一维离散型随机变量及其分布

1、目 录中文摘要 1英文摘要 1一、 引言 2二、离散型随机变量的概念及分布 22.1 离散型随机变量的概念 22.2 离散型随机变量的分布 3三、离散型随机变量的期望和方差 43.1 离散型随机变量期望及其性质 43.2 离散型随机变量方差及其性质 5四、常见的离散分布 64.1 二项分布 64.2 泊松分布 84.3 超几何分布 10五、总结 11参考文献 11一维离散型随机变量及其分布摘要：离散型随机变量是一种概率论中基本的、重要的随机变量，通过对其概念、特征数及常见的几种离散分布的研究能够延伸概率，同时能为统计学奠定基础。同时揭示了离散型随机变量的统计规律，深化了对随机变量理论体系的认识

2、，沟通了概率与统计的联系.关键词：离散型；随机变量；分布列；二项分布；泊松分布.中图分类号：O211.5.One-dimensional discrete random variable and its distributionAbstract：Random variable is a basic and an important random variable in probability theory, through the study of its concept, the number and characteristics of several common discrete pr

3、obability distribution ，we can extend probability theory and lay the foundation for statistics at the same time. Moreover it reveals a discrete random variable of the statistical law of random variables, deepens the understanding of the theoretical system of the probability and statistics, and commu

4、nicates them.Keywords：Discrete; random variables; distribution of the column;binomial distribution; Poisson Distribution.一引言概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者虽有明显的不同，但它们都是相互渗透、相互联系的。“离散型随机变量的分布”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用。不仅是在理论上，在应用上都有重要的作用，如在生产中控制产品的生产量是一个重要的指标，要做很多这方面的调查统计

5、，又如在经济中，人们要求经济学家对未来的经济趋势进行预测时，他们也要用到各种各样的统计信息，“离散型随机变量的分布”作为中介，对它的研究也至关重要.二离散型随机变量的概念及分布21离散型随机变量的概念随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究。而在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本点呈现随机性，其数量就呈现为随机变量，如打扑克时抽到的数字、掷骰子出现的点数、电灯的寿命都可以为随机变量，有些本身不是数，需要设计一个随机变量，如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试

6、验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（=k）,从而有 并且的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，n.我们作出随机变量的一般定义：定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数X=X（）称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值用小写字母x，y，z等表示。如果一个随机变量仅取有限个或可列个值，则称其为离散型随机变量，由此可见随机变量X是样本点的一个函数，其自变量可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数.22离散型随机变量的分布在认识离散型随机变量的过程中，我们不仅要知道X取哪些值，而且要知道其各自的概率是多少，我们就要用到分布来区分一般的变量与随机变量.定义2.2.

7、1 设X是一个随机变量，对任意实数x，称F（x）=P（Xx）为随即变量X的分布函数，称X服从F（x），记为XF（x）.定义2.2.2 设离散型随机变量X所有可能取得值是，则称的概率为X的概率分布列，记为X.分布律也常用表2-1来表示：表2-1Xx1 x2 x3 xk pkp1 p2 p3 pk 由概率的性质容易推得，任一离散型随机变量的分布列，都具有下述两个基本性质：1（非负性）2.（正则性）例2.1 设一汽车在开往目的地的道路上需通过4盏信号灯，每盏灯以0.6的概率允许汽车通过，以0.4的概率禁止汽车通过（设各盏信号灯的工作相互独立）.以X表示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求X的分布列

8、.解 以p表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然X的可能取值为0，1，2，3，4，易知X的分布列为表2-2X0 1 2 3 4pkP （1-p）p （1-p）2 p p（1-p）3 p （1-p）4或写成，.将p=0.4,1-p=0.6代入上式，所得结果如表2-3所示.表2-3X0 1 2 3 4pk0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296三离散型随机变量的期望与方差3.1 离散型随机变量的期望及其性质对于一个离散型随机变量X，如果其可能的取值，若将n个数相加后除n作为“均值”是不行的，我们可给出其数学期望的定义：定义3.1 设离散型随机变量X的分布列为，如果，则称为随机变量X的数

