经济数学专升本串讲

1、 济南职业学院 刘明经济数学专升本串讲 做判断题常用到的结论： 1、可导必连续，不连续必不可导，连续未必可导 2、驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点 3、单调函数必可积，可积函数必有界 4、处处有切线的函数未必处处可导 5、处处可导的函数必处处有切线 6、在某点处有极限的充要条件是在这点处左右极限均存在且相等。 7.在某点处连续的充要条件是在这点处的极限等于这点处的函数值。 8、在某点处可导的充要条件是函数在这点处连续，左右导数均存在且相等。 第一章 基础知识 1、定义域xxxxxaarcsintan1log、 2、值域 Y=f(x)在a,b区间上的值域 (1)求出f(x),解出驻点及导

2、数不存在的点x0 (2)比较f(a)、f(b)、f(x0)的大小。 3、奇偶性 奇：f(-x)=-f(x),关于原点对称 例如： 偶：f(-x)=f(x),关于y轴对称 例如：注意：1.奇+偶是非奇非偶，如y=x+1 2.奇函数在对称区间上的定积分值为0 xxxsin,3532223, ,cos ,cos5x xx xx 4、单调性 求Y=f(x)的单调性 (1)求出f(x),解出所有驻点及导数不存在的点x0 （2）将以上所有点在数轴上按照从小到大的顺序列出来 （3）最高项系数为正，从最大根右上方穿根。 最高项系数为负，从最大根右下方穿根 （4）奇穿偶切 5、常见函数的图象 一次、二次、三次、

3、指、对、幂（第一象限正抛负双）、三角函数、对勾函数 Y=f(x)在x0处连续的充要条件是的充要条件是 Y=f(x)在x0处有极限的充要条件是的充要条件是00()lim( )xxf xf x0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA注注: : 常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 例例 判断函数判断函数 1cos,0( )sin,0 xxf xxx 在在 x=0 x=0 点处是否有极限点处是否有极限. . 第二章 极限与连续 2、间断点类型 （1）第一类间断点： 可去间断点 跳跃间断点 (2)第二类 无穷 其它xyx

4、yxxxyxxy1cos11, 01,1123、求极限的方法 （1）直接代入法 （2）两个重要极限 注意： （3）洛必达法则 （4）指数法 （5）分子分母有理化法 （6）同除因子法 （7）等价无穷小法xxxxxxxxxtdtxxxxxxxxxx5tan3sin232111)(sinsin0)11 (limlimlimlimlimlim022020020004、无穷小 高阶、低阶、同阶、等价xxxexxxxxarctan,arcsin),1ln(, 1,tan,sin, 0与以下形式等价5、连续的应用 例：311lim)2(,0,2sin0,)() 1 (20baxxxxaxxxxaxxfx求等

5、价6、闭区间上连续函数 最值定理、零点存在定理、介值定理 例：.0 , 1 , 013有且只有一根 xx三、导数 1、定义?)()2(lim:)()()(lim0000000 xxfxxfxfxxfxxfxx例例例 证明函数证明函数 在在x=0处连续但不可导处连续但不可导.| |yx 2、导数公式为为常常数数）CC(0).(1 为常数）为常数） ().(21 xxaxxaln1).(log3 14.(ln )xx aaaxxln)(5 . .xxee ).(6xxcos).(sin7 xxsin).(cos8 xxx22cos1sec).(tan9 xxx22sin1csc).(cot10 x

6、xxtansec).(sec11 xxxcotcsc).(csc12 211).(arcsin13xx 211).(arccos14xx);()()()()1 (xvxuxvxu),()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu 2)()()()()()()()3(xvxvxuxvxuxvxu 211).(arctan15xx 21161.(arccot ) xx 3、函数求导 （1）复合函数求导：链导法 （2）隐函数求导： （3）对数求导： （4）参数方程求导：例例yxy求,2lnsin2xxxxy2221212lncos222 解：解：22lncos22 xxx22xyxyeyex

7、（2）. 隐函数的导数隐函数的导数例例 求方程求方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得0)2(2 xyeyxxyye隐函数即是由隐函数即是由 =0所确定的函数，其求导方法就是所确定的函数，其求导方法就是把把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。 ( , )F x yy 20yxex y e 即即)1ln(2)1(xxxexyy 2 2可可以以写写成成函函数数解一解一)1ln(2 xxey )1ln(2)1ln(2 xxexx )1(1)1ln(222)1ln(2xxxxexx 222212)1ln

