2021版新高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.7正弦定理余弦定理的应用举例课件新人教B版

1、第七节正弦定理、余弦定理的应用举例内容索引内容索引必备知识自主学习核心考点精准研析核心素养微专题核心素养测评【教材教材知识梳理知识梳理】1.1.仰角和俯角仰角和俯角在视线和水平线所成在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角的角叫俯角( (如图如图).).上方上方下方下方2.2.方位角方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b b点的方位角为点的方位角为(如图如图).).3.3.方向角方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. .(1

2、)(1)北偏东北偏东，即由指北方向顺时针旋转，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向到达目标方向( (如图如图).).(2)(2)北偏西北偏西，即由指北方向逆时针旋转，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向到达目标方向. .(3)(3)南偏西等其他方向角类似南偏西等其他方向角类似. .4.4.坡角与坡度坡角与坡度(1)(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数( (如图，角如图，角为坡角为坡角).).(2)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比( (如图，如图，i i为坡度为坡度).).坡度又称为坡比坡度又称为坡比. .【常用结论

3、常用结论】解与三角形有关的实际应用问题的四个步骤解与三角形有关的实际应用问题的四个步骤(1)(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系. .(2)(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. .(3)(3)选择正弦定理或余弦定理求解选择正弦定理或余弦定理求解. .(4)(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求. .【知识点辨析知识点辨析】( (正确的打

4、正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)东北方向就是北偏东东北方向就是北偏东4545的方向的方向. . ( () )(2)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角俯角是铅垂线与视线所成的角, ,其范围为其范围为 ( () )(3)(3)方位角与方向角其实质是一样的方位角与方向角其实质是一样的, ,均是确定观察点与目标点之间的位置关均是确定观察点与目标点之间的位置关系系. (. () )0.2，提示提示: :(1) .(1) .(2)(2). .俯角是视线与水平线所构成的角俯角是视线与水平线所构成的角. .(3).(3).【易错点索引易错点索引】序号序号易错警示易错警示典题索引典题索

5、引1 1易混淆方位角与方向角的概念易混淆方位角与方向角的概念基础自测基础自测t3t32 2解三角形时解三角形时, ,为避免误差的积累为避免误差的积累, ,应尽可能应尽可能用已知的数据用已知的数据( (原始数据原始数据),),少用间接求出的少用间接求出的量量基础自测基础自测t4t43 3不能准确建立数学模型不能准确建立数学模型考点三、角度考点三、角度2 2【教材教材基础自测基础自测】1.(1.(必修必修5p145p14问题问题4 4改编改编 ) )从从a a处望处望b b处的仰角为处的仰角为,从从b b处望处望a a处的俯角为处的俯角为,则则,的关系为的关系为( () )a.a. b.=b.=c

6、.+=90c.+=90d.+=180d.+=180【解析解析】选选b.b.由已知及仰角、俯角的概念画出草图由已知及仰角、俯角的概念画出草图, ,如图如图, ,则则=.=.2.(2.(必修必修5p125p12问题问题2 2改编改编 ) )如图所示如图所示, ,设设a,ba,b两点在河的两岸两点在河的两岸, ,一测量者在一测量者在a a所在的所在的同侧河岸边选定一点同侧河岸边选定一点c,c,测出测出acac的距离为的距离为50 m,acb=4550 m,acb=45,cab=105,cab=105后后, ,就可就可以计算出以计算出a,ba,b两点的距离为两点的距离为( () ) 25 2a.50

7、2 m b.50 3 m c.25 2 m d. m2【解析解析】选选a.a.由正弦定理得由正弦定理得 又由题意得又由题意得cba=30cba=30, ,所以所以ab= ab= abacsin acbsin cba，250acsin acb250 2 m .1sin cba23.(3.(必修必修5p155p15习题习题1-2at11-2at1改编改编 ) )若点若点a a在点在点c c的北偏东的北偏东3030, ,点点b b在点在点c c的南偏东的南偏东6060, ,且且ac=bc,ac=bc,则点则点a a在点在点b b的的( () )a.a.北偏东北偏东1515b.b.北偏西北偏西1515

8、c.c.北偏东北偏东1010d.d.北偏西北偏西1010【解析解析】选选b.b.如图所示如图所示, ,acb=90acb=90, ,又又ac=bc,ac=bc,所以所以cba=45cba=45, ,而而=30=30, ,所以所以=90=90-45-45-30-30=15=15. .所以点所以点a a在点在点b b的北偏西的北偏西1515. .4.(4.(必修必修5p155p15练习练习at2at2改编改编 ) ) 如图如图, ,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内, ,若若飞机的高度为海拔飞机的高度为海拔18 km,18 km,速度为速度为1 000 km/h,1

