直接证明与间接证明

1、第第6课时直接证明与间接证明课时直接证明与间接证明证明的结论证明的结论推理论证推理论证成立成立充分条件充分条件内容内容综合法综合法分析法分析法文字语文字语言言因为因为所以所以或或由由得得要证要证只需证只需证即证即证思考感悟思考感悟综合法和分析法的区别与联系是什么？综合法和分析法的区别与联系是什么？提示：提示：综合法的特点是：从综合法的特点是：从“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向逐步推向“未知未知”其逐步推理实际上是寻找它其逐步推理实际上是寻找它的必要条件分析法的特点是：从的必要条件分析法的特点是：从“未知未知”看看“需需知知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”其逐步推理实际上是寻其逐步推理实

2、际上是寻求它的充分条件在解决问题时，经常把综合求它的充分条件在解决问题时，经常把综合法和分析法综合起来使用法和分析法综合起来使用2间接证明间接证明反证法：假设原命题反证法：假设原命题_ (即在原命题的条即在原命题的条件下，结论不成立件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得，经过正确的推理，最后得出出_因此说明假设错误，从而证明了原命因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法题成立，这样的证明方法叫做反证法不成立不成立矛盾矛盾综合法综合法综合法是综合法是“由因导果由因导果”，它是从已知条件出发，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出顺着推证，经过一系

3、列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明的逻辑关系所证结论的真实性用综合法证明的逻辑关系是：是：ab1b2bnb(a为已知条件或数为已知条件或数学定义、定理、公理等，学定义、定理、公理等，b为要证结论为要证结论)，它的，它的常见书面表达是常见书面表达是“，”或或“”分析法分析法分析法是分析法是“执果索因执果索因”，一步步寻求上一步，一步步寻求上一步成立的充分条件它是从要求证的结论出成立的充分条件它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则

4、等定理、公理、公式、法则等)用分析法证用分析法证明命题的逻辑关系是：明命题的逻辑关系是：b b1 b2 bn a.它的常见书面表它的常见书面表达是达是“要证要证只需只需”或或“ ”【思路分析思路分析】a bab0，利用，利用a2|a|2求求证证平方得平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，只需证只需证|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20，显然成立，显然成立故原不等式得证故原不等式得证【误区警示误区警示】本题从要证明的结论出发，探本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都求使结论成立的充分条件，最后找到的恰恰都是已证的命题是已证的

5、命题(定义、公理、定理、法则、公式定义、公理、定理、法则、公式等等)或要证命题的已知条件时，命题得证这正或要证命题的已知条件时，命题得证这正是分析法证明问题的一般思路是分析法证明问题的一般思路一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法若从正面不易推导时，可以考虑用分析法反证法反证法反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是：明问题的一般步骤是：(1)分清问题的条件和结论；分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面假定所要证的结论不成立，而

6、设结论的反面成立成立(否定结论否定结论)；(3)从假设和条件出发，经过正确的推理，导出从假设和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是“假设假设”错误既然结论的反面不成立，从而证明错误既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立了原结论成立(结论成立结论成立)【思路分析思路分析】(1)利用求和公式先求公利用求和公式先求公差差d，(2)利用反证法证明利用反证法证明【名师点评名师点评】当一

7、个命题的结论是以当一个命题的结论是以“至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”或以否定形式出现时或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，反证法常常是解决某些事实矛盾等，反证法常常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器器方法技巧方法技巧1分析法和综合法各有优缺点分析法思考起分析法和综合法各有优缺点分析法思考

8、起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出点是思路逆行，叙述较繁琐；综合法从条件推出结论，较简洁地解决问题，但不便于思考实际结论，较简洁地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来然后再用综合法叙述出来2利用反证法证明数学问题时，要假设结论错利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的理而推出矛盾结果，其

9、推理过程是错误的3用分析法证明数学问题时，要注意书写格用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用式的规范性，常常用“要证要证(欲证欲证)”“即要证即要证”“就要证就要证”等分析得到一个明显成立的结论等分析得到一个明显成立的结论p，再说明所要证明的数学问题成立，再说明所要证明的数学问题成立失误防范失误防范1反证法证明中要注意的问题反证法证明中要注意的问题(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；少任何一种可能，反证都

10、是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的盾必须是明显的2常见的常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”原结论原结论词词反设词反设词原结论词原

11、结论词反设词反设词至少有至少有一个一个一个也一个也没有没有对所有对所有x成立成立存在某个存在某个x不不成立成立至多有至多有一个一个至少有至少有两个两个对任意对任意x不成不成立立存在某个存在某个x成成立立至少有至少有n个个至多有至多有n1个个p或或q綈綈p且綈且綈q至多有至多有n个个至少有至少有n1个个p且且q綈綈p或綈或綈q从近几年的高考试题来看，综合法、反证法证明从近几年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在知识交汇点处命题，像数列，中、高档；主要是在知识交汇点处命题，像数列，立体几何中的平行、

12、垂直，不等式，解析几何等立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等都有可能考查，在考查数学基本概念的同时，注都有可能考查，在考查数学基本概念的同时，注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力推理能力预测预测2012年广东高考仍将以综合法证明为主要考年广东高考仍将以综合法证明为主要考点，偶尔会出现反证法证明的题目，重点考查运点，偶尔会出现反证法证明的题目，重点考查运算能力与逻辑推理能力算能力与逻辑推理能力【名师点评名师点评】本题考查了数列的计算及反本题考查了数列的计算及反证法的证明，试题为中高档题，易误点为：证法的证明，试题为中高档题，易误点为：一是不能转化为新数列；二是求一是不能转化为新数列；