8、()1(xxxxxyxyx 求求设设,)1(2例例)1ln(ln2xxy 两边对两边对x求导，由链导法有求导，由链导法有xxxxyy21)1ln(122 22212)1ln(xxx 222212)1ln()1(xxxxyx 解二称为解二称为对数求导法对数求导法，可用来求幂指函数和多个因，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导注：注：两边取自然对数两边取自然对数将函数将函数xxy)1(2 解二解二 解：解： 曲线上对应曲线上对应t =1的点（的点（x, y)为（为（0,0）,曲线曲线t =1在处的切线斜率为在处

9、的切线斜率为1 tdxdyk12231 ttt122 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y =x123 txtty求曲线求曲线在在t =1处的切线方程处的切线方程例例4、导数的应用 （1）在某点处的切线、法线方程 （2）求单调性 （3）求极值点 方法1：一阶导数等于0或者导数不存在的点。二阶导数大于0，极小值；二阶导数小于0，极大值。 方法2：一阶导数在x0左右异号 （4）求驻点 （5）求最值 （6）凹凸性和拐点：f(x)=0或者不存在，解得x=x0,f(x) 在x0左右异号 （7）导数在经济上的应用 盈亏平衡点、边际成本、边际收入、边际利润、需求弹性、收入弹性，利润最大化。例例某工厂

10、生产某种产品，固定成本某工厂生产某种产品，固定成本2000020000元，每生产元，每生产一单位产品，成本增加一单位产品，成本增加100100元。已知收益元。已知收益QL()2000100QQ C C = = C C解解 根据题意，总成本函数为根据题意，总成本函数为是年产量是年产量的函数的函数21400()280000QQRR Q 0400Q400Q 问每年生产多少产品时总利润最大问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为( )( )( )L LQRQC Q 21300200000400260000100400QQQQQ R R(

11、 )( )( )L QR QC Q 3000400100400QQQ 令令 得得0() L300Q 由于由于 ,故故 时利润最大时利润最大01)300( L300Q 此时此时2500020000900002190000)300( L 即当生产量为即当生产量为300个单位时个单位时, 总利润最大总利润最大,其最大其最大利润为利润为25000元元.解解 需求弹性为需求弹性为例例 已知某商品的需求函数已知某商品的需求函数 求求 ,10PeQ ,101)(10PePfQ 5,10,15PPP时的需求弹性并说明其意义时的需求弹性并说明其意义 10101( )1010PPpPPfPeqe (5)0.5,

12、说明说明P=5时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少0.5(10)1, 说明说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同时，价格与需求的变动幅度相同(15)1.5, 说明说明P=15时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少1.5解解 函数的定义域函数的定义域 且在定义域内连续且在定义域内连续),(例例 确定函数确定函数的单调区间和极值。的单调区间和极值。32xy 332xy 其导数为其导数为当当 时时 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的点的点0 xy 0 y用用 把定义域分成两个区间，见下表：把定义域分成两个区间，见下表：0 x x(-,0)(0,+) f(x) -

13、 + f (x) 单减 单增 是函数的极小值点，极小值是是函数的极小值点，极小值是00 x曲线的渐近线曲线的渐近线 有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远形向无限远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是延伸的曲线，越来越接近某一直线的趋势，这种直线就是曲线的渐近线。曲线的渐近线。 定义定义 如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点如果曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。与某直线的距离趋于零，则

14、称此直线为曲线的渐近线。1 1水平渐近线水平渐近线如果曲线如果曲线 的定义域是无穷区间，且有的定义域是无穷区间，且有 或或 , ,则直线则直线 为曲线为曲线 的渐近线，称的渐近线，称)(xfy bxfx )(limby bxfx )(lim)(xfy 为水平渐近线为水平渐近线. .如下图如下图 xyoxyo例例 求曲线求曲线 的水平渐近线。的水平渐近线。11 xy解解 因为因为所以所以 是曲线的一是曲线的一条水平渐近线，如图示条水平渐近线，如图示011limxx0 yyxo12、铅直渐近线、铅直渐近线如果曲线如果曲线 满足满足 或或 )(xfy )(limxfcx )(limxfcx )(li

15、mxfcx则称直线则称直线 为曲线为曲线 的铅的铅直渐近线（或垂直渐近线），如图直渐近线（或垂直渐近线），如图cx )(xfy 例求曲线例求曲线 的铅直渐近线。的铅直渐近线。11 xy解解 因为因为所以所以 是曲线的一条铅直渐近线。是曲线的一条铅直渐近线。 11lim1xx1 x如前页图所示如前页图所示例例 作函数作函数 的图形。的图形。 24(1)2xyx解解 （1 1）定义域为）定义域为: :(,0) (0,) （2 2）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；因为因为 ，3)2(4xxy 4)3(8xxy 令令 得得 ；令令 得得 列表如下列表如