9、000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为飞行员先看到山顶的俯角为3030, ,经过经过1 min1 min后又看到山顶的俯角为后又看到山顶的俯角为7575, ,则山顶的海拔高度约为则山顶的海拔高度约为( (精确到精确到0.1 km,0.1 km,参考数据参考数据: 1.732): 1.732)( () )a.11.4 kma.11.4 km b.6.6 km b.6.6 km c.6.5 kmc.6.5 km d.5.6 kmd.5.6 km3【解析解析】选选b.b.因为因为ab=1 000ab=1 000 (km), (km),所以所以bc= bc= sin 30sin 30= = (km

10、), (km),航线离山顶的高度为航线离山顶的高度为h= h= sin 75sin 75= = sin(45sin(45+ + 3030)11.4(km).)11.4(km).所以山顶的海拔高度约为所以山顶的海拔高度约为18-11.4=6.6(km).18-11.4=6.6(km).150603absin 45503 2503 2503 25.(5.(必修必修5p145p14练习练习at1at1改编改编 ) )如图所示如图所示,d,c,b,d,c,b三点在地面的同一条直线上三点在地面的同一条直线上,dc=a,dc=a,从从c,dc,d两点测得两点测得a a点的仰角分别为点的仰角分别为6060,

11、30,30, ,则则a a点离地面的高度点离地面的高度ab=_.ab=_.【解析解析】由已知由已知dac=30dac=30, ,adcadc为等腰三角形为等腰三角形,ad= a,ad= a,所以在所以在rtrtadbadb中中,ab= ad= a.,ab= ad= a.答案答案: : a a3123232 考点一测量距离问题考点一测量距离问题 【题组练透题组练透】1.1.如图如图, ,从气球从气球a a上测得正前方的河流的两岸上测得正前方的河流的两岸b,cb,c的俯角分别为的俯角分别为7575,30,30, ,此时此时气球的高是气球的高是60 m,60 m,则河流的宽度则河流的宽度bc=bc=

12、( () )a.240( -1) ma.240( -1) mb.180( -1) mb.180( -1) mc.120( -1) mc.120( -1) md.30( +1) md.30( +1) m33322.2.一船以每小时一船以每小时15 km15 km的速度向东行驶的速度向东行驶, ,船在船在a a处看到一灯塔处看到一灯塔b b在北偏东在北偏东6060, ,行驶行驶4 4小时后小时后, ,船到达船到达c c处处, ,看到这个灯塔在北偏东看到这个灯塔在北偏东1515, ,这时船与灯塔的距离这时船与灯塔的距离为为( () )a.60 kma.60 kmb.60 kmb.60 kmc.30

13、kmc.30 kmd.30 kmd.30 km2223.(20193.(2019衡阳模拟衡阳模拟) )如图如图, ,为了测量为了测量a,ca,c两点间的距离两点间的距离, ,选取同一平面上选取同一平面上b,db,d两点两点, ,测出四边形测出四边形abcdabcd各边的长度各边的长度( (单位单位:km):ab=5,bc=8,cd=3,da=5,:km):ab=5,bc=8,cd=3,da=5,且且b b与与d d互补互补, ,则则acac的长为的长为世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () )a.7 kma.7 kmb.8 kmb.8 kmc.9 kmc.9 kmd.6 kmd.6 km4.4.

14、如图如图, ,海中有一小岛海中有一小岛c,c,一小船从一小船从a a地出发由西向东航行地出发由西向东航行, ,望见小岛望见小岛c c在北偏东在北偏东6060, ,航行航行8 8海里到达海里到达b b处处, ,望见小岛望见小岛c c在北偏东在北偏东1515, ,若此小船不改变航行的方向若此小船不改变航行的方向继续前行继续前行2( -1)2( -1)海里海里, ,则离小岛则离小岛c c的距离为的距离为( () )世纪金榜导学号世纪金榜导学号a.8( +2)a.8( +2)海里海里b.2( -1)b.2( -1)海里海里c.2( +1)c.2( +1)海里海里d.4( +1)d.4( +1)海里海里

15、33333【解析解析】1.1.选选c.c.记气球在地面的投影为记气球在地面的投影为d,d,在在rtrtabdabd中中,cos 15,cos 15= ,= ,又又cos 15cos 15=cos (60=cos (60-45-45)= ,)= ,所以所以ab= .ab= .在在abcabc中中, ,由正弦定由正弦定理得理得 , ,所以所以bc= bc= 2.2.选选a.a.画出图形如图所示画出图形如图所示, ,在在abcabc中中,bac=30,bac=30,ac=4,ac=415 =60 ,15 =60 ,b=45b=45, ,由正弦定理得由正弦定理得 所以所以bc= =60,bc= =60

