函数集，b是偶函数集.若命题p：f(x)a，|f(x)|b，则綈p为()a.f(x)a，|f(x)|bb.f(x)a，|f(x)|bc.f(x)a，|f(x)|bd.f(x)a，|f(x)|b解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.綈p：f(x)a，|f(x)|b.答案c角度 2全称(特称)命题的真假判断【例 22】(1)已知定义域为 r r 的函数f

10、(x)不是偶函数， 则下列命题一定为真命题的是()a.xr r，f(x)f(x)b.xr r，f(x)f(x)c.x0r r，f(x0)f(x0)d.x0r r，f(x0)f(x0)(2)(2020衡水检测)已知命题p：xn n*，12x13x，命题q：xr r，2x21x2 2，则下列命题中是真命题的是()a.pqb.(綈p)qc.p(綈q)d.(綈p)(綈q)解析(1)定义域为 r r 的函数f(x)不是偶函数，xr r，f(x)f(x)为假命题，x0r r，f(x0)f(x0)为真命题.(2)因为yxn(nn n*)在(0，)上递增.xn n*，12x13x成立，p为真命题.又 2x21

11、x2 2x21x2 2，当且仅当 2x21x，即x12时，上式取等号，则q为真命题.因此pq为真命题.答案(1)c(2)a规律方法1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“xm，p(x)”是真命题，需要对集合m中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个xx0，使p(x0)成立即可.【训练 2】 (1)(角度 1)命题“x0r r，1f(x0)2”的否定形式是()a.xr r，1f(x)

12、2b.x0r r，12d.xr r，f(x)1 或f(x)2(2)(角度 2)(2020株洲模拟)已知命题p： x0， exx1， 命题q： x(0， )， lnxx，则下列命题正确的是()a.pqb.(綈p)qc.p(綈q)d.(綈p)(綈q)解析(1)特称命题的否定是全称命题， 原命题的否定形式为“xr r，f(x)1 或f(x)2”.(2)令f(x)exx1，则f(x)ex1，当x0 时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)0，即 exx1，命题p真；令g(x)lnxx，x0，则g(x)1x11xx，当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0，即当

13、x1 时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)maxg(1)10，g(x)0 在(0，)上恒成立，则命题q假，因此綈q为真，故p(綈q)为真.答案(1)d(2)c考点三由命题的真假求参数典例迁移【例 3】 (1)已知命题p： “x0， 1，aex”； 命题q： “x0r r， 使得x204x0a0”.若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围为_.(2)(经典母题)已知f(x)ln(x21)，g(x)12xm，若对x10，3，x21，2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是_.解析(1)若命题“pq”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由x0，1，aex，得ae；由x0r r

14、，使x204x0a0，得164a0，则a4，因此 ea4.则实数a的取值范围为e，4.(2)当x0，3时，f(x)minf(0)0，当x1，2时，g(x)ming(2)14m，由f(x)ming(x)min，得 014m，所以m14.答案(1)e，4(2)14，【迁移】 本例(2)中，若将“x21，2”改为“x21，2”，其他条件不变，则实数m的取值范围是_.解析当x1，2时，g(x)maxg(1)12m，对x10，3，x21，2使得f(x1)g(x2)等价于f(x)ming(x)max，得 012m，m12.答案12，规律方法1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是

15、真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练 3】 已知命题p：xr r，2x3x，命题q：xr r，x22x，若命题(綈p)q为真命题，则x的值为()a.1b.1c.2d.2解析因为綈p：xr r，2x3x，要使(綈p)q为真，所以綈p与q同时为真.由 2x3x，得23x1，所以x0.由x22x，得x1 或x2.由知x2.答案d逻辑推理突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问

16、题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型 1形如“对任意x1a，都存在x2b，使得g(x2)f(x1)成立”的问题【例 1】 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x，g(x)196x13，若对任意x11，1，总存在x20，2，使得f(x1)2ax1g(x2)成立，求实数a的取值范围.解由题意知，g(x)在0，2上的值域为13，6.令h(x)f(x)2ax3x22xa(a2)，则h(x)6x2，由h(x)0 得x13.当x1，13 时，h(x)0，所以h(x)minh1

