经济数学微积分-吴传生10-3

1、一、一、微分方程在经济中的应用微分方程在经济中的应用 二、小结二、小结 第三节第三节 一阶微分方程在经济学中一阶微分方程在经济学中 的综合应用的综合应用分析商品的市场价格与需求量分析商品的市场价格与需求量( (供应量供应量) )之间的函数关系之间的函数关系解解dln3dpxpxp 由由已已知知一、微分方程在经济中的应用一、微分方程在经济中的应用dln3dxxp 即即分分离离变变量量解解此此微微分分方方程程dln3dxpx 两边积分得两边积分得Cpxln3lnln 3lnpCex 12001200, 0 Cxp得得，再再由由px 31200)(4003120011公公斤斤的的需需求求量量为为元元

2、时时，市市场场上上对对该该商商品品当当价价格格为为 x解解d()dpDSt 由由已已知知d(d)()()dpcpabpacbd pt即即d()()dpbd pact 即即( )d( )d( )d)p ttp ttpeq t etc 其其通通解解为为)()(),()(catqdbtp 这这里里tdbtdbtdbeedbcacep)()()()()( 所所以以0 pcedbcacetdbtdb )()( ppcpp 00)0(代代入入上上式式，得得由由的的函函数数关关系系为为与与时时间间故故所所求求价价格格tppeppptdb )(0)( .,即即价价格格趋趋于于平平衡衡价价格格显显然然当当ppt

3、 解：解：程程据题意，可建立微分方据题意，可建立微分方d ( )( )( ),dx tkx tx tkt 其其中中 为为比比例例因因子子d ( ):d( )( )x tk tx tx t 分分离离变变量量0txa111d ( )d( )( )x tk tx tx t )()()(ln11为为任任意意常常数数CCkttxatx )()()(221为为任任意意常常数数CeCetxtxktCkt 从从而而可可得得通通解解为为)(11)(22为为任任意意常常数数CCeeCeCtxktktkt 例例 4 4 在在某某池池塘塘内内养养鱼鱼，由由于于条条件件限限制制最最多多只只能能养养 1 10 00 00

4、 0条条. .在在时时刻刻 t t 的的鱼鱼数数 y y 是是时时间间 t t 的的函函数数 y= =y y( (t t) )，其其变变化化率率与与鱼鱼数数 y y 和和 1 10 00 00 0- -y y 的的乘乘积积成成正正比比.现现已已知知池池塘塘内内放放养养鱼鱼 1 10 00 0 条条，3 3 个个月月后后池池塘塘内内有有鱼鱼 2 25 50 0 条条，求求 t t 月月后后池池塘塘内内鱼鱼数数 y y( (t t) )的的公公式式.问问 6 6 个个月月后后池池塘塘中中有有鱼鱼多多少少？ 解：解：03d(1000),100,250dttykyyyyt 由由已已知知解解此此微微分分

5、方方程程分析产量、收入、成本及利润之间的函分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系数关系ktceyy10001000 代代入入得得将将250,10030 ttyy kcec30002501000250100100010030003ln,91 kC解得解得关系为关系为月后鱼数与时间的函数月后鱼数与时间的函数即即t33911000tyy 333931000tty 即即个个月月后后鱼鱼塘塘中中鱼鱼数数当当放放养养 6)(500393100022条条 y解：解：00d()dXLk ALxLL 由由题题意意列列出出方方程程dd ,Lk xAL 分分离离变变量量两两边边积积分分)1(,ln)ln(11CC

6、CeLACkxLAkx 其其中中kxCeAL 000LACLLx 解解得得由由初初始始条条件件函函数数关关系系为为所所以以纯纯利利润润与与广广告告费费的的kxeLAAL )(0例例 6 6 某某商商场场销销售售成成本本 y y 和和存存储储费费用用 s s 均均是是时时间间 t t的的函函数数，随随时时间间 t t 的的增增长长, ,销销售售成成本本的的变变化化率率等等于于存存储储费费用用的的倒倒数数与与常常数数 5 5 的的和和；而而存存储储费费用用的的变变化化率率为为存存储储费费用用的的31 ，若若当当 t t= =0 0 时时，销销售售成成本本y y= =0 0，存存储储费费用用 S S

7、= =1 10 0. .试试求求销销售售成成本本与与时时间间 t t 的的函函数数关关系系及及存存储储费费用用与与时时间间 t t 的的函函数数关关系系. . 解：解：d15dd1d3ytSSSt 由由已已知知)2()1(得得解解)2(10100.3 cStceSt解解出出时时由由的的函函数数关关系系为为于于是是存存储储费费用用与与时时间间t310teS 得得将将上上式式代代入入方方程程)1(3d15d10tyet 解此方程得解此方程得000,5103113 cytcteyt解解出出时时由由的的函函数数关关系系为为即即销销售售成成本本与与时时间间 t.51033teyt 解：解：11 d,10

