结构化学-Ch1习题课-杨媛

1、结结 构构 化化 学学 第第1章习题课章习题课本章学习要求本章学习要求: :1. 1. 掌握概念掌握概念: : 波粒二象性、不确定关系、波函数、波粒二象性、不确定关系、波函数、算符、本征值、本征态、本征方程算符、本征值、本征态、本征方程2. 2. 记住记住: : I, II, III, IV,V I, II, III, IV,V基本假设基本假设3. 3. 运用运用: : 一维势箱方程解题一维势箱方程解题经典物理学的困难与旧量子论 经典理论经典理论 量子论量子论黑体辐黑体辐射射 吸收或辐射的能量只能是吸收或辐射的能量只能是连续的连续的 。 普朗克普朗克-量子论量子论振子的能量是量子化振子的能量是

2、量子化的的 (n=1,2,3,)光电效光电效应应 能量可以连续发射，连续能量可以连续发射，连续吸收只要光强达到一定程吸收只要光强达到一定程度，照射一定时间，就可度，照射一定时间，就可以产生光电流。以产生光电流。 爱因斯坦爱因斯坦-光子学说光子学说光是一束光子流，能光是一束光子流，能量也是一份一份的量也是一份一份的光电方程光电方程nhE hP TWh0德布罗依假说 电子、质子、原子、分子等静止质量不为零的实电子、质子、原子、分子等静止质量不为零的实物微粒也具有波动的性质物微粒也具有波动的性质. 这种伴随实物微粒运动这种伴随实物微粒运动的波称为德布罗依物质波的波称为德布罗依物质波. 由光子学说：由

3、光子学说：E=h p=h/ 同样也适用于实物微粒同样也适用于实物微粒. . 德布罗依关系式德布罗依关系式: h/p=h/mv 任何任何宏观宏观物体物体运动时运动时都具有波动性都具有波动性，作为一个崭，作为一个崭新的假定新的假定:表示物质波的波长可以由质量表示物质波的波长可以由质量m和运动和运动速度速度v来求算来求算. 1.4 计算下述粒子的德布罗意波的波长：计算下述粒子的德布罗意波的波长：（1）质量为）质量为10-10kg，运动速度为，运动速度为0.01ms-1的尘埃；的尘埃；（2）动能为）动能为0.1eV的中子；的中子；（3）动能为）动能为300eV的自由电子。的自由电子。解 根据德布罗意关

4、系式：根据德布罗意关系式：（1）（2）（3）msmkgsJmvh221103410626. 601. 01010626. 6meVeVJkgsJmeVhph11119273410043. 91 . 0)(10602. 110675. 1210626. 62meVeVJkgsJmeVhph1111931341008. 7300)(10602. 110109. 9210626. 62物质波的存在及统计解释物质波的存在及统计解释n德布罗意物质波的证实德布罗意物质波的证实n玻恩的统计解释玻恩的统计解释 空间某一点空间某一点波的强度是和粒子出现的几率成正比波的强度是和粒子出现的几率成正比，出现粒子越多，

5、波就越强，反之就越弱。出现粒子越多，波就越强，反之就越弱。大量电子：大量电子：1) 衍射强度大的地方出现的电子多衍射强度大的地方出现的电子多 2) 衍射强度小的地方出现的电子少衍射强度小的地方出现的电子少单个电子：单个电子： 1) 衍射强度大的地方电子出现机会多衍射强度大的地方电子出现机会多 2) 衍射强度小的地方电子出现机会少衍射强度小的地方电子出现机会少不确定关系n x. px h y. py h z. pz h 物体的位置和动量不能同时被准确测量，其中物体的位置和动量不能同时被准确测量，其中一个测得越准确，另一个就越不准确一个测得越准确，另一个就越不准确。 n另一个关系式：另一个关系式：

6、 E. t h/4 E是粒子所处能量状态的不确定量，是粒子所处能量状态的不确定量， t是是粒子在此能量状态停留的时间，也是平均寿命。粒子在此能量状态停留的时间，也是平均寿命。 电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度，电子运动速度的不确定度 为速度的为速度的10%，判，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？v解解：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为：的不确定度为：这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的这坐

7、标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。机荧光屏上成像无影响。mVeVJkgsJmeVhmeVmhmhx1011931341088. 31000)(10602. 110109. 921010626. 6%102%10/21.8量子力学基本原理n量子力学是一个公理体系。量子力学是一个公理体系。(不能证明不能证明)波函数与微观粒子的状态波函数与微观粒子的状态 假设假设1:

8、微观体系的状态可用波函数微观体系的状态可用波函数Y Y(q,t)来描述来描述, 波函数波函数Y Y既是体系中所有粒子坐标既是体系中所有粒子坐标q(x1,y1,z1; x2,y2,z2,)的函数，又是时间的函数，又是时间t的函数。的函数。 定态是粒子在空间某点出现的定态是粒子在空间某点出现的几率密度不随时间几率密度不随时间改变改变的状态。的状态。代表粒子在空间某点的概率密度代表粒子在空间某点的概率密度Y的物理意义2d2 代表体积代表体积v的概率的概率 代表粒子在全部活动范围内出现的概率代表粒子在全部活动范围内出现的概率dvo2d2 代表体积元代表体积元 中的概率中的概率d对于讨论的粒子，其在全空