17、3 a22a13.又由题意可知，h(x)的值域是13，6的子集，所以h（1）6，a22a1313，h（1）6，解得实数a的取值范围是2，0.思维升华理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集” ，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型 2形如“存在x1a及x2b，使得f(x1)g(x2)成立”的问题【例 2】 已知函数f(x)2x3x1，x12，1，13x16，x0，12 ，函数g(x)ksinx62k2(k0)，若存在x10，1及x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范

18、围.解由题意，易得函数f(x)的值域为0，1，g(x)的值域为22k，23k2 ，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 232k0，解得k43，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是12，43 .思维升华本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意” ，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型 3形如“对任意x1a，都存在x2b，使得f(x1)1，x210”，则綈p为()a.x1，x210b.x1，x210c.x0

19、1，x2010d.x01，x2010解析命题p：“x1，x210”，则綈p为：x01，x2010.答案c2.第 32 届夏季奥林匹克运动会将于 2020 年 7 月 24 日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()a.(綈p)(綈q)b.p(綈q)c.(綈p)(綈q)d.pq解析命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等

20、价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“pq”的否定，选 a.答案a3.命题“nn n*，f(n)n n*且f(n)n”的否定形式是()a.nn n*，f(n) n n*且f(n)nb.nn n*，f(n) n n*或f(n)nc.n0n n*，f(n0) n n*且f(n0)n0d.n0n n*，f(n0) n n*或f(n0)n0解析全称命题的否定为特称命题，该命题的否定是：n0n n*，f(n0) n n*或f(n0)n0.答案d4.已知命题p：xr r，x2x10；命题q：若a2b2，则a0 恒成立，所以p为真命题，则綈p为假命题；当a1，b2 时，满足a2b2，但不满足ax2，q：“

21、ab4”是“a2，b2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()a.pqb.(綈p)qc.p(綈q)d.(綈p)(綈q)解析当x2 时，2xx2，所以p是假命题；由a2，b2 可以推出ab4；反之不成立，例如a2，b4， 所以“ab4”是“a2，b2”的必要不充分条件， 故q是假命题； 所以(綈p)(綈q)是真命题.答案d6.已知命题“xr r，4x2(a2)x140”是假命题，则实数a的取值范围为()a.(，0)b.0，4c.4，)d.(0，4)解析因为命题“xr r，4x2(a2)x140”是假命题，所以其否定命题“xr r，4x2(a2)x140”是真命题.则(a2)24414a24

22、a0，解得 0a0，得 3x11，所以 013x11，所以函数y13x1的值域为(0，1)，故命题q为真命题.所以pq为假命题，pq为真命题，p(綈q)为假命题，綈q为假命题.答案b8.已知函数f(x)a2x2a1.若命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题，则实数a的取值范围是()a.12，1b.(1，)c.12，d.12，1(1，)解析函数f(x)a2x2a1，命题“x(0，1)，f(x)0”是假命题，原命题的否定：“x0(0，1)，使f(x0)0”是真命题，f(1)f(0)0，即(a22a1)(2a1)0，解得a12，且a1，实数a的取值范围是12，1(1，).答案d二、填空题9.若“x

23、0，4 ，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_.解析函数ytanx在0，4 上是增函数， ymaxtan41， 依题意，mymax， 即m1.m的最小值为 1.答案110. 命 题p的 否 定 是 “ 对 所 有 正 数x，xx 1” ， 则 命 题p可 写 为_.解析因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.答案x0(0，)，x0 x0111.(2020湖南百校大联考改编)下列四个命题：p1：任意xr r，2x0；p2：存在xr r，x2x10；p3： 任意xr r， sinxx2x1.其中是真命题的为_.解析xr r，2x0 恒成立，p1是真命题.又x2x1x122340，p2是假命题.由 sin321232，知p3是假命题.取x12时，cos12 cos6 32，但x2x1340 恒成立.若pq为假命题，则实数m的取值范围为_.解析由命题p：x0r r，(m1)(x201)0 可得m1；由命题q：xr r，x2mx10恒成立，即m240，可得2m2，若pq为真命题，则21.答案(，2(1，)b 级能力提升13.命题“xr r，nn n*，使得nx2”的否定形式是()a.xr r，nn n*，使得nx2b.xr r，nn n*，使得nx2c.xr r，nn n*，使得nx2d.x0r r，nn n*，使得nx20解析改变