8、3 dySy It 由由已已知知11 d103 dySIyt 当当有有关于国民收入、储蓄与投资关系关于国民收入、储蓄与投资关系解此微分方程得解此微分方程得550103 cytceyt得得时时由由tey1035 即即国国民民函函数数为为为为而储蓄函数和投资函数而储蓄函数和投资函数teIS10321 解：解：d1d10yt 由由已已知知cty 101所所以以得得国国民民收收入入函函数数关于国民收入与国民债务问题关于国民收入与国民债务问题，于于是是国国民民收收入入函函数数为为得得时时由由550 cyt5101 tyd111(5)d2020 10Dytt又又由由已已知知12414001cttD 解此方

9、程得解此方程得，故故国国民民债债务务函函数数为为得得时时由由1 . 01 . 001 cDt1014140012 ttD关于流动收入、流动消费和流动投资问题关于流动收入、流动消费和流动投资问题解：解：yyyyy 10, 5, 3且且于于是是流流动动函函数数为为teyyyy)(0)( te)14131(21)53(5 te24525 11111111d111,()34d2yCy IyCIyt )(751. 410亿元亿元时，则流动收入时，则流动收入 yt)(5 亿元亿元时，流动收入时，流动收入显然当显然当 yt)7128. 2( e这这里里取取)(2949. 45,亿亿元元时时，则则流流动动收收

10、入入若若此此题题中中 yt解：解：d()dxAxt 由由解解此此微微分分方方程程得得关于商品存储过程中的基本衰减问题关于商品存储过程中的基本衰减问题ddxtAx tAxCe 即即ACxt 代入得代入得时，时，00的的函函数数关关系系为为腐腐败败数数量量与与时时间间 t)1( teAx 解：解：2d281dyyxxx由由已已知知在其他方面的应用在其他方面的应用2d281dyyxxx 改改写写为为代入通解公式代入通解公式22dd281(d)xxxxyeexCx )27(3ln2Cxeyx 即：即：)27(32Cxx 227Cxx 215 .271 Cyx，解解出出时时又又由由的的函函数数关关系系为

11、为与与大大修修的的时时间间间间隔隔即即总总维维修修成成本本xy22127xxy 30272 xxxy解得解得令令.3, 01543有最小值有最小值时，时，故故因因yxxy .3最最低低成成本本年年大大修修一一次次可可使使总总维维修修即即每每辆辆汽汽车车解：解：d2dd1d3ytSSSt 由由已已知知)2()1(得得解解微微分分方方程程)2(5 . 45 . 40,3 CStCeSt，得得时时由由的的函函数数关关系系为为与与时时间间汽汽车车转转卖卖值值tS35 . 4teS 得得将将此此式式代代入入方方程程)1(3d4d9tyet 解此方程得解此方程得1334Ceyt 得得时时由由00 yt34

12、1 C的的函函数数关关系系为为与与时时间间即即汽汽车车运运行行成成本本ty).1(343 tey例例 1 13 3 关关于于消消费费者者的的收收入入与与消消费费需需求求的的关关系系问问题题： xy，消消费费者者的的收收入入为为设设消消费费者者的的需需求求量量为为dd( ),( )ddyxyyxxxyxx即即入入的的弹弹性性为为则则需需求求量量对对消消费费者者的的收收d( )( )d ,( )yxxxxyxx 于于是是有有称称为为平平均均弹弹性性d( )dyxxy 则则解此微分方程得：解此微分方程得：为为定定常常数数若若平平均均弹弹性性 )(xxcey 为为定定常常数数若若弹弹性性函函数数 )(

13、xd:dyxyx 则则有有. cxy 解此微分方程得：解此微分方程得：.3,15 . 0.时时的的消消费费需需求求量量人人收收入入为为数数关关系系，并并求求消消费费者者个个之之间间的的函函与与个个人人收收入入求求消消费费需需求求量量费费需需求求量量时时，消消，且且当当消消费费者者收收入入为为比比的的平平均均弹弹性性为为率率之之对对消消费费者者个个人人收收入入增增长长测测算算：消消费费需需求求增增长长率率经经有有关关费费者者的的个个人人收收入入条条件件下下，需需求求量量只只与与消消时时，发发现现在在价价格格稳稳定定的的量量如如某某地地区区研研究究消消费费需需求求xyeyxxy 解：解：0.5d0.5d,xyxycey 由由有有,c1eeyx 有：有：时，时，由由:的的函函数数关关系系为为与与个个人人收收入入即即需需求求量量xyxeey5 . 0 4 . 7,35 . 1 eeyx时时当当. 4 . 73时时，消消费费需需求求约约为为即即当当消消费费者者个个人人收收入入为为二、小结二、小结1.1.理解函数关系；理解函数关系；2.2.建立微分方程；建立微分方程；3.3.确定初始条件；确定初始条件；4.4.求解求解. .掌握一类经济问题建立数学模型的方法：掌握一类经济问题建立数学模型的方法：练习题练习题答案练习题答案 ；万万元元，)(125)10(2520.5;100.44)63sin