结构力学课件第六章 结构位移计算1

1、 AAxAy结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于于变形变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移位移。 AAxAy位移位移绝对位移（一般称位移）绝对位移（一般称位移）相对位移相对位移C C、D D 两点的水平相对线位移两点的水平相对线位移 A A、B B两个截面的相对角位移两个截面的相对角位移 CDCD ABABAxAyt 内力内力变形变形位移位移荷载荷载温度改变或材温度改变或材料胀缩料胀缩支座移动或制支座移动或制造误差造误差铁路桥涵设

2、计规范规定铁路桥涵设计规范规定: (1)验算结构刚度验算结构刚度在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度1/600跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度1/800和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移1/1000高度；高度；最大层间位移最大层间位移1/800层高。层高。(2)超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施工要求）施工要求如屋架在竖向荷如屋架在竖向荷载作用下，下弦载作用下，下弦各结点产生虚线各结点产生虚线所示位移。所示位移。将各下弦杆做得将各下弦杆做得比实际长度短些，比实际长度短些，拼

3、装后下弦向上拼装后下弦向上起拱。起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱建筑起拱（3）理想联结）理想联结(1)线弹性线弹性(2)小变形小变形一、功、实功和虚功一、功、实功和虚功力力作用点沿力方向上的位移力力作用点沿力方向上的位移力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功，恒为正值恒为正值 PPW21力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt在作功的过程中，力在作功的过程中，力的大小保持不变，这的大小保持不变，这样的功称为虚功。样的功称为虚功。1P11122P21221P2

4、P12位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）P1做实功：11121PP1做虚功：121PP2做实功：22221PP2做虚功：212P力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。 位移状态位移状态FPFP/2FP/2（虚）力状态力状态（虚力状态）（虚位移状态）（虚）位移状态位移状态q（1）属）属同一同一体系；体系；（2）位移应满足）位移应满足变形协调条件变形协调条件力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。（3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；（4）虚位移是结构的支承条件和变形条件允许的微小位移。）虚位移是结构的支承条件

5、和变形条件允许的微小位移。引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移等，引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移等，也可以是假想的位移，故称为也可以是假想的位移，故称为“虚虚”。当力状态的外力在位当力状态的外力在位移状态的位移上移状态的位移上作作外力虚功外力虚功时，力状时，力状态的内力也在位态的内力也在位移状态各微段的变形移状态各微段的变形上作上作内力虚功内力虚功。 因此可得出因此可得出 根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上

6、所一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。相应变形上所作虚功的总和。 虚功原理也可以简述为：虚功原理也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功外力的虚功等于内力的虚变形功”。We= =WvW= =Wv原理的表述：原理的表述：虚功方程虚功方程刚体虚功原理：刚体虚功原理：所有外力所做的虚功等于零，即：所有外力所做的虚功等于零，即： 0W 虚功原理虚功原理 虚力原理虚力原理 虚位移原理虚位移原理 虚力原理虚力原理位移是真的，力是虚设的。用虚设力的位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的

7、位移。办法来求真实的位移。 虚位移原理虚位移原理力是真的，位移是虚设的。用虚设位力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。移的办法来求真实的力。 变形体虚功原理：变形体虚功原理：所有外力做的虚功所有外力做的虚功=所有内力做的虚功所有内力做的虚功WW外内结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法变形协调的变形协调的位移状态位移状态(P)平衡的力平衡的力状态状态如结构在荷载、温如结构在荷载、温度改变、支座移动等度改变、支座移动等因素作用下而发生了因素作用下而发生了图图1 1所示变形和位移，所示变形和位移，这是结构的实际的位这是结构的实际的位移状态。要利用虚功移状