16、,所以船与灯塔的距离为所以船与灯塔的距离为60 km.60 km.60ab62424062bcabsin 45sin 30sin 45 ab2ab120( 3 1 (m .sin 30 ） ）22acbcsin bsin bac，ac sin bac60 2sin 30sin bsin 453.3.选选a.a.在在abcabc中中, ,由余弦定理得由余弦定理得acac2 2=ab=ab2 2+bc+bc2 2-2ab-2abbccos b,bccos b,即即acac2 2=25+64-2=25+64-25 58cos b=89-80cos b.8cos b=89-80cos b.在在adca

17、dc中中, ,由余弦定理得由余弦定理得acac2 2=ad=ad2 2+dc+dc2 2-2ad-2addccos d,dccos d,即即acac2 2=25+9-2=25+9-25 53cos d=34-30cos d.3cos d=34-30cos d.因为因为b b与与d d互补互补, ,所以所以cos b=-cos d,cos b=-cos d,所以所以 解得解得ac=7(km).ac=7(km).4.4.选选c.bc= c.bc= 所以离小岛所以离小岛c c的距离为的距离为 2234ac89ac3080，18ab sin 3024 2sin 452222622( 31(4 22 2

18、( 314 22( 31 (.4 ） 海里）222( 31(4 22 2( 314 2cos 75 ）【规律方法规律方法】距离问题的常见类型及解法距离问题的常见类型及解法1.1.类型类型: :测量距离问题常分为三种类型测量距离问题常分为三种类型: :山两侧、河两岸、河对岸山两侧、河两岸、河对岸. .2.2.解法解法: :选择合适的辅助测量点选择合适的辅助测量点, ,构造三角形构造三角形, ,将实际问题转化为求某个三角形将实际问题转化为求某个三角形的边长问题的边长问题, ,从而利用正、余弦定理求解从而利用正、余弦定理求解. .【秒杀绝招秒杀绝招】直角三角形解直角三角形解t1,t1,记气球在地面的

19、投影为记气球在地面的投影为d,d,在在rtrtacdacd中中, ,tan 60tan 60= ,= ,所以所以cd=60 ,cd=60 ,在在rtrtabdabd中中, ,因为因为tan 15tan 15= ,tan 15= ,tan 15=tan(60=tan(60-45-45)= )= 所以所以bd=120-60 ,bd=120-60 ,所以所以bc=cd-bc=cd-bd=120( -1)(m).bd=120( -1)(m).cdad3bdadtan 60tan 45231tan 60 tan 45 ，33考点二测量高度问题考点二测量高度问题 【典例典例】1.1.一架直升飞机在一架直升

20、飞机在200 m200 m高度处进行测绘高度处进行测绘, ,测得一塔顶与塔底的俯角分测得一塔顶与塔底的俯角分别是别是3030和和6060, ,则塔高为则塔高为( () ) 400400 3a. m b. m33200 3200c. m d. m332.2.如图如图, ,在水平地面上有两座直立的相距在水平地面上有两座直立的相距60 m60 m的铁塔的铁塔aaaa1 1和和bbbb1 1. .已知从塔已知从塔aaaa1 1的底的底部看塔部看塔bbbb1 1顶部的仰角是从塔顶部的仰角是从塔bbbb1 1的底部看塔的底部看塔aaaa1 1顶部的仰角的顶部的仰角的2 2倍倍, ,从两塔底部连从两塔底部连

21、线中点线中点c c分别看两塔顶部的仰角互为余角分别看两塔顶部的仰角互为余角. .则从塔则从塔bbbb1 1的底部看塔的底部看塔aaaa1 1顶部的仰角顶部的仰角的正切值为的正切值为_;_;塔塔bbbb1 1的高为的高为_m._m.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【解题导思解题导思】序号序号联想解题联想解题1 1由由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是测得一塔顶与塔底的俯角分别是3030和和6060”,”,想到作想到作图图, ,建立数学模型建立数学模型2 2由由“60 m”“60 m”“从塔从塔aaaa1 1的底部看塔的底部看塔bbbb1 1顶部的仰角是从塔顶部的仰角是从塔bbbb1 1的的底部看塔底部看

