《垂直于弦的直径》教学

1、阎良一中阎良一中 高亚玲高亚玲 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的多年前我国隋代建造的石拱桥石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中弧的中点到弦的距离点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 实践探究实践探究把一个圆形纸沿着它的任意一条直径对把一个圆

2、形纸沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？得到什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴是它的对称轴把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，C 和和C 重合，重合，D 和和D重合重合活活 动动 二二如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个

3、图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OEDABC（1） O是轴对称图形直径是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：）线段：AE=BE弧：弧：ACC，DD.OABCED那么直径那么直径CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分AB及及ACB即即AEBE，ADBD，ACBC如图，如果直径如图，如果直径CD弦弦AB，垂足为点，垂足为点E.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧如图，如图，AB是是

4、O的一条（非直径）的弦，点的一条（非直径）的弦，点E是是AB的中点，的中点，过点过点E作直径作直径CD问：直径问：直径CD弦弦AB吗？为什么？吗？为什么？你还能得出什么结论？你还能得出什么结论？OABCED直径直径CD弦弦AB.理由：连接OA和OBAB，AOB是等腰三角形点E是AB的中点，直径CD弦AB直径直径CD平分劣弧平分劣弧AB、平分优弧平分优弧ACB垂径定理推论垂径定理推论平分弦（不是直径）的直平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧AE=BE,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AD=BD.AC=BC, 垂径定理：垂径定理

5、：推论：推论：CDAB,n由由 CD是直径是直径 AE=BE AC=BC, AD=BD.可推得可推得D知二得三知二得三 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 解决

6、求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据垂径定理得，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高BODACROD=OCCD=R7.2,7.184.372121ABAD在图中，AB=37.4，CD=7.2，在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即 R2=18.72+（R7.2）2解得：R27.9（m）赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.弦长弦长a a、弦心距、弦心距d d、半径、半径R R以及弓形高以及弓形高h h之间的关系：之间的关系： ；Rhd

7、 222R2ad活动三活动三巩固提高，灵活运用巩固提高，灵活运用 1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径BAOE解：解：OEAB118422AEAB 在在Rt AOE 中中 222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，11 22AEAC ADAB，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.DOABCE（1） 本节课你学到了哪些数学知识？本节课你学到了哪些数学知识？（2） 在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3） 这些方法中你又用到了哪些数学思想？这些方法中你又用到了哪些数学思想？别忘记还有我哟！别忘记还有我哟！作业：作业：1、教材88页习题24.1第8题