9、间出现的概率为对于讨论的粒子，其在全空间出现的概率为1。这是。这是波函数的归一性。波函数的归一性。正交归一性正交归一性12d dxxnm)(*nmnm01合格波函数的判断条件合格波函数的判断条件1. 1. Y Y必须是必须是单值单值函数，因为空间某点出现函数，因为空间某点出现的概率密度是确定的。的概率密度是确定的。2. Y Y 对坐标的一阶导数必须对坐标的一阶导数必须连续连续，且二阶，且二阶导数存在。导数存在。3. Y Y必须必须平方可积平方可积，因为粒子在空间出现，因为粒子在空间出现的总几率是确定的的总几率是确定的,即即100%。 力学量和算符力学量和算符假设假设2: 微观体系的每一个可观测

10、力学量都对应一个微观体系的每一个可观测力学量都对应一个线性厄米算符线性厄米算符。 粒子的运动状态可用波函数粒子的运动状态可用波函数Y Y(q,t)来描述来描述线性算符：线性算符：(c1 1+c2 2)= c1 1+c2 2厄米算符：厄米算符：f f f fd ffff d 2222222224zyxhP常见算符动量平方算符动量平方算符VmhH22282222222zyx动量算符动量算符xihPx2yihPy2zihPz2哈密顿算符哈密顿算符aA假设假设3 3 若某一物理量若某一物理量A A的算符的算符 作用于某一状态作用于某一状态函数函数，等于某一常数，等于某一常数a a乘以乘以，那么对所描述

11、，那么对所描述的这个微观体系的状态，物理量的这个微观体系的状态，物理量A A具有确定的数具有确定的数值值a a。本征值本征值本征态本征态力学量的确定值和平均值若若 a为算符为算符的本征值，则有的本征值，则有确定值确定值a。 若若 则算符则算符无确定值，只有平均值无确定值，只有平均值 aAaAdAA *iiiiiiiiiacdcAcdA2a 是算符是算符 的本征函数，求本征值。的本征函数，求本征值。 2axxe22224xadxd解：应用量子力学基本假设应用量子力学基本假设（算符）（算符）（本征函数，（本征函数， 本征值和本征方程），得：本征值和本征方程），得： aaxeexaexaaxeaxe

12、exaeaxedxdxexaxedxdxexadxdxadxdaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax66444242)(4)4()4(222222222223232322222222222222因此，本征值为因此，本征值为 。 a61.11 下列函数哪几个是算符下列函数哪几个是算符 的本征函数？若是，的本征函数？若是， 求出本征值。求出本征值。22dxdxxxxxexcossin,cos2,sin,3解解：。的本征函数，本征值为是的本征函数；不是；的本征函数，本征值为是；的本征函数，本征值为是；的本征函数，本征值为是1cossin),cos(sin)cos(sin,61cos2 ,cos

13、2cos21sin,sin1sin1,122222233322222222222222dxdxxxxxxdxddxdxcxxxdxddxdxxxdxddxdxxxdxddxdeeedxdxxx1.12态叠加原理 假设假设4: 如果如果 1 1、 2 2、 3 3、.是某个微观体系是某个微观体系的可能运动状态，那么，将这些状态线性组合的可能运动状态，那么，将这些状态线性组合得的得的 也是这个状态的可能存在的状态。也是这个状态的可能存在的状态。 c1 1+c2 2+c3 3+c4 4+.一维势箱中运动的粒子lxxlxxV或000)(金属中价电子的运动金属中价电子的运动链状共轭体系中链状共轭体系中电

14、子的运动电子的运动 xExdxdmh22228一维势箱中运动的粒子一维势箱中运动的粒子, 3 , 2 , 1sin2)(nlxnlxn 从波函数看从波函数看 1 1、波函数呈周期性变化，称几率波。、波函数呈周期性变化，称几率波。 2 2、节点数、节点数= =n-1n-1，与能量成正比，节点数越多，能量，与能量成正比，节点数越多，能量 就越高就越高 运动状态就越复杂。运动状态就越复杂。 3 3、正交归一正交归一性。性。mnmndxxxnmmln01)(*)(0一维势箱中运动的粒子, 3 , 2 , 18222nmlhnEn 从能量上看从能量上看 1 1、零点能零点能：n=1n=1时，能量最低时，

15、能量最低 2 2、基态、激发态：能量最低的态为、基态、激发态：能量最低的态为基态基态 3 3、离域效应、离域效应 4 4、n n越大，越大， 趋于零，量子力学与经典力学趋于零，量子力学与经典力学 趋于一致；趋于一致；n越小，量子化效应越明显越小，量子化效应越明显 212nnEEnn1.18 链型共轭分子链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在在长波方向长波方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。势箱模型估算其长度。解：4对电子，形成 离域键。22224589)1625(8mlhmlhEEhcEpmsmkgmsJmchl112010998. 210109. 981046010626. 698921183193421881234561.20若在下一离子中运动的若在下一离子中运动的电子可用一维势箱近似表示其电子可用一维势箱近似表示其运动特征：运动特征：估计这一势箱的长度估计这一势箱的长度l=1.3nm，根据能级公式，根据能级公式En=n2h2/8ml2估估算算电子跃迁时所吸收的波长，并与实验值电子跃迁