22、塔aaaa1 1顶部的仰角的顶部的仰角的2 2倍倍”“”“从两塔底部连线中点从两塔底部连线中点c c分别分别看两塔顶部的仰角互为余角看两塔顶部的仰角互为余角”, ,想到想到a a1 1acaccbbcbb1 1【解析解析】1.1.选选a.a.如图所示如图所示. . 在在rtrtacdacd中中,cd= =be,cd= =be,在在abeabe中中, ,由正弦定理得由正弦定理得 所以所以ab= ,de=bc=200- (m).ab= ,de=bc=200- (m).200 333abbesin 30sin 60，2003200400332.2.设从塔设从塔bbbb1 1的底部看塔的底部看塔aaa

23、a1 1顶部的仰角为顶部的仰角为,则则aaaa1 1=60tan m,bb=60tan m,bb1 1= =60tan 2 m.60tan 2 m.因为从两塔底部连线中点因为从两塔底部连线中点c c分别看两塔顶部的仰角互为余角分别看两塔顶部的仰角互为余角, ,所以所以a a1 1acaccbbcbb1 1, ,所以所以 所以所以aaaa1 1bbbb1 1=900,=900,所以所以3 600tan tan 2=900,3 600tan tan 2=900,所以所以tan = (tan = (负值舍去负值舍去),),所以所以tan 2= ,bbtan 2= ,bb1 1=60tan 2=45(

24、m).=60tan 2=45(m).答案答案: : 454511aa3030bb，133413【规律方法规律方法】求解高度问题的关注点求解高度问题的关注点1.1.在处理有关高度问题时在处理有关高度问题时, ,要理解仰角、俯角要理解仰角、俯角( (在铅垂面上所成的角在铅垂面上所成的角) )、方向、方向( (位位) )角角( (在水平面上所成的角在水平面上所成的角) )是关键是关键. .2.2.注意山或塔垂直于地面或海平面注意山或塔垂直于地面或海平面, ,把空间问题转化为平面问题把空间问题转化为平面问题. .【变式训练变式训练】(2019(2019宜春模拟宜春模拟) )某工厂实施煤改电工程防治雾霾

25、某工厂实施煤改电工程防治雾霾, ,欲拆除高为欲拆除高为abab的烟囱的烟囱, ,测绘测绘人员取与烟囱底部人员取与烟囱底部b b在同一水平面内的两个观测点在同一水平面内的两个观测点c,d,c,d,测得测得bcd=75bcd=75, , bdc=60bdc=60,cd=40,cd=40米米, ,并在点并在点c c处的正上方处的正上方e e处观测顶部处观测顶部a a的仰角为的仰角为3030, ,且且ce=1ce=1米米, ,则烟囱高则烟囱高ab=_ab=_米米.【解析解析】cbd=180cbd=180-bcd-bdc=45-bcd-bdc=45, ,在在cbdcbd中中, ,由正弦定理得由正弦定理得

26、bc= (bc= (米米),),所以所以ab=1+tan 30ab=1+tan 30cb=1+20 (cb=1+20 (米米).).答案答案: :(1+20 )(1+20 )cdsin bdc20 6sin cbd22考点三测量角度问题考点三测量角度问题 命命题题精精解解读读考什么考什么: :航行方向问题航行方向问题, ,航行时间、速度问题等航行时间、速度问题等. .怎么考怎么考: :考查运用正弦定理、余弦定理解决航向、时间、速度等实际考查运用正弦定理、余弦定理解决航向、时间、速度等实际问题问题. .新趋势新趋势: :运用正弦定理、余弦定理解决实际问题运用正弦定理、余弦定理解决实际问题. .学

27、学霸霸好好方方法法1.1.不要搞错各种角的含义不要搞错各种角的含义, ,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混混. .2.2.在实际问题中在实际问题中, ,可能会遇到空间与平面可能会遇到空间与平面( (地面地面) )同时研究的问题同时研究的问题, ,这这时可以画两个图形时可以画两个图形, ,一个空间图形一个空间图形, ,一个平面图形一个平面图形, ,这样将空间几何问这样将空间几何问题转化为平面几何问题题转化为平面几何问题, ,处理起来既清楚又不容易出现错误处理起来既清楚又不容易出现错误. .【命题角度命题角度1 1】 方向问题方向问题【典例典例】如图如图,

28、,两座灯塔两座灯塔a a和和b b与海岸观察站与海岸观察站c c的距离相等的距离相等, ,灯塔灯塔a a在观察站南偏西在观察站南偏西4040, ,灯塔灯塔b b在观察站南偏东在观察站南偏东6060, ,则灯塔则灯塔a a在灯塔在灯塔b b的的( () )a.a.北偏东北偏东1010b.b.北偏西北偏西1010c.c.南偏东南偏东8080d.d.南偏西南偏西8080【解析解析】选选d.d.由条件及题干图知由条件及题干图知,cab=cba=40,cab=cba=40, ,又又bcd=60bcd=60, ,所以所以cbd=30cbd=30, ,所以所以dba=10dba=10, ,因此灯塔因此灯塔a