16、下: :0 y2 x0 y3 xx(,3 ) (3 ,2 )(2 , 0 )320 0 + 0 + + + ),0(y y y（3 3）渐近线：因为）渐近线：因为 所以所以 为水平渐近线；为水平渐近线； 22)1(4lim2 xxx2x 又因为又因为 ， 所以所以 为铅直渐近线。为铅直渐近线。 2)1(4lim20 xxx0 x（4 4） 描出几个点：描出几个点：12(,),A 1 6( ,),B2 1( , ),C239( ,).Dxyo如图所示如图所示作出函数图形作出函数图形5、中值定理 罗尔中值定理：f(x)在a,b闭区间上连续，开区间上可导，则拉格郎日中值定理：f(x)在a,b闭区间上

17、连续，开区间上可导，则0)(fabafbff)()()(四、不定积分 连续函数可积，可积函数必有界。 1、积分公式(6) sin dcosxxxC (1) d kxkxC4.14.1不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式d(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xxxxC 21(12) dar

18、csin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx2、凑微分法)(arctan11)(arcsin11)(cossin)(sincos)1(1)(ln121)(1dx2222xddxxxddxxxdxdxxdxdxxddxxxddxxdxxdxbaxda( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx凑微分例例 求求.d) 13(2008xx d3113d31 d 200820082008) 13() 13(uxxuxx）（于是有uud31=200820092009111(31).320096027CxCu.d 42xxx d21)4(d421 d4)4(21)(21

19、x22222uuxxxxdxddxxx例例 求求Cu233221=.231)4(23Cx) 13 (31dxdx3、换元积分法 常用换元方法：( )d( )( )d( )d( )( )f xxftttg ttF tCxt 换换元元( ) tx 还还原原1( )FtC taxataxxtaxxtxxtbaxsec,xtan,asin,a3,x21222222613n有有、有取指数最小公倍数，令、有、令例例 求求.d) 13(2008xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有，得，得令uxxuxud31d3dd13解解uud31=200820092009111(31).320096

20、027CxCu.d 42xxx d2d4 2则，则令xxuux解解 d21 d42uuxxx例例 求求Cu233221=.31)4(223Cx0).( d22axax，例例9 求求ttataxaxdseccos1d1222解解，于是令tataataxataxcos1sec1tan11 ,tan22222，ttaxdsecd2.tansecln dsecCtttt(1)(1)22d xax=1arctanxCaa0a arcsin.xCa(2)(2)2211 d ln.2xaxCaxaxa(3)(3)cscdln csccotxxxxC(4)(4)secdxx ln sectanxxC(5)(5

21、)此外还可以得到一组积分公式：此外还可以得到一组积分公式： dxxa221，邻边斜边可得，利用图所示三角形，根据aaxtaxt22sec tan).ln( ln lnd1 12212222aCCCxaxCaxaaxxax其中ax22ax t4、分部积分法 先选U，指多选多、三多选多， 其它不选多vduuvudv.dcosexxx例例 求求 )(dcos dcos eexxxxx解解xxxxxdsincosee)(dsincos eexxxxxxxxxxxdcossincoseee,dcossincosdcos eeeexxxxxxxxxx这样便出现了循环公式,sincosdcos2 1eeeC

22、xxxxxxx移项得).2( )sin(cos2dcos1eeCCCxxxxxxCxxxxxx)cos(sin2dsin ee类似地，有5、有理分式积分 （1）转为真分式 （2）分母在实数范围内因式分解 （3）将分式分解成几个分式的和，分式的分子用待定系数法 （4）分别求积分cxxxdxdxxdxxxxxx1ln3131) 1(1131)1(1dx3333232235例例 6、三角函数类可以用万能公式，也可以用同角三角关系，以及积化和差公式。例例 求求 .d tanxx=ln |cos|.xC类似地，有类似地，有 dln sincot|.xxxC dcossin d tan xxxxx解解)d

23、(cos cos1xxcxctdttdttttdxxdttdxtxxtttxttxttxdxx1122222222)21(2)1(2)1(21211211sin2112arctan22tan11cos,12sin,12tan,1sin21用万能公式例五、定积分 1、牛顿、莱布尼兹公式baaFbFdxxf)()()( 如果在如果在a,b上上f(x)既可取正值又可取负值，则定既可取正值又可取负值，则定积分积分 在几何上表示介于曲线在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴之间的各部分面积的代数和轴之间的各部分面积的代数和.baxxfd)(1324( )d()()baf xxAAAA 1234AAAA x y= f (x)aboyA4A3A2A1() dbaAfxx2、求面积和旋转体体积例计算例计算20