9、学期望.例3.1 一部机器在一天内发生故障的概率为0. 2 ,机器发生故障则全天停止工作.若一周 5 个工作日里无故障 ,可获利润 10 万元;发生 1 次故障仍可获利润 5 万元;发生 2 次故障所获利润0 元;发生3 次或 3 次以上故障就要亏损 2 万元 ,求这个工厂一周的期望利润.解 设为一周内机器发生故障的天数 ,则二项分布 B (5 , 0. 2) ,以表示所获利润 ,则的概率分布为:1050- 2P0. 3280. 4100. 2050. 057E（） = 10 0. 328 + 5 0. 410 + 0 0. 205 +( - 2) 0. 057 = 5.216(万元) .故工

10、厂一周内期望利润是 5. 216 万元.性质3.1.1 若c是常数，则E（c）=c.性质3.1.2 对任意常数a，有E（aX）=aE（X）.性质3.1.3对任意的两个函数和，有.3.2离散型随机变量方差的及其性质定义3.2 若随机变量的数学期望存在，则称偏差平方的数学期望为随机变量X（或相应分布）的方差，若X为离散型随机变量则方差.另外，如果随机变量X的数学期望存在，其方差不一定存在；而当X的方差存在时，则E（X）必定存在，原因是.性质3.2.1 在实际计算方差时，这个比定义常用.性质3.2.2 常数的方差为0，即，其中c是常数.性质3.2.3 若a，b为常数，则.例3.2 某人有一笔资金，可

11、投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场状态有关。若把未来市场经济划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2、0.7、0.1.通过调查，该投资者认为投资于房产的收益X（万元）和投资于商业的收益Y（万元）的分布分别为X113-3P0.20.70.1Y64-1P0.20.70.1请问：该投资者如何投资为好？解 先考虑数学期望（平均收益）（万元）（万元）从平均收益看，投资房产收益大，可比投资商业多收益0.1万元.下面我们再来计算他们各自的方差因为方差越大，则收益的波动大，从而风险也大。所以从方差看，投资房产的风险比投资商业的风险大一倍多。若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资商业为好

12、，虽然平均收益少0.1元，而风险要小一半以上.四常见的的离散分布4.1 二项分布4.1.1二项分布的定义若用X表示 n 重贝努利概型中事件A 发生的次数，它的分布列为则称X服从参数为n，p（0p0是一常数，n是任意正整数），则对任意一固定的非负整数k,有.证 由pn=/n，有对任意固定的k，当n时，故定理得证.通过对用二项分布直接计算与利用泊松分布做近似计算的数据的对比发现，两者的结果是很接近的，当n100，np10的时候，效果更好.例4.2某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率

13、.解 设X表示发生交通事故的汽车数，则Xb(n,p),此处n=5000，p=0.001，令=np=5，PX2=1-PX2=1-=.可得PX2=1-0.00674-0.03369=0.95957.4.2.4泊松分布的用途：泊松分布是概率论中一种重要的分布，在实际问题中得到广泛地应用。例如，一本书某一页中的印刷误数；某一医院在一天内的急诊病人数；某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数等都服从泊松分布.4.3超几何分布4.3.1超几何分布的定义超几何分布的样本是一个不放回抽样,设有N个产品，有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布，记为Xh（n，N，M

14、），其概率分布列为其中r=minM，n，且n,N,M均为正整数.4.3.2超几何分布的数学期望和方差，则其方差为例4.3 有外观完全一样的包子12个，其中有肉馅包子8个，素馅包子4个，先从中随机取出3个包子，记其中的素馅包子的个数为X，求X的分布列.解 依题意，可知X服从超几何分布，它的所有可能取值为0,1,2,3。其中所以X的分布列是：X0123P4.3.3超几何分布的用途：超几何分布常被用于产品抽样检查的问题，也就是已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题，也被用于生物工程等.五总结通过对离散型随机变量的概念、特征数及几种常见的离散分布的研究，离散型随机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将实验的各个孤立事件联系起来，从整体上研究随机现象，并为定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础，揭示