29、 a在灯塔在灯塔b b的南偏西的南偏西8080. .【解后反思解后反思】解决测量角度问题时有哪些注意事项解决测量角度问题时有哪些注意事项? ?提示提示: :1 1. .测量角度时测量角度时, ,首先应明确方位角及方向角的含义首先应明确方位角及方向角的含义. .2.2.求角的大小时求角的大小时, ,先在三角形中求出其正弦或余弦值先在三角形中求出其正弦或余弦值. .3.3.在解应用题时在解应用题时, ,要由已知正确画出示意图要由已知正确画出示意图, ,通过这一步可将实际问题转化为可通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题用数学方法解决的问题, ,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点解

30、题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点. .【命题角度命题角度2 2】时间、速度问题时间、速度问题【典例典例】如图如图, ,据气象部门预报据气象部门预报, ,在距离某码头南偏东在距离某码头南偏东4545方向方向600 km a600 km a处的热处的热带风暴中心正以带风暴中心正以20 km/h20 km/h的速度向正北方向移动的速度向正北方向移动, ,距风暴中心距风暴中心450 km450 km以内的地区以内的地区都将受到影响都将受到影响, ,则该码头将受到热带风暴影响的时间为则该码头将受到热带风暴影响的时间为( () )a.14 ha.14 hb.15 hb.15 hc.16 hc.16

31、hd.17 hd.17 h【解析解析】选选b.b.记现在热带风暴中心的位置为点记现在热带风暴中心的位置为点a,ta,t小时后热带风暴中心到达点小时后热带风暴中心到达点b b位置位置, ,在在oaboab中中,oa=600 km,ab=20t km,oab=45,oa=600 km,ab=20t km,oab=45, ,由余弦定理得由余弦定理得obob2 2=600=6002 2+ +400t400t2 2-2-220t20t600600 , ,令令obob2 24504502 2, ,即即4t4t2 2-120 t+1 5750,-120 t+1 5750,解得解得 所以该码头将受到热带风暴影

32、响的时间为所以该码头将受到热带风暴影响的时间为 22230 2 1530 2 15t22 ，30 2 1530 2 1515(h .22）【解后反思解后反思】如何求解码头将受到热带风暴影响的时间如何求解码头将受到热带风暴影响的时间? ?提示提示: :已知热带风暴速度已知热带风暴速度, ,所以将时间问题转化为路程问题所以将时间问题转化为路程问题, ,即求出码头受到热即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度带风暴影响时的风暴路线长度. .运用解三角形知识求解即可运用解三角形知识求解即可. .【题组通关题组通关】 【变式巩固变式巩固练练】1.1.如图所示如图所示, ,已知两座花坛已知两座花坛a a

33、和和b b与教学楼与教学楼c c的距离相等的距离相等, ,花坛花坛a a在教学楼在教学楼c c的北偏的北偏东东4040的方向上的方向上, ,花坛花坛b b在教学楼在教学楼c c的南偏东的南偏东6060的方向上的方向上, ,则花坛则花坛a a在花坛在花坛b b的的_的方向上的方向上. 【解析解析】由已知由已知,abc= (180,abc= (180-80-80)=50)=50, ,所以花坛所以花坛a a在花坛在花坛b b的北偏西的北偏西1010的方向上的方向上. .答案答案: :北偏西北偏西1010122.2.在一次抗洪抢险中在一次抗洪抢险中, ,某救生艇发动机突然发生故障停止转动某救生艇发动机

34、突然发生故障停止转动, ,失去动力的救生失去动力的救生艇在洪水中漂行艇在洪水中漂行, ,此时此时, ,风向是北偏东风向是北偏东3030, ,风速是风速是20 km/h;20 km/h;水的流向是正东水的流向是正东, ,流流速是速是20 km/h,20 km/h,若不考虑其他因素若不考虑其他因素, ,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_,_,大小为大小为_km/h._km/h.【解析解析】如图如图aob=60aob=60, ,由余弦定理知由余弦定理知ococ2 2=20=202 2+20+202 2-800cos 120-800cos 120=1 200,=1 200,故故oc=20 ,oc=20 ,coy=30coy=30+30+30=60=60. .答案答案: :606020 20 33【综合创新综合创新练练】如图如图, ,两座相距两座相距60 m60 m的建筑物的建筑