8、态。要利用虚功方程求任一点方程求任一点k k沿任沿任一指定方向的位移一指定方向的位移k k。单位荷载法单位荷载法应先虚拟力状态：在应先虚拟力状态：在欲求位移处沿着求位移欲求位移处沿着求位移的方向，加上与所求位的方向，加上与所求位移相应的广义单位荷载移相应的广义单位荷载（如图（如图2 2）。求出虚拟）。求出虚拟力状态的内力和反力。力状态的内力和反力。一、位移计算的一般公式一、位移计算的一般公式KNSRF duMdFdsF c即得平面杆系结构位移计算的一般公式：即得平面杆系结构位移计算的一般公式：该式适用于：该式适用于：静定结构和超静定结构；静定结构和超静定结构；弹性体系和非弹性体系；弹性体系和非

9、弹性体系；各种因素产生的位移计算。各种因素产生的位移计算。对上述两种状态应用虚功原理：对上述两种状态应用虚功原理：1 1223 31kRRRNSF cF cF cF duMdFds 轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力）欲求一点的线位移，加一个单位集中力2 2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶

10、二、虚拟状态的选取二、虚拟状态的选取Fp=1求求C点竖向位移点竖向位移求求B点水平位移点水平位移Fp=1求求C点转角位移点转角位移M=1CBC3 3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力一对指向相反的单位集中力 Fp=1求求A、B两点两点相对竖向位移相对竖向位移Fp=1Fp=1Fp=1AB求求A、B两点两点相对水平位移相对水平位移AB4 4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶单位集中力偶 M=1求求C点相对转角位移点相对转角位移C5 5）欲求桁架某杆的）欲求桁架某杆的角位移

11、角位移在杆的两端加一对在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成平行、反向的集中力，两力形成单位力偶单位力偶。力偶臂为力偶臂为d d ，每一力的大小为每一力的大小为1/1/d d力和力偶统称为力和力偶统称为广义力广义力， 单位广义力用单位广义力用X=1=1表示表示线位移和角位移统称线位移和角位移统称广义位移广义位移，用，用表示表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反负值表示

12、广义位移的方向与广义力所设的指向相反 三、广义力、广义位移三、广义力、广义位移6.4荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算kiP1P求求k点竖向位移点竖向位移.变形协调的位移状态(P)平衡的力状态对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，组成的结构，由材料力学公式由材料力学公式有：有：P, NPSPPPPFkFMdds dudsdsdsEIEAGANNPSSPPKpFFk F FM MdsdsdsEIEAGA适用于线弹性适用于线弹性直杆体系直杆体系可得可得荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式：Kpn几点注意：n1该式可用来求弹性体系由荷载产生的位移；n2该式既用于静定结构也用于

13、超静定结构；n3第一、二、三项分别表示弯曲变形、轴向变形、剪切变形产生的位移； n4E：弹性模量；G：剪切模量；n5k：截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5；圆形截面k=10/9。n6结构的类型不同，三种变形对位移的影响有很大的差别，位移计算公式可进行相应简化。 NNPSSPPKpF Fk F FMMdsdsdsEIEAGA1.梁与刚架梁与刚架:只考虑弯曲变形只考虑弯曲变形2.桁架桁架:只有轴向变形只有轴向变形3.组合结构组合结构PKPMMdsEINNNPNPKPF FF FdsdsEAEANNPKPF F lEANNPPKPF F lMMdsEIEA例题例题1试求图示刚架试求图示刚架A点的

14、竖向位移点的竖向位移Ay。各杆材料相同，截面抗弯模量为各杆材料相同，截面抗弯模量为EI。（实际状态）（实际状态）解：构造虚拟状态，在解：构造虚拟状态，在A点加一单位力，建立坐标点加一单位力，建立坐标系如示系如示分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程：分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程：（虚拟状态）（虚拟状态）1）写出虚拟状态弯矩表达式）写出虚拟状态弯矩表达式AB段：段：BC段：段：2）荷载作用下的弯矩表达式）荷载作用下的弯矩表达式AB段：段：BC段：段：1Mx Ml 212PqxM 22qlM 3）将以上弯矩表达式代入求位移公式）将以上弯矩表达式代入求位移公式